函数的连续性、可微性与导函数存在的关系及其应用

周甫

新时代教育

福建水利电力职业技术学院信息工程学院

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摘要：函数的连续、可导、可微的关系是高等数学中微分学的重难点，准确把握三者的关系是学好微分学的关键，而这正是学生在学习过程中难以理解易于混淆的重要知识点，本文具体就函数的连续、可导、可微的关系进行归纳整理，对准确有效的理解连续、可导、可微的关系起到重要的作用，让高等数学的学习者对此理解得更透彻。本文先是对二元函数连续性、偏导数存在及可微之间的关系就具体实例进行了讨论，然后推广到多元函数由此来总结有关多元函数微分学中关于上述三个概念之间的关系，并通过二元函数具体的实例详细加以证明。

关键词：二元函数;连续;偏导数;可微

对于多元函数而言，主要是讲二元函数，它既不同于一元函数有可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但对于二元函数的可微性，是可以证明的。从二元函数的一些性质中，我们可以看到：若二元函数在点（，）可微，则函数在点（，）连续，偏导存在;若二元函数的两个偏导数（x，y）与（x，y）在点（，）连续，则函数在（，）可微。因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列蕴涵关系：偏导连续可微（连续，偏导存在）;它们反方向结论不成立。当然，其可逆也是需要一定条件的。

1二元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系

1.1若二元函数在其定义域某点可微，则二元函数在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。

3结语

上述结论说明在点连续、偏导数存在、及可微之间虽然没有直接的联系，但它们都有间接的联系，而以上所述是多元函数中时的情况，最后将部分关系推广到了多元函数中。对于多元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系的研究，是多元微分学中的一个难点。本文在分别给出了一系列关于多元函数可微、可偏导，可连续的定理之后，主要以二元函数为例，通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些探讨.和一元微分学相比，尽管多元微分学有许多和一元微分学情形相似，但一元函数到多元函数确有不少质的飞跃，而从二元到三元以上的函数，则只有技巧上的差别，而无本质上的不同.学习多元微分学就要紧紧抓住这两个特点，既看到它们的相同之处，又要注意不同之点。

参考文献：

[1]毛俊杰，刘晓薇.一类单调有界连续可微函数的导函数极限问题[J].齐鲁工业大学学报，2019，33（3）：2.

[2]许高洁.函数的连续性与函数可导关系探讨[J].现代商贸工业，2019，40（10）：3.

[3]王蕾.函数连续与可微关系的探讨[J].中央民族大学学报（自然科学版），2019，028（003）：5-8.

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