课程思政驱动下的高等数学教学实施

山东职业学院人文与基础课教学部山东济南 250104

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摘要：在高等数学课程教学过程中，需要有机地引入思政元素，本文通过两个数学史实例出发展开常数项级数的概念的教学，激发学生对无穷级数学习和探索的兴趣，调动其学习积极性；给出无穷级数的概念及其收敛发散的定义，引导学生实现从有限到无限的认知跨越；借助两个例题的应用，进一步强化学生对无穷级数的理解，同时给学生思想启迪，实现教人育人同步进行，达到知识传授和价值引领的统一。

关键词：高等数学；课程思政；常数项级数

习近平总书记曾指出：“要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人”。在教育教学过程中，教师要适时恰当地融入“思政”，将思政教学潜移默化地渗入教学过程中。高等数学是大学生的必修基础课程，对学生的影响范围广，在数学课程教学中更要充分发挥其立德树人功能，有机融入思政教育，培养学生科学严谨的思维习惯及由数学知识感悟生活哲理的意识，培养学生高尚的道德情操，挖掘中国数学史的思政元素，从而增强学生文化自信和民族自豪感。

一、创设情境，引出问题

1.龟兔赛跑问题

公元前5世界中叶，古希腊哲学家芝诺曾说，兔子永远追不上提前跑的乌龟。也就是说，如果乌龟和兔子赛跑，乌龟提前跑了一段（不妨假设提前跑了米到达点），即使兔子的速度比乌龟的速度快很多（不妨设前者是后者速度的倍），但它永远追不上乌龟。

因为，当兔子追赶米到达点时，乌龟又向前跑了米到达了点；当兔子又追赶了米到达点时，乌龟又向前跑了米到达了点……如此循环往复进行下去，兔子要先到达乌龟已经到过的位置，再继续追赶，所以兔子始终在乌龟的后面，永远无法追上乌龟[1]。

而事实上，兔子需要追赶的全部路程为，这是一个等比数列求和问题，易求其和为。即兔子将在距离起点处追上乌龟。而芝诺的论述也是错误的，他将运动中的无限过程与无限时间混为一谈。一个无限的过程固然需要无限的时间来完成，但是这无限个时间段之和却可以是一个有限值。

2.截杖问题

早在战国时期，庄周就意识到了这个“有穷无穷”的问题，在《庄子·天下篇》中提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。一个有限的物体，可以进行无限的截取，即无限过程的加和得到一个有限的数。这个过程和结果可以用数学表达式来表示：，或者。这个结果怎样从数学上给出严谨的解释呢，在教学中，我们可以引导同学们求出这个过程的前项和，，再对其求极限，从而得到无穷项的和。这样我们就可以得到求无穷个数的和的基本思路：先求有限项的和再求极限[2]。

通过这两个数学史上的引例，可以让学生了解历史上数学家们的思维困惑和当时的知识局限，激发学生的好奇心和求知欲，并引导学生将新问题（求无限个数的和）转化成已知问题（求有限个数的和在求极限），启发学生在日常学习生活中，遇到棘手的问题不要畏缩，尝试将未知问题分解成已知问题来解决。同时引用的庄周“截杖问题”，可以说是极限思想的萌芽，让学生感受历史上中国人的智慧，从而激发同学们的文化自信和民族自豪感。

二、旧知到新知，给出概念

由上述两个引例提到的无限项加和问题，给出常数项级数的概念：给定一个数列由这个数列构成的表达式叫（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为，即，其中第项称为级数的一般项（通项）。例如等都是无穷级数，其一般项分别为。

该定义只是一种形式上的表示，那么无穷多个数相加怎么计算呢？由上述两个引例我们知道，我们先计算有限项的和，将无限的问题转化成有限的问题来研究。为此，我们给出部分和的概念：级数的前项和，称为级数的部分和。当取时，部分和，，，从而构成一个新数列，称为级数的部分和数列。例如的部分和数列分别为。

进一步，无穷多个数相加，一定能计算出其和值吗？这就要根据部分和数列是否有极限来判断：如果部分和数列有极限（），称无穷级数收敛，称为级数的和，记为；如果部分和数列没有极限，那么称无穷级数发散。例如和为1，而都是发散的。

三、应用举例，巩固新知

1.交错级数

级数中和交错出现，是一个交错级数。关于该级数的和，历史上曾有三种不同的结论：

一方面，假设，则

；

即，从而得到。

另一方面，

；

对于同一个无穷级数，利用不同的计算方法，却得到不同的结果，这显然是一个“悖论”[2]。以此为例，强调我们研究数项级数收敛或者发散的基本思路是判断“部分和数列的极限是否存在”，而不是将有限个加法的运算法则简单的推广到无穷项级数的求和问题上[3]。

事实上，这三种结论都是错误的，上述交错级数是发散的。这也警醒我们，“竹篮打水”式的生活累积可能是无意义（发散）的，日复一日，前进一步再倒退一步，三天打渔两天晒网，很难有所进步有所成就；我们的“重复累加”要做有意义的累加，在点滴生活中提升自己，才能使自己不断进步。

2.调和级数

级数称为调和级数，利用反证法我们可以验证它是发散的，且，也就是说，虽然调和级数的通项极限为0，但是调和级数和却为正无穷[4]。由此我们可以体会到，事物发展的量变到一定程度会引起质变，即使累加的量越来越小甚至趋近于0，但是如果这个累加过程无限地进行下去，也会变成一个很大的量（甚至无穷大）；同时在生活学习中，我们也要注重平时的正向积累，日有所进，哪怕是越来越微小的进步，所谓“九层之台起于垒土”“积跬步以至千里”，坚定理想信念，一步一个脚印，锁定目标，不轻易放弃，日积月累坚持下去，一定能够实现自己的理想。

结语：

在常数项级数教学过程中，引入中国数学史，增强学生的文化自信；以一般项为的无穷级数启迪学生做事要持之以恒，切不可三天打渔两天晒网，学习如逆水行舟不进则退；以调和级数的发散（收敛于无穷）引导学生辩证思维，“勿以善小而不为”等等。整体上实现同学们从有限到无限、又穷到无穷的认知跨越。

参考文献：

[1]冯颖.常数项级数概念的微课教学设计[J].高等数学研究，2017，20（03）：17-19.

[2]郑雪静，陈清华.基于数学概念生成性的教学设计——以常数项级数的概念为例[J].宁夏师范学院学报，2017，38（06）：99-104.

[3]叶建兵.课程思政理念下数学史驱动的常数项级数教学设计[J].高等数学研究，2020，23（04）：120-123.

[4]苏涵，李清栋.基于课程思政角度的教学设计——常数项级数的概念[J].高等数学研究，2022，25（03）：72-76.

*项目基金：山东职业学院2020年院级教育教学改革自主项目（JY—XY—202023）

作者简介：王伟伟，女，1982.06，籍贯：山东泰安，学历：研究生，职称：副教授，研究方向：数学教育

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