初四数学教学中“数形结合”的教学指导研究报告

摘要：本课题研究着重于探索初四数学教学中“数形结合”的教学指导方法对促进学生有效思维的作用。通过问卷调查及研究，发现教师在指导学生运用“数形结合”思想解决数学问题时存在的问题，积极找出解决问题的策略，形成以“数”化“形”，以“形”变“数”，“形”“数”互变的有效教学方式。研究发现，“数形结合”数学思想在教学中的作用尤为显著，不仅能帮助学生很快找到解答数学问题的思路，而且对能力和解题思维的灵活性都有显著的提高。

关键词：数形结合 以“数”化“形” 以“形”变“数” “形”“数”互变

《初四数学教学中“数形结合”的教学指导研究》课题立项以来在课题组成员的共同努力下，经过不断的研究和实践，如期完成了课题研究的任务，取得了预期成效，现报告如下。

一、问题的提出

（一）课题研究的背景

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。学生在学习时对于“数形结合”思想的运用感觉无从下手，不能把二者融为一体，难以把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，以至于解决数学有关问题时思路不清，解决不了相关数学问题，学生分析问题、解决问题能力得不到提高。

（二）课题研究的意义

新课程标准明确要求，初中学生在学习数学过程中应逐渐渗透数形结合思想，利用数形结合思想解决数学学习中有关问题。

（三）课题研究的现状

近几年，在福建等地方的中考试卷中，侧重了对“数形结合”思想方法的考察，所以从现实数学教学的实际来看，有必要对此类问题的教学方法进行一些探讨，为提高教学质量、培养学生形成良好的数学思维方式做出努力。目前，关于本课题的研究，从能够查到的资料来看，研究的人员不多，或者研究的不够深入。

二、课题研究的设计

（一）课题研究的内容

1.“数形结合”的教学应用现状及存在的问题

2.“数形结合”的有效教学方式

（二）课题研究的目标

1.通过调查分析，探索出“数形结合”教学存在的问题

2.通过探索实施，形成“数形结合”有效的教学方式

（三）课题研究的方法

1.调查研究法2.经验总结法3.行动研究法

三、课题研究的过程

四、课题研究的成果分析

（一）探索“数形结合”教学中存在的问题及相应的解决策略

为了增强课题的针对性，使课题研究顺利开展。11月份对全校12名数学教师进行第一次问卷调查，调查内容包括教师课堂上“数形结合”的教学方式、问题的设计、信息的反馈等。

根据回收的12份答卷进行分析，其中主要的问题是：（1）老师大多数没有读过“数形结合”方面的专著，不注重自己的理论提升。（2）大多数教师仍然沿用传统的数学教学模式，课堂上不注重“数形结合”方法运用。

通过分析发现问题形成的主要原因是：（1）许多老师教学理念没有转变，缺乏先进教学方法、理念的支撑。（2）对于“数形结合”方法在数学课堂上灵活运用的实际操作能力较低。

针对上述问题，课题组成员在一起进行集体备课。主要针对初四学生的心理发展水平和认知能力进行问题的设计。借助网络资源查阅一些优质教案，共同探讨学习他们是怎样来设计“数形结合”数学问题的。针对课题组的集体备课，进行听评课。听课教师主要观察执讲教师在课堂中是如何抓住“数形结合”教学的时机、学生对教师提出问题又有什么样的反应、教师又是如何处理学生的作答的。我们听完课后及时进行评课，针对执讲教师在“数形结合“的教学中存在的问题进行探讨，并研究应对的方法，避免在以后的教学中重复出现类似情况。

第一轮行动

11月4日上午，按照计划，徐老师根据备课计划选定课题，将主备的原始教案《解直角三角形（复习课）》课例传到校园网上的“初四数学集体备课”专页论坛上，从下午开始的两天时间内，全体课题组成员根据自己事先的备课，对教案的设计、课堂组织等方面的设想或建议，进行跟帖讨论。

11月6日主备人徐老师根据科研组成员就本教案进行跟帖研讨的情况，重新进行教学精细化设计，再一次将教案进行修改、整合，形成最后共案。再上传校园网初四数学备课文件下。

11月8日徐老师根据共案讲公开课，全体课题组成员参与听评课。

11月9日-12日其他教师按照修改后的的讲案，在自己班上执教。其他教师随堂听课，留有听课笔记。执教教师根据本班授课情况，对教案进行修改补充，甚至再创造，把自己的闪光点补充进去，再一次进行修改、整合，上传学校资源库，形成共同的资源。

2011年1月由高老师执讲公开课，再次召开课例研讨会议，评价找出本次执讲者较以往教学更合理、更科学的地方，有哪些创新，帮助其形成完善富有个性的教学方法。3月初又由本人执讲一次公开课，形成优秀课件上传校园网，并进行了课例研讨，我们课题组成员都针对在课研中出现的问题撰写教后反思。

第二轮行动

为检验实践效果，我们于2011年3月底，就课题组尝试的数学课堂上“数形结合”教学模式，再一次对初四5名数学教师进行了问卷调查。老师们对答卷做出了积极的回应，经整理和统计，老师们共提出了7条建议。大部分老师都说了“数形结合”思想在教学中运用的好处。如：1.节省了大量课堂讲解时间，可以更好地把时间用来研究习题；2.学生解题不再数形分离，提高了解题速度，发展了逻辑思维。3.提高了学生学习数学的兴趣，成绩明显提高；4.有助于学生拓展知识。

其中存在的主要问题是：（1）学生对于“数形结合”解题思想运用不够深入，停留在表面。（2）教师在培养学生使用“数形结合”思想解题有时指导不到位。

我们及时对存在的问题进行了探讨分析，形成这些问题的原因，主要来自两个方面：1、来自教师个人方面，属于备课考虑不完善，教学方法单调。2、来自学校方面：教育资源库尚处于初级阶段，须不断完善。

（二）通过以上探索与研究，《初四数学教学中“数形结合”的教学指导研究》形成了以下教学指导方式

1、以“数”化“形”

以“数”化“形”是指把抽象的数量关系与对应的图形结合起来解题。由于“数”和“形”是对应的，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用。因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形分析来解决问题。这样把数和形结合起来，使抽象的数学知识形象化，既可使学生获得丰富的表象，发展空间观念，又可使学生学好抽象的数学知识，把抽象逻辑思维与形象思维紧密结合起来，以利于发展学生的思维能力。解一个数学问题，一般来讲都是首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系。因此，我们课题组达成共识，总结出利用“数”转化为“形”这一数学思想解决问题的基本思路：明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。我们在教学过程中往往忽略了以“数”化“形”的方法导致很多问题复杂化。灵活运用以“数”化“形”方法可以使问题顿时变得简单易懂。

例如：有这样一个创新题“对于一元二次方程x2+4x+m-2=0它的一个根小于1，一个根大于1，求m的取值范围”。由于题目比较难所以当我问这道题有没有同学会做的时候，没有一个同学举手。这是我们提前没有预想到的，因为这是初三学习的新课内容，我们在初四仅是进行复习，当时的课堂有点冷场，我只好点拨讲解，我是这样讲解的：既然是一元二次方程那么一定要有根，所以根的判别式要大于等于零，而要用到两根之和与两根之积，所以我们采用两个根分别减去1，再相乘小于零来解答，再建立不等式组，解答比较复杂，学生不太好理解。讲完后我觉得似乎还有学生没有听懂，就给学生时间讨论有没有其他的解决方法，就在我巡视的时间盛威同学说老师我有好方法，他起来说我可以结合二次函数图像来解答这个问题，随后他说我设y= x2+4x+m-2，则二次函数图像开口向上，和x轴的交点一个在1的左边一个在1的右边，所以当x=1的时候，y的值小于零，就可以求解。听完后我发现这个同学的思路和我所准备讲解的思路不谋而合，我顿时发现学生的思维如此灵活，是啊，既然我们已经学习了二次函数和它的图像，那么我们为什么不用二次函数的图像来解决这个问题呢？画出图像解题要比我原来的做法简单很多。

因此我们在处理方程问题时，把方程的根的问题看作函数图象与X轴两个交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

2、以“形”变“数”

以“形”变“数”是指把一些“形”数字化。虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质和几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。利用以“形”变“数”方法，可以使所要解决的问题一目了然，避免了分析的盲目性，真正做到了有效思维。

我们课题组明确了解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。

例如：某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15米。当x等于多少时，窗户通过的光线最多（结果精确到0.01米）？此时，窗户的面积是多少？

由二次函数的性质解决问题。

3、“形”“数”互变

“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。通过讨论总结出解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。

例如：一根4米长的竹竿，斜靠在墙上，请问：

1、如果竹竿与地面成60°的角，那么竹竿下端离墙角多远？

2、如果竹竿上端顺墙下滑到高度2米处停止，那么此时竹竿与地面成锐角的大小是多少？

解答第一个问题就是把严密的“数”转化为直观的“形”，紧跟第二个问题“竹竿上端顺墙下滑到高度2米处，求此时竹竿与地面成锐角的大小”这是直观的“形”变为严密的“数”，“形”的变化主要是梯子放矮了，梯子下部与墙的距离加大了，简单理解就是斜边（梯子长度）不变，而两直角边在变化，那么对于两直角边的长度，即“数”的变化，就是本题所要解决的问题。教师指导学生必须把两者结合起来，综合运用“数形结合”思想解决类似数学问题。

有关三角函数问题的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于直角三角形图形来处理，“数”“形”互变思想是处理三角函数问题的重要方法。

综上所述，我们课题组在认真分析初四数学教学中“数形结合“教学指导基础上，通过长时间的实践研究，探索出了“以‘数’化‘形’、以‘形’变‘数’、‘数’‘形’互变”为主要内容的《初四数学教学中“数形结合”的教学指导研究》的教学方式。实践证明，通过以上方法，较好地解决了初四数学教学中“数形结合”教学存在的问题，有效地提高了学生学习数学的兴趣，从而大面积提高了学生的数学成绩。具体来说我们的课题研究取得了以下的成效：

（1）发展了学生思维

通过研究发现学生在获得知识和解决问题的过程中能有效地经历知识形成的过程，学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中能看到知识负载的方法、蕴涵的思想，所以学生所掌握的知识就是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质得到质的飞跃。把数和形结合起来，使抽象的数学知识形象化。这样做既可使学生获得丰富的表象，发展空间观念，又可使学生学好抽象的数学知识，把抽象逻辑思维与形象思维紧密结合起来，以利于发展学生的思维能力。

（2）更新了教师教育观念

通过课题学习和培训、实践和反思，在课题研究的逐步实施中，教研组全体教师认真学习新课程理论，接受新的教育理论，更新自己的教育的观念。通过课题的研究，使课题组成员对教授“数形结合”教学方法有了新的认识，使师生初步认识到系统分析方法的有效性、高效性，认识到解决复杂的综合题时，要善于把“已知”和“问题”这一对矛盾纳入整个分析系统，运用普遍联系的原理进行矛盾的相互转化；要善于把主要矛盾和次要矛盾加以区分，并善于抓矛盾的主要方面，初步培养了辩证唯物主义观点，体会到“数形结合”在数学教学过程中的有效应用。

（3）提高了教师教学的能力

在教研组课题研究的实施过程中，通过教研组的集体备课研讨，教师分析教材、挖掘教材的能力不断提高，教师设计问题的方法技巧不断改进。通过课题的研究，培养出一批优秀学生，不仅使他们提高了数学学习兴趣，而且体会到有效思维和“数形结合”数学思想的真正含义。通过课题研究形成一定的新的教学方法，课题组研究的一些运作模式已在部分教师教学中取得认同，带动了全校数学学科教学水平的提高和对科学教学方法的探索。

（4）增强了学生学习数学的兴趣

在课堂教学的实施过程中，学生探索问题、解决问题的能力不断提高，学生由被动的学习，渐渐地变成乐于主动地学习，学生学习数学的兴趣越来越浓。学生在心里素质方面增强了“情商”，提高了“智商”，放大了“胆商”；在参加学科阶段性质量检测等方面取得显著效果，提高了学习的主动性和积极性，增强了自信心，不同层次的学生都能经常领悟到成功的喜悦，减轻了学习的心理压力，从而大面积提高了教学质量。

（5）提高了教研组集体研讨的能力

在教研组的课题研究的实施过程中，教研组全体教师通过不断地学习、集体备课、听评课、课例研讨等活动，教研组集体研讨问题的能力越来越强。

五、课题研究的反思

教师是人类工程的设计者、实施者、是教书育人的主体，所负责任重大。在当今时代，教师要能做到培养全面发展的合格人才，必须加强学习，既要学专业知识，又要学教育理论，要不断提高自身素质，提高自己的教育水平。虽然部分教师在实验工作中，积累了丰富的第一手资料，但由于人员少，时间急促，加上理论水平不够，所以，一些有价值的材料未能整理出来，没能形成终结成果。本课题由于研究周期不长，特别是学科教学子模式群研究，还需要一个螺旋发展的“反思——行动”过程，在研究方法上，如何在行动研究的统领下，灵活运用定性与定量的观察分析技术，是值得进一步探讨的课题。

教育研究是学校工作永恒的课题。我们面对教育改革的浪潮，将以培养学生创新精神和实践能力为重点，密切关注“数形结合”教学方法发展的新走向，不断探索新的教育环境下课堂教学的新领域，继续乘教育科研之车，走科研兴校之路。作为一名数学老师，我们有责任在数学这一教学活动中不断地调整自己，完善这项工作，以便更好地进行数学教学工作，不断学习先进的教育理论，大胆设计制作更深层更先进的小课题。

参考文献：

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责任编辑：刘天闻