摘要：针对高校大学生群体普遍存在的饮食结构失衡与经济预算约束的问题，本研究利用运筹学方法，旨在设计出兼顾营养达标、经济实惠与口味多样的科学食谱。依据《中国居民膳食指南（2022）》，本研究以蛋白质氨基酸评分（AAS）为核心营养质量评价指标，构建多目标混合整数规划模型。针对男、女大学生的饮食差异，本研究设计了日平衡与周平衡两类场景，采用 Python 调用 Gurobi 商业求解器对模型进行精确求解。研究结果表明，通过植物蛋白与动物蛋白的科学互补，男生和女生仅需分别投入 25.00 元和 20.00 元，即可实现 AAS>90 的优质营养水平，打破了刻板印象。在兼顾性价比的综合推荐模式下，男生和女生的食谱通过引入砂锅面、深海鱼等改善型菜品，实现了 AAS 评分与经济成本的最佳平衡。此外，进一步扩展的周模型在 140-170 元/周的预算范围内，成功实现了全周食材种类 28-30 种的覆盖，有效规避了单一饮食带来的味觉疲劳。本研究通过构建相关模型来验证“ 低成本、高营养” 在高校食堂的可行性与操作性。基于相关模型求解，研究建议高校后勤应在低价窗口增加豆制品与平价深海鱼的供应比例，并将家庭经济困难学生的膳食补贴标准设定为 20-25元/天。本研究成果为高校优化餐饮供应结构、制定精准资助政策以及指导学生科学就餐提供了有力的量化依据。

关键词：膳食优化；多目标混合整数规划（MOMIP）；氨基酸评分（AAS）；Gurobi 求解；精准营养

第二章 研究背景

2.1 研究背景与意义

传统的食谱编制多依赖经验判断或简单的定性分析，难以精准匹配《中国居民膳食指南》中关于能量平衡、宏量营养素供能比及微量元素摄入量的严格量化约束。随着运筹学与计算科学的进步，应用数学建模求解膳食优化问题已成为解决营养病学科的有效工具。膳食优化问题最早由 Stigler 提出[4]，随着线性规划模型被广泛应用于营养学领域[5，6]。在引入氨基酸评分（AAS）作为蛋白质质量评价指标，能够从微观层面量化食物蛋白质与人体氨基酸模式的契合度，从而实现“ 质” 与“ 量” 的双重寻优。

第三章 数据来源与模型假设

3.1 数据来源

本研究所需数据主要涵盖营养标准、食物成分及评价指标参数三个维度，具体来源如下

1.膳食营养标准来源：《中国居民膳食营养素参考摄入量（DRIs）》[1]。

2.本研究参照《中国食物成分表》（标准版/第 6 版）[2]进行匹配与补全，以确保基础数据的完整性与准确性。3.评价指标参数：计算蛋白质氨基酸评分（AAS）所需的“ 参考蛋白质氨基酸模式” ，采用联合国粮农组织/世界卫生组织（FAO/WHO）推荐的成人必需氨基酸评分模式[3]。

3.2 模型假设

为使复杂的现实膳食问题转化为可求解的数学模型，本研究在建模过程中对非核心因素进行了必要的简化，具体假设如下：

1.供给与价格稳定假设：假设高校食堂的食物供应链稳定，且在研究周期内，食物价格保持相对恒定，忽略通货膨胀、季节性波动或市场供需变化对菜价的短期影响。

2.严格依从性假设：假设目标群体严格执行设计食谱，不存在挑食、偏食或浪费行为；同时假设食堂提供的三餐为学生全天能量与营养素的唯一来源。

3.营养素线性叠加假设：假设食谱中各食材的营养成分在混合食用时满足线性叠加原理，忽略食物在烹饪加工过程中的营养流失（如水溶性维生素的热降解）以及不同食物间可能产生的营养拮抗或协同作用。

4.标准生理吸收假设：假设目标群体处于健康生理状态，对摄入的蛋白质、脂肪及微量元素具有标准的生物利用率，忽略个体差异对吸收效果的影响。

5.限制性氨基酸决定假设：在计算蛋白质氨基酸评分（AAS）时，遵循“ 木桶效应” 原理，即混合食物的蛋白质营养价值仅由相对含量最低的那一种必需氨基酸决定。

第四章 问题分析

4.1 问题分析与模型特征

本章旨在解决日平衡膳食食谱优化设计问题。基于某高校食堂提供的食物基础数据，并结合男、女大学生差异化的能量需求，致力于构建既符合《中国居民膳食指南》营养标准，又能满足营养价值最大化或经济成本最小化的一日三餐食谱优化模型。

深入分析该问题，其具备以下显著的数学规划特征：

1.决策变量的离散性：食堂售卖的菜品通常以“ -θ^′′ 或“ 半份” 为最小交易单位，不可进行连续分割。因此，该问题中的变量具有天然的整数属性，属于典型的整数规划范畴。

2.约束条件的复杂性：食谱设计需同时满足能量守恒、宏量营养素供能比、微量元素摄入阈值、餐次能量分布结构及食物多样性等多重硬性约束。

3.目标函数的多维性：优化目标既需考量以蛋白质氨基酸评分（AAS）为代表的微观营养质量（最大化），又需兼顾用餐费用的经济成本（最小化），呈现出明显的多目标冲突特征。

综上所述，该问题本质上是一个多目标混合整数规划问题。为确保求解的精确性与全局最优性，本研究将建立规范的数学模型，并采用 Gurobi 优化求解器进行求解。

4.2 符号说明

设高校食堂提供的食物集合为 ，一日三餐集合为 K={1，2，3} （分别代表早餐、午餐、晚餐）。定义模型主要参数与变量如表 4-1 所示。

表 4-1 符号说明

4.3 约束条件的构建

根据相关的营养数据及《中国居民膳食指南（2022）》的基本准则，构建如下五组核心约束体系：4.3.1 能量平衡约束

根据要求，日摄入总能量需严格控制在目标值的± 10%范围内：

4.3.2 宏量营养素供能结构约束

三大产能营养素的供能占比需符合特定范围（蛋白质 10%-15% ，脂肪 20%-30% ，碳水化合物 50%-65% ）。以蛋白质为例，，其供能约束表达为

其中 4 为蛋白质产能系数 kcal/g

4.3.3 非产能营养素阈值约束

模型对钙、铁、锌、维生素 A 等 7 种关键微量营养素设定下限约束，确保摄入量满足推荐摄入量（RNI）。例如对于钙（Ca）的约束为（设 为钙的推荐值）：

4.3.4 餐次能量分配约束

各餐次能量占全天总能量的比例需满足：早餐 25%-35% ，午餐和晚餐各 30%-40% ，以早餐为例，其约束表达式如下：

4.3.5 膳食结构多样性

依据平衡膳食准则，要求全天摄入食物种类数 ≥12 。引入“ 大 M 法” 建立逻辑约束以关联变量 x_k，i 与 Z_i （其中 M 为一个足够大的正数），其约束表达式如下：

4.4 优化模型的构建

针对问题 2 的不同设计导向，本研究分别建立三个子模型。4.4.1 模型一：蛋白质氨基酸评分（AAS）最大化模型

AAS 是评价蛋白质质量的核心指标。混合食物的蛋白质营养价值取决于第一限制氨基酸的评分。设第 k 餐的蛋白质总量为 P_total^k 第 种必需氨基酸总量为 AA_total^k，j

则第 t 餐的氨基酸评分 AAS_k 为：

本模型的目标是最大化全天三餐中最低的 AAS 评分（ Max-Min 策略），以保证每餐的蛋白质质量均处于高水平：

4.4.2 模型二：用餐费用最经济模型

针对经济困难学生群体或追求高性价比的需求，在满足上述所有硬性营养约束）及基本的蛋白质质量要求的前提下，以全天总费用最小为目标：

4.4.3 模型三：兼顾营养与经济的综合优化模型

针对传统食谱编制缺乏精准量化约束的局限，本研究引入氨基酸评分（AAS）评价指标，基于混合整数规划模型，构建了符合大学生膳食营养平衡的优化模型。以“ 多目标均衡” 为导向，设计了科学的日平衡。实现了膳食“ 质” 与“ 量” 的统一.

其 中 w₁ w₂ 为 权 重 系 数 ， 代 表 对 营 养 和 经 济 的 侧 重 程 度 。 本 研 究 设 定w₁=0.6，w₂=0.4 。

第五章 模型求解与结果分析

5.1 求解环境与参数设置

本研究基于 Python3.9 调用 Gurobi12.0.2 商业优化求解器对第四章构建的多目标混合整数规划模型进行求解。求解过程中，针对男女两类群体，分别设定能量摄入目标为 2400kcal/d 和 1900kcal/d。算法层面，利用 Gurobi内置的算法，在有限时间内遍历复杂的整数解空间，确保获得满足所有硬性约束条件的全局最优解。

5.2 模型一求解结果：基于 AAS 最大化的营养优化

针对问题 2.1，本节以“ 蛋白质氨基酸评分（AAS）最大化” 为单一目标函数进行求解。

1）男生群体优化结果，优化求解结果显示，男生的极致营养食谱总费用为 41.00 元，日总能量摄入（目标值 2400kcal，偏差 +8.5% ，符合± 10% 约束）。具体食谱方案及营养贡献分析如表 5-1 所示。

表 5-1 基于 AAS 最大化模式的优化食谱（男生）

结果分析：

AAS 评分为 94.95，高于 90 分的优质蛋白合理线。模型通过高频选择“ 牛肉+海鱼+鸡蛋” 的组合，弥补了植物蛋白中缺少赖氨酸和蛋氨酸的短板，实现了氨基酸模式的互补。

（2）女生群体优化结果，优化后的女生食谱总费用为 32.00 元，日总能量摄入为 2040kcal（目标值 1900kcal，偏差 +7.3% ）。具体食谱如表 5-2 所示。

表 5-2 基于 AAS 最大化模式的优化食谱（女生）

AAS 评分为 97.99，符合营养质量。

食谱特征：早餐以鸡蛋、地瓜为主；午晚餐核心菜品为茄汁沙丁鱼和地三鲜。

5.3 模型二求解结果：基于费用最小化的经济优化

针对问题 2.2，本节构建了“ 经济导向型” 优化场景。在严格满足所有硬性营养约束的前提下，以用餐费用最小化为目标函数进行求解，旨在探究满足健康标准的最低经济成本。

（1）男生群体优化结果

优化结果显示，男生的日均膳食费用降至 25.00 元。具体食谱构成如表 5-3 所示。

表 5-3 基于费用最小化模式的优化食谱（男生）

（2）女生群体优化结果优化后的女生食谱日均总费用仅为 20.00 元。具体食谱构成如表 5-4 所示。

表 5-4 基于费用最小化模式的优化食谱（女生）

结果评价：女生食谱展示了数学规划在极度成本约束下的“ 精打细算” 能力，在全天仅花费 20 元的情况下，实现了“ 低消费，高保障” 的营养配置。

5.4 模型三求解结果：兼顾营养与经济的综合优化

针对问题 2.3，本节构建了基于标准化权重的综合目标函数，筛选出“ 性价比” 最高的食谱结构。

（1）男生群体优化结果优化结果显示，日均总费用控制在 23.50 元，总能量为 2471kcal。具体食谱构成如表5-5 所示。

表 5-5 基于综合兼顾模式的优化食谱（男生）

结果分析：

模型二费用（23.50 元）显著低于模型一（41.00 元），评分下降不显著（这说明其符合摄入优质肉类+大量摄入蛋奶豆制品是高校食堂中性价比最高的饮食策略。）

（2）女生群体优化结果，优化后的女生食谱日均总费用为 24.50 元，总能量为 1766kcal。该方案实现了能量适控与营养达标的双重平衡。

表 5-6 基于综合兼顾模式的优化食谱（女生）

结果分析：

1.量少质优的策略：核心在于模型精准地保留了沙丁鱼作为氨基酸互补的“ 催化剂” 。

2.微量元素强化：成本低廉，体现了模型对“ 隐性饥饿” 的有效规避。

5.5 结果对比与综合分析

为了更直观地量化极致营养与极致经济两种决策导向下的食谱差异，本节分别对男、女两类群体的数据进行对比分析。表 5-7 模型一（营养导向）与模型  （经济导向）的指标差异对比

5.5.1 男生群体对比分析

男生由于能量需求大（2400kcal），其食谱优化结果呈现出典型的“ 边际成本递增” 特征。核心指标对比如表 5-7 所示。

表 5-7 模型一与模型二指标差异对比（男生）

5.5.2 女生群体对比分析

女生能量需求相对较低（1900kcal），其优化结果更多体现了“ 食材精细化选择” 对成本的影响。核心指标对比如表 5-8 所示。

表 5-8 模型一与模型二指标差异对比（女生）

5.5.3 综合结论

综合男、女两组数据的对比分析，可以得出以下普遍性规律：

1.营养改善的边际成本递增规律：无论男女，从“ 优质营养（AAS>90） ）^′′ 提升至“ 极致营养（AAS>95）”AS 评分仅增长了 2%-6% ，但经济成本却飙升了 40% 左右。

2.推荐策略：对于大多数高校学生而言，综合兼顾型或者是模型二基础+适量加餐的模式，是最佳选择。

第六章 周平衡膳食食谱的优化设计与评价

在日食谱的单目标与多目标优化的基础上，本节将决策的时间维度从“ 单一交易日” 扩展至“ 全周期（T=7天）” 。本章旨在构建一个多维度的周食谱优化模型，在遵循《中国居民膳食指南》营养标准的前提下，重点解决“ 食物多样性” 与“ 口味丰富度” 之间的矛盾，设计出兼具科学性与可操作性的周期性饮食方案。

6.1 模型的拓展与构建

相较于日食谱模型，周食谱优化的核心在于引入时间变量并增加跨周期的全局约束。

6.1.1 决策变量维度的扩展：

决策变量由二维 X_k，i 扩展为三维 X_d，k，i ，表示第 d 天（ ∈1，7 ）第 k 餐中第 i 种食物的摄入份数。

6.1.2 新增关键约束体系：

为了克服重复健康餐带来的味觉疲劳，模型增加了以下三组关键约束：

1.周多样性：引入 0-1 逻辑变量 表示第 i 种食物是否在周食谱中出现。约束全周摄入的食物种类总数 N_type≥25 ，以确保膳食结构的丰富性与微量元素的来源广泛性。

2.重复性控制约束：除米饭、粥、煮鸡蛋等基础主食/通菜外，严格限制同一菜品在全周出现的频率（设定频次阈值 C_max≤3 ），避免口味单调。

3.每日营养独立达标约束：要求一周内每一天（ d=1…7 ）的能量及营养素均独立满足《中国居民膳食指南》的约束范围，严禁出现平均主义陷阱。

6.2 周食谱优化结果分析

6.2.1 模式一：基于费用最小化的经济型周食谱

该模式旨在探索在严格满足国家营养标准及较高蛋白质质量要求（设定 AAS≥85 ）前提下的最低生活成本边界。该方案主要针对家庭经济困难学生群体，求解结果统计如表 6-1 所示。

表 6-1 经济型周食谱优化结果统计

（1）男生群体食谱特征分析

与第五章模型一对比，该模型证明了提升蛋白质评分的边际成本是递增的。

（2）女生群体食谱特征分析

女生日均费用为 15.93 元，显著低于男生。这主要归因于女生较低的能量需求。通过减少主食和肉类份数，即可降低总成本。

女生食谱的全周食物种类数为 22 种，未达到 25 种的理想约束。这是因为在极低成本下，模型倾向于选择性价比最高的几款食物，从而在多样性上做出了必要的妥协。

（3）结论

该模式证明，在科学的规划下，男生 20 元/天、女生 16 元/天是维持高校学生健康生活的经济。这为高校建立贫困生精准餐饮补贴标准提供了重要的数据参考。

6.2.2 模式二：基于 AAS 最大化的营养型周食谱

该模式在放宽经济约束的前提下，以蛋白质氨基酸评分（AAS）最大化为核心导向，能够实现最高膳食营养质量。求解结果统计如表 6-2 所示。

表 6-2 基于 AAS 最大化的营养型周食谱

合理的成本溢价，日均费用上升至 25-26 元。虽然成本较经济型增加了 5-9 元，但仍具有价格优势。

6.2.3 模式三：兼顾营养与经济的综合型周食谱（推荐方案）

该模式通过建立综合目标函数，寻找“ 性价比” 最高的平衡点。与模式一（经济型）的“ 保生存” 策略不同，模式三引入了更多改善型食材，旨在为绝大多数普通大学生提供经济实惠，兼具丰富口感与生活品质的周食谱。统计结果如表 6-3

表 6-3 兼顾营养与经济的综合型周食谱

为了验证综合型食谱的优越性，本节结合具体菜品进行深入剖析，揭示其与经济型食谱的显著差异：

首先是男生的周食谱，结果统计如表 6-4

表 6-4 男生一周综合型食谱

（1）男生食谱特征：主食升级与口味改良

与模式一不同，男生综合型食谱在周二午餐和周三晚餐中出现了砂锅面。这种特色主食调节了单调口感。

如表是女生一周综合型食谱，统计结果为表 6-5.

表 6- 5 女生一周综合型食谱

（2）女生食谱特征：品质荤素与精致搭配

对比分析：在模式一中，只吃“ 炖菜” 或“ 拌菜” 。而“ 干炸” 和“ 炒肉” 这类烹饪方式的出现，开始追求风味与口感，杏鲍菇的引入提供了膳食纤维。

兼顾营养与经济的综合型周食谱

图 6- 3 兼顾营养与经济的综合型周食谱的费用和能量

6.3 三种周优化模式的比较

为了直观展示不同优化目标对食谱构成的影响，本研究将男生群体的三组结果进行横向对比，如表 6-6 所示。

表 6-6 三种周优化模式的各项指标对比（男生样本）

分析结论：

对于绝大多数高校学生，推荐模式三。模式三既避免了模式一的口味单调，又比模式二节省了约 7%的开支，更加符合“ 营养+口味+经济” 的营养食谱。

第七章 结论

7.1 主要研究结论

高校食堂的膳食结构不仅关乎学生的身体机能，也影响其学业表现与长期健康资本积累。本研究基于运筹学优化理论，针对高校食堂日平衡与周平衡食谱的复杂决策问题，构建了多目标混合整数规划（MOMIP）模型。通过 Python 调用 Gurobi 求解器进行研究分析，得出以下结论：

7.1.1 日食谱优化的“ 成本－营养” 阈值

（1）经济底线

男生和女生的日均最低伙食费分别为 25.00 元和 20.00 元

（2）营养上限

现有食堂供应体系最高可提供 AAS>97 分的蛋白质质量。这需要依赖红烧牛肉、深海鱼等食材，成本较高。

（3）最佳平衡点

综合模型显示，日均投入 24 元（男）/21 元（女）即可达到 AAS>95 分的优异营养水平。性价比最高，实现了经济性与营养性的完美平衡。

7.1.2 周食谱的“ 长效互补” 机制

（1）多样性突破

通过引入全局多样性，模型成功设计出了全周包含 28-30 种不同食材的丰富食谱，有效规避了“ 菜单疲劳”问题。

（2）互补策略验证

周模型进一步验证了“ 植物蛋白+动物蛋白” 互补策略的鲁棒性。实证表明，“ 牛奶+鸡蛋+豆制品+少量深海鱼” 的组合是兼顾成本控制与氨基酸评分（AAS）的最佳范式。

7.2 总结

综上所述，本研究构建的优化模型不仅在理论上保证了求解的严谨性与全局最优性，且所得结果具有极强的现实解释力。研究成果为高校后勤部门优化餐饮供应结构、制定补贴政策以及指导学生理性就餐提供了有力的量化依据。

参考文献

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作者简介：文晓烁，汉族，本科学位，出生于 2005 年，无职称，目前攻读于制药工程专业

作者简介：代学荣，汉族，本科学位，出生于 2001 年，无职称，目前攻读于数据科学与大数据技术专业

陈浩雨 2004 年 女 汉 沧州市吴桥县 学生 本科 计算机科学与技术

河北农业大学

李硕冉，汉族，本科学位，出生于 2005 年，无职称，目前攻读于会计学专业沧州交通学院 2025 河北省省级大学生创新训练计划立项项目（项目编号：s202514202108）沧州交通学院校级教改项目《以“ 服务专业” 为方向的高等数学教学改革体系建设与实践》CJ20240227