归纳不等式解三角范围及三角含参 单调问题的解题思路

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摘要：解三角是高考的热点，一般在解答题17题的位置，主要考察三角函数的图像变换、性质应用、恒等式变换等，以培养学生的直观想象和数学运算的核心素养，难度适中。然而在实际教学过程中，老师总是容易被一些难点或易错点卡住（例如不等式求范围），从而影响教学效率和教学进度。故此，本文将归纳几个解三角最值或范围的不等式，以求得课堂新突破。

关键词：解三角；不等式求范围；求参数范围

求解三角形中的最值或范围问题是高考的热点，常用正余弦定理，三角恒等变形，函数与导数，不等式等知识，综合性较强，主要考察学生的转化化归能力。在高考中常用方法有两种，一是基本不等式求最值或范围，二是三角函数求最值或范围。在六年的工作经验中发现学生较喜欢不等式求最值或范围，他们认为边化角转化三角函数求范围运算量大，解题不够快，而不等式往往更快速的得出结论。但我们不难发现不等式求范围时学生往往只熟悉均值不等式或重要不等式的运用，从而只求了一半的范围导致结论错误。为例避免这个局限性，很多老师建议学生能用三角函数求范围尽量用它解决问题，但仍不少学生还是会使用不等式，所以在教学中要总结归纳好常用的几种不等式，确保学生考虑全范围问题。

案例：（1）在 中，已知 ， ，求 周长的取值范围

（2）已知 为锐角三角形，且 ， ，求三角形 面积的取值范围。

分析：问题（1）中用余弦定理得 即 ，等式用有 ， 求 不难想到均值不等式 ，所以 ，即 。往往写到这里学生以为结束了，但是最小值还没考虑，本题中没有其他详细条件所以要考虑它隐含条件，在三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以 ，从而的 的周长范围为 。

分析问题（2）中用余弦定理得 即 ，求 的范围。不难发现常用的均值不等式难以解决问题，此时就要考虑题干给的条件或隐含条件。因为 为锐角三角形且有余弦定理 知 ，同理 ，所以有 ，且 ，所 面积范围为 。

俗话说，想给学生一滴水，自己要有一桶水，诸如此类的不等式求范围，要积累和归纳出常见常用的不等式教给学生，除了上面用到的三种不等式之外还有

（即基本不等式的变形，认准和，积，平方和，倒数和四者的关系）；三角形中大边对大角，大角对大边；若Q是 内一个点，则有 ， 等较常见的解三角形的不等式。

我们知道三角函数不是单调函数，但局部具有单调性，高考也常考此类问题，学生对已知三角函数在某区间具有单调性求参数 取值范围的题型也把握的模棱两可，老师备课时也会发现多见几次这类题型，参考答案也不统一，所以现在归纳一下它的两种常见方法即由外向内和有内向外的思路方法供老师们参考。

案例：已知函数 在区间 上单调递减 ，求参数 的取值范围。

分析：法一（由内向外）

因为 （第一步先负化正），所以原问题等价于 在 单调递增（第二步复合函数同增异减），因为 ，所以 （第三步由内向外求单调区间），所以 ，所以 且 ，所以 （第四步由单调区间求 的小范围）①，又因为 且 >0所以 （第五步求 的大范围）②，所以联立①②可知k=0，此时 （第六步确定k的值，注意有些题k可能多解）

分析：法二（由外向内）

因为 （第一步先负化正），所以原问题等价于 在 单调递增（第二步复合函数同增异减），因为 （第三步由外向内求单调区间），所以 ，所以 ，所以 且 ，所以 （第四步由单调区间求 的小范围） ①，又因为 且 >0，所以 （第五步求 的小范围）（第五步求 的大范围） ②，所以联立①②可知k=0，此时 （第六步确定k的值，注意有些题k可能多解）

对于教师而言，学习数学和教学数学并不能等同而语，不能用单向的教师思维代替学生的认知过程，而应站在学生的视角先将知识点理解透彻，方可有效避免出现只能意会不能言传的尴尬局面。教与学都是一个探索、归纳和总结的过程，以上有不足之处，欢迎批评指正。

参考文献：

[1]陈宝凤.强化高中数学三角函数解题技巧和思路的策略分析[J].考试周刊，2022（27）：70-73.

[2]朱丽. 相似三角形中解题思路的分析与归纳[J]. 中学数学教学参考，1998， （Z1）.