一元二次方程根与系数关系的应用分析

摘 要：在初中数学中，一元二次方程这一课程是必学的内容，而且在中考的试题中常常变换着出现，学生常常会因为隐蔽的条件而使思路闭塞。一元二次方程也是今后学习二次曲线、二次函数等课程的基础，因此，在初中学好一元二次方程对今后高中的学习是十分有利的。本文在考虑到一元二次方程学习的重要性，对一元二次方程根与系数的关系进行了分析与研究。

关键词：一元二次方程；根与系数；关系应用

一元二次方程不仅仅是初中数学学习的重要内容，它还是在现实世界中建立模型的重要方法，因此，一元二次方程根与系数的应用成为了数学老师关注和研究的重点。

一、研究的背景及意义

目前，中国的教育正在进行改革，是提倡培养实践能力和创新精神的。针对以往教育中出现的不合理之处，数学教育的研究者从实际出发，提出了自己的解决方法，因此，大多数的地区都实行了课改，制定了新的教育标准，为更好地实行义务教育奠定了基础。

初中学习的一元二次方程为学生在高中时期学习其它课程奠定了很深的基础。因此，初中应该将其学透，学活。另外，我们都知道运用方程来建立模型，可以很快地解决现实生活中遇到的问题，并且能够有效地实现理论结合实际这一更深层次的目标，方程在现实与数学之间起到了十分大的连接关系，是数学学习中一个很重要的模块。

一元二次方程是一元一次和二次开方的延续，同时也是学习不等式、指数方程、二次函数、二次曲线等数学知识的基础。旧的课程标准中并没有将一元二次方程根与系数的关系这一节内容写进，但是这个模块具有十分重要的意义。因此，考虑到这个模块的重要性，许多老师会选择对其进行详细讲解，可是许多学生会因为这额外的学习内容而产生逆反心理，这样不仅加大了学生的负担，也给老师带来了一定的压力。因此，许多地区经过新课改之后将“一元二次方程的根与系数关系”这一个课程模块变为了选修课的内容，为高中老师减轻了负担，同时给学生在初中和高中的数学学习间做了一个很好的衔接。

二、一元二次方程的内涵

当一个方程只含有一个未知数x，而且这个未知数x的最高次数是2，那么这个方程就是一元二次方程。我们一般将二次方程化作一般形式：

[ax2+bx+c=0（a、b、c为已知数且a≠0）]其中a称作是二次项数，b是一次项数，c则是常数项。在判断一个函数是不是一元二次时，要从这三个方面来看：①是不是整式方程，一元二次方程必是。②x（未知数）的最高次数是2。③有且只有一个未知数。

三、根与系数的关系

了解了一元二次方程的判断及其内涵之后，我们开始学习一元二次方程的根和系数的关系。假设一元二次方程[ax2+bx+c=0（a、b、c为已知数且a≠0）]，有两个根，分别是x1，x2，则它们的关系是：

[x1+x2=-ba，x1x2=ca]运用它们之间的关系，可以很好的解题，比如说，可以根据其中一个解，可以解出另一个解；判断两个根的性质；用两根可以构造一元二次方程；还能解决一些综合性的问题。但是在使用根与系数的关系解决未知数的应用时，需要先检验两点：①二次项系数，即a不等于零。②必须满足[b2-4ac≥0]。

四、案例

1.构造一元二次方程

例题1 已知方程[x2+2x-6=0]，求一个新方程，所求的新方程其中一根是已知方程两根的倒数和，另一个根是原方程两根的平方之和。

解：由题意可知，原方程两根满足：

[x1+x2=-2，x1x2=-6]则新方程的两根是：

[a=x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=16，b=1x1+1x2=x1+x2x1x2=13]因此：

[a+b=16+13=493，a*b=16*13=163]即所求方程为

[x2-493x+163=0或是3x2-49x+16=0]对于构造一元二次方程这一类型的题目，学生要仔细阅读题中的条件，抓住根与系数的关系，就可以巧妙的构造一元二次方程了，并且在做题的时候好好的体会数学建模的思想。

2.一元二次方程两根的相关的计算

例题2 假设一元二次方程[2x2+6x+3=0]的两个根是x1和x2，求[1x1+1x2]。

解：根据根和系数的关系，可以了解到：

[x1+x2=-3，x1*x2=32]，则：

[1x1+1x2=x1+x2x1x2=-3÷32=-2]这一个类型的题目是对根与系数的关系的逆运用，要牢记：[x2-（x1+x2）+x1x2=0]这一个公式，然后对题目进行分析，紧紧抓住根与系数的两个关系。

3.已知其中一个根，求另一个根和未知的系数

例题3 已知有一个方程[5x12+1+c=0]的一个根是1/2，求这个方程的另一个根以及c的值。

解：假设已知方程的另一个根是x1，则：

[12+x1=-15]所以可得：

[x1=-710]

又因为：

[12×（-710）=c5]可以得出c的值是

[c=-74]

五、案例的分析

学生是学习数学的主体，学生应该通过自己的思考去获得知识，这样可以对知识有一个更加深的理解，不仅能增强学生的主观能动性，还能锻炼学生的思维，对学生今后的学习和现实问题的解决能力有良好的帮助。学生只有在自己学会了学习，将老师传授的经验化作自己的东西之后，才能做到举一反三的效果，就比如上面举的几个例子，都是对根与系数的应用，实质上是相同的，只是换了一个说法而已，充分地利用根与系数的关系可以很好的解决问题。学生做到主动学习，主动思考，有利于将来的发展，也符合我国教育新课改的目的。

通过对一元二次方程根与系数的关系这一课程的学习，我们可以很好地锻炼学生的思维能力，教会学生对一个知识点的运用能力。在教学的准备过程中，老师要对准备讲的知识进行合理地设计，优化结构，帮助学生学会主动地去学习，比如在应用根与系数的关系这一节内容中，应该先让学生运用已有的知识，自己去分析出它们的关系，然后在学生得出它们的关系之后，举一些例子，大概展示一下解法，之后让同学们自己去讨论，去扩散知识。针对学生之间的个体差异，以及他们的学习情况，要注意因材施教。课堂上的学习不仅仅只是知识文化的传递，也是思维方式的传递，老师的行为方式对学生有很大的影响，因此，教师应该做好榜样，不但要教会学生数学知识，还要教会他们做人、思考以及创新。

一元二次方程根与系数的关系的研究与分析已经成为研究一元二次方程的有力工具，它的应用常常会出现在中考题目中，而且和“一元二次方程根与系数的关系”有关的题目设计得都很巧妙，涉及面也很广，不仅用于选择题、填空题，还可以出现在大题和应用题中。所以，如果考试碰到此类题目，要仔细观察方程的特点，找到隐含的条件，不要惊慌，就可以顺利地解决这一类型的题目了。

参考文献：

[1]杭永怀. 根与系数关系的几种常见应用[J]. 数理化解题研究，2010（8）

[2]张宇.初中数学一元二次方程教学案例研究[D].海南师范大学，2013