极限思想的产生与发展

摘要：极限思想是近代数学的一种重要思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想根据史料记载最早是在我国出现的，这种思想是由公元前770-前221年春秋战国时期道家著名代表人物庄周所提出来的，在庄周所著的《庄子》中天下篇有记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。自极限思想产生以来，一直到公元前3世纪，这种思想一直都只是应用在哲学领域，并没有应用到数学领域。直到我国魏晋时期的著名数学家刘徽提出割圆术，才将极限思想真正应用到数学领域，为后来极限思想的发展建立了重要的基础。

关键词：极限思想；产生；发展

一、极限思想的产生

极限思想作为一种哲学和数学的思想，它由公元前庄周在《庄子》天下篇中提出的理论萌芽，发展到现在比较成熟完善的极限思想理论，其中这漫长曲折的发展历程是众多哲学家和数学家共同努力的结果。极限思想的发展历程，是这数千前来人类对世界的探索与认知的侧面反应，是人类对真理和理想的一种追求。

极限思想的产生和其他科学思想一样，都是经历一代代的思考与实践，一步一步发展起来的，因此极限思想也是社会的产物。极限思想最早可以追溯到公元前，首先由庄周提出，一直到魏晋时期我国著名数学家刘徽提出割圆术，这才将极限思想有了一个比较直观的应用。古希腊当时提出的穷竭法其中也包含了极限思想，但是古希腊数学家是采取了间接的方法——归谬法来对极限思想进行证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊数学家的穷竭法，它借助几何直观，大胆地运用极限思想来思考问题，放弃了归谬法地证明。因此，斯泰文在无意中把极限思想发展成为了一个实用概念地方向。数学家拉夫纶捷夫曾经说过：“数学极限法地创造是对那些不能够用算术，代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。”极限思想有2000多年的发展历史可谓源远流长，2000多年前是极限思想的萌芽阶段，这时候的人们已经开始意识到极限思想的存在，并且可以运用极限思想在现实生活中解决一些简单的实际问题，但是人们还不能对极限思想得出一个比较具体的概念。这时候的极限思想只是人们对它的一种比较直观的感受，可以在生活中起到一些帮助，没有上升到一种理论层面，人们对这时候的极限思想没有一个比较系统的概念，不能清晰的运用极限思想解决现实问题。在极限思想的萌芽阶段代表的人物有中国古代的惠施，刘徽，祖冲之，希腊的芝诺等等。

我们提到极限思想，就绕不开一个困扰了数学界十几个世纪的难题——阿基里斯悖论。阿基里斯悖论是有古希腊的著名哲学家芝诺提出的，其中的内容是：“阿基里斯不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。然而即使它等在原地，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。从概念上，面临这样一个倒退，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的。”就是这样一个悖论，从各方面都不可能的问题困扰了人们十几个世纪，一直到十七世纪伴随着微积分的发展，人们对极限思想的概念有了进一步的理解，这个悖论对人们造成的困扰才得以解决。

二、极限思想的发展

在十四世纪文艺复兴时期，欧洲的资本主义开始出现萌芽，一种全新的思想开始对主流的思想进行冲击。在这个时期欧洲的生产力得到了空前的发展，同时生产力推动科学技术的进步。在这个时期，天文学，物理学，数学都产生了大量的问题，一些天文学家，物理学家，数学家面对这些问题进行了更深一步的探索与解答，这进一步推动了相关科学的发展。比如天文学家哥白尼在1534年提出了与托勒密的地心说完全不同的日心说，这在当时掀起了一场天文学的革命；在数学领域方面，代数学在文艺复兴时期得到了重大发展，意大利的数学家卡尔达诺发现了三次方程的求根解法，同时四次方程的解法被卡尔达诺的学生费拉里发现；在物理学方面，伽利略经过大量的实验发现了自由落体，抛物体和振摆三大定律，让人们对物理学领域有了进一步的认知，同时也推动了后续物理学家的研究。在文艺复兴时期这些杰出的代表人物做出的贡献，为后来的微积分发展奠定了基础，同时也在一定程度上推动了极限思想的发展。在十六世纪以后，欧洲的资本主义度过了萌芽阶段，开始急速的发展，在发展过程中不可避免的产生了大量的问题。生产力的快速发展，给人们造成了一定的困扰，由于在生产力和技术发展的过程中产生了大量的变量问题，因此人们不再局限于只研究常量的传统范围。大量的科学家们开始研究新的数学思想以及新的数学方法，这极大的促进了极限思想的发展。

极限思想的完善与微积分是密不可分，也正是从这一时期开始，极限思想开始发展并完善，最终成为微积分的基础。牛顿在瞬时速度这一问题上，曾经说过：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终两个量和量相等。”牛顿在瞬时速度这里就运用到了极限思想的概念，但是这种概念过于直观，从数学的角度来看这种概念只停留在认识阶段，极限思想必须要有一个严格意义上的概念。牛顿以无穷小的概念建立微积分，这在当时是无法对极限做出严格的表述，因此遭到人们的怀疑与攻击，其中英国的哲学家，大主教贝克莱对微积分抨击的最为猛烈。因此，弄清极限思想俄概念，建立严格的微积分理论基础，不但在数学领域是本身所需要的，在认识论上也有着重大的意义。

法国数学家柯西在数学领域做出的贡献是不可忽视的，他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷，分别涉及了单复变函数、分析基础、极限思想、微积分、常微分方程、弹性力学数学理论等，这几乎遍布了整个数学领域。微积分从诞生的第一天开始，就没有离开过矛盾和质疑，柯西在他的全集中提到：“对于一个所给定的定值，有一个变量无限的趋近于这个定值，最终这个变量与所给定的定值无限的相近时，这个定值就叫做所给定的所有趋近这个定值的变量的极限。”柯西认为，无穷小就是变量无限的趋近于0，柯西的这种极限定义与极限理论使微分方程的理论得到进一步的证明，因此为后面的数学家奠定了基础，从而建立起来了更严谨的极限理论与实数理论。

三、极限思想的概念

极限是指无限趋近于一个固定的数值，极限可以分为数列极限和函数极限。

定义1：设{αn}为数列，a为定数，若对任意给的正数ε，总存在正整数N，使得当n＞N时有|αn-a|＜ε，则称数列{αn}收敛于a，定数a称为数列{αn}的极限，并记作

定义2：设函数f（x）在点x0的某个空心邻域内有定义，A为定数，若对任给ε>0，存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时有|f（x）-A|<ε，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作

四、极限思想的本质及应用

在我们现代的数学中，经常会遇到求极限的问题，无论是求数列的极限，还是求函数的极限，都有很多方法。例如利用基本极限求极限，利用等价无穷小代换求极限，利用有理运算法则求极限等等。无论我们采取什么方法求极限，都绕不开极限的本质，极限的本质就是两个无穷逼近的过程，最终我们都会回归这个过程，总的来说，极限思想就是研究无穷逼近这个过程。极限思想向人们展示了变量与常量，无限与有限的对立统一关系，这是唯物辩证法在数学领域中的一种应用，通过极限思想的不断完善，人们从常量的思维方式转变到了变量的思维方式，并且从有限认识了无限，从直线认识曲线，从量变认识质变，从近似认识精确。

无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。

曲线与直线也是有着极大的差异，但是相对的它们在一定程度上可以互相进行转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽的割圆术就是从直线形来认识曲线形的典型例子。

量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。

近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。

在我们的日常生活中，极限思想的应用是非常广泛的，最典型的就是刘徽的割圆术。他的目的就是计算圆的面积，这标志着人们从直线型进入到了曲线型，是一次质的飞跃。刘徽的割圆术是从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率。因此在刘徽心目中割圆就是一个无穷无尽的过程，刘徽推导出来的圆面积公式以及圆周率与后面1000多年提出的极限理论具有惊人的相似之处。

五、结论

极限思想作为一种数学思想，它由远古时代的一种想法发展到现在近乎完美的理论，这其中充斥着大量数学家和科学家的汗水与结晶，是一代又一代人们共同努力的结果。极限思想的演变过程记录了每一代人们奋斗的痕迹，是数千年来人们对这个世界逐步认知的见证。在实际应用中，极限思想是一个重要的思想方法，它改变了生产力的发展，让人们从固有的常量中脱离出来，从某种意义上来说极限思想也算是生产力发展的产物。科学和生产力都是随着时间的发展，才会形成一定的理论和概念，新生事物的发展总是充满曲折的，但是它的前进方向在人们的推动下总是向前迈进的。纵观极限思想的发展过程，我们不难发现这里面含有丰富的哲学思想，它包含着有限与无限的辩证统一，量变与质变的辩证统一，多样性与统一性的辩证统一，直线与曲线的辩证统一。在数学领域来看，对极限思想影响最深远的是牛顿提出的微积分理论，这个理论就是建立在极限思想的基础上，反过来微积分的发展又在一定程度上促进了极限思想的发展，让人们了解微积分的同时对极限思想有了更深的认识。

参考文献

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作者简介：

赵刘文昊（1996.7.10-），男，汉，吉林省梨树县，初级工程师，本科，中视广信科技有限公司，研究方向：概率论与数理统计。

王北辰（1995-），男，满族，吉林省伊通满族自治县，教师，本科，单位：北京市工贸技师学院，研究方向：概率论与数理统计。