对圆锥曲线中的定点问题的探究

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摘要：通过对近几年高考圆锥曲线中的定点问题的探究与拓展，归纳圆锥曲线中的定点问题的通性通法。

关键词：圆锥曲线 直线 动点 定点

中图分类号：G4 文献标识码：A

1 问题提出

圆锥曲线中的定点问题是解析几何的重点问题，纵观近几年的高考试题，它也是历届高考的热点问题。笔者认为有必要将此类问题进行探究，归纳总结出共性和规律，提高复习备考实效。

2 试题剖析

题目（2020年高考数学全国卷Ⅰ理科第20题）已知A、B分别为椭圆： 的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为C，与的另一交点为。

方法点睛：“特殊探路，一般证明”，即先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明。

3 反思与探究

证法1比较直接，应用比较普遍，在很多圆锥曲线与直线相交的问题中都会用到。在设直线方程时是设还是，要根据哪种会让计算更简便决定。该方法将直线与曲线方程联立，应用韦达定理等寻找直线方程中两个参数的关系。

证法2用目标等式法证明直过定点，要根据题目条件探求直线的方程。而若能写出、两点坐标，就可得到直线的方程。又因为、两点的坐标是随点的运动而变化。可设，引入参数，求出、两点坐标。

证法1和证法2，都需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性.从这个层面上讲，证法3的先猜后证更具有优越性。它通过先猜想定点，然后验证，这是一种重要数学方法。本题中根据特殊情况即直线的斜率不存在时求出定点坐标，然后证明斜率存在时直线过此定点。由特殊到一般，不仅在选择填空题中可以用，在解答题中也可以大胆去尝试。证法3方法虽好，但有其局限性，即只有特殊情况符合题意时才可以使用这种方法，对于特殊情况不存在的情况还是要回归到比较常规的证法1和证法2。