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摘要：针对北斗三号（BDS-3）卫星钟差短期预报问题，在原有模型的基础上，提出一种融合灰色（Grey Model，GM）模型与短长期记忆网络模型（Long Short-Term Memory，LSTM）的钟差预报方法。该方法首先通过GM模型对研究数据进行钟差预报，产生残差值，然后以残差值为研究数据，通过LSTM模型对其进行预报，得到新的残差值，将预测的残差值与GM模型的预测值作和得到优化预测值。本文以武汉大学提供的IGS站点数据，采样率为30秒的精密钟差为实验数据，通过对不同长度的建模数据和不同预报时长进行对比分析，得到最终的实验成果。结果表明：该方法预报精度优于单一GM模型与LSTM模型，具有可行性。

关键词：北斗三号；GM模型；LSTM模型；钟差预报；精度评定指标

1引言

北斗三号全球卫星导航系统（BeiDou-3 Navigation Satellite System，BDS-3）的组网成功，标志着BDS系统“三步走”发展战略圆满完成，作为中国自主研发的全球卫星导航系统，已在全球范围内提供定位、导航和授时服务。卫星原子钟的频率漂移、初始误差等会造成卫星钟与标准时间之间的偏差，称作卫星钟差。卫星钟差是影响导航精度的核心因素之一，其精确预报对提升系统性能至关重要。卫星钟差的微小误差会导致用户定位结果的显著偏差，因此，高精度的钟差预报是确保北斗系统性能的关键技术之一[1]。传统的钟差预报方法在面对北斗卫星复杂的运行环境和多变的钟差特性时，存在一定的局限性。因此，探索新的、更有效的钟差预报方法具有重要意义。

国外，针对GPS钟差实时数据流中断问题，Zhixi Nie[2]提出一种附加正弦项多项式的预报方法。实验表明即使在1h的预报时长内，其精度仍比IGU-P产品高出约50%；对于卫星钟差的周期项和随机项问题，Jicang Lu[3]通过经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）预处理，将钟差分解为具有各种周期性特征的多个分量，采用融合四种典型模型的预报策略。该方法在中长期预报上具有更好的性能；Li[4]等人采样用高度角定权模型，提出整数恢复钟差模型固定非差模糊度，提高了实时钟差的估计精度。

国内，针对BDS卫星钟差精度及误差问题，毛亚[5]采用附有周期项二次多项式模型对钟差频率数据进行建模，并采用抗差估计方法来估计参数，消除了粗差和异常点的干扰；对于难以实时估计卫星钟差的问题，闵扬海[6]采用自适应灰色神经网络模型，充分综合了并、串联、嵌入型灰色神经网络模型特点，提升了预报的精度；史红金[7]提出了一种基于狼群算法优化极限学习机的北斗卫星钟差预报方法，利用WPA算法对ELM进行参数优化；李特[8]将鲸鱼优化算法（WOA）和径向基函数神经网络（RBF）相结合，在钟差的短期预报中取得了比二次多项式（QP）模型、灰色模型（GM）和径向基函数神经网络（RBF）模型更好的效果。

对于常用预报模型来说，卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）模型[9]将钟差视为动态系统状态，通过状态方程和观测方程递推最优估计实时性强，适合动态修正，能融合多源观测数据（如GPS/北斗联合解算9），但KF模型依赖准确的系统噪声和观测噪声建模，参数设置复杂[10]；自回归模型（Autoreg ressive， AR）短期预报精度高，适应平稳序列，但长期预报精度较低且依赖数据平稳性[11]；GM模型[12]通常用于小样本数据的预测，适合数据量少的情况，对趋势的捕捉不错，但对复杂的时间序列变化处理不够；LSTM[13]是长短期记忆网络，属于深度学习模型，擅长处理时间序列中的长期依赖关系，能够捕捉非线性特征，但需要更多的数据来训练。针对上述问题，结合GM预测钟差的主体趋势和LSTM学习残差的非线性细节进行BDS卫星钟差预报模型的建立，将预报结果与真实精密钟差数据以及单一模型预报结果对比，发现预报的钟差精度有所提高。此方法为卫星钟差预测提供了一种高效、可解释的解决方案。

2 预报原理与方法

2.1 GM模型

灰色系统理论广泛运用于经济、气象、环境、地理等众多领域，解决了生产生活和科学研究中很多亟待解决的问题，且均取得了不错的效果。灰色系统之所以能应用如此广泛，是因为灰色系统对数据的要求不高，它不需要完整清晰的数据集，仍然能对数据进行建模分析。灰色系统理论是把一切变量看成灰色量进行处理。基于这样的理论原理，揭示了数据中相对复杂、离散的内在规律，使得时序数据的规律性加强而降低其随机性。经过30多年的发展，灰色系统理论在的实践应用中不断的丰富和完善，它适用于小样本、贫信息的不确定性系统。其核心思想是通过累加生成序列，弱化随机性，挖掘数据的内在规律，进而建立微分方程进行预测。原理如下：

首先，一组不同历元时刻的钟差值表示为：

然后，通过最小二乘法，根据累加序列，构建GM（1，1）模型对参数a、b进行估计，得到累加序列的预测值：

其中，是累加序列的预测值。

再将累加序列的预测值还原为原始序列的预测值：

最后，采用前文中的中误差和均方根误差判断模型预测精度是否符合要求。

2.2 LSTM模型

LSTM是一种特殊的循环神经网络（RNN），通过引入记忆单元和门控机制，能够捕捉时间序列数据中的长期依赖关系，适合处理卫星钟差数据。其核心思想是通过控制信息的流动，选择性地记住或遗忘历史信息，从而对时间序列数据进行建模和预测。注意在本实验中将钟差数据归一化到[-1，1]范围，可加速模型收敛。

LSTM的核心结构包括以下部分：

记忆单元（Cell State）：存储长期依赖信息。

遗忘门（Forget Gate）：决定哪些信息从记忆单元中丢弃。

输入门（Input Gate）：控制新信息的输入。

输出门（Output Gate）：控制记忆单元的输出。

首先，建立遗忘门：

是遗忘门的输出;是Sigmoid激活函数;是遗忘门的权重矩阵;是上一时间步的隐藏状态;是当前状态步的输入;是遗忘门的偏置顶。

是预测输出；Wy是权重矩阵；by是偏置项。

LSTM模型能够捕捉时间序列中的长期依赖关系。对非线性数据建模能力强。适用于钟差数据预测任务。但LSTM模型需要大量数据进行训练，计算复杂度较高，训练时间较长。

2.3 GM-LSTM模型

GM-LSTM模型以误差补偿作为组合的原理，改进传统的组合模型方式，综合GM所需建模数据少和LSTM模型擅长处理时间序列数据，从而创建了一个新的卫星钟差预测模型，使预报结果比其他单一模型精度更好[14]。

GM模型对数据量要求低，适合钟差数据中短期、稀疏或历史数据不足的场景，能有效提取初步趋势[15]。而LSTM模型擅长处理时间序列数据，能够捕捉长期依赖关系和非线性特征，适合处理大量数据，能够学习复杂的时间序列模式，擅长从大量复杂数据中学习长期依赖关系，适合捕捉钟差中的非线性动态变化（如环境噪声、卫星轨道扰动等）[16]。与GM模型相比，LSTM模型大大提高了钟差的预报性能，进一步提高卫星钟差的预报精度，进而增强了导航与定位的准确度[17]。在实际应用中，GM模型提取钟差的线性趋势（如长期漂移），LSTM捕捉非线性波动（如随机误差、周期性变化），两者互补提升预测完整性，显著提升了钟差预报的精度和可靠性，适用于卫星导航系统（如北斗、GPS）中高精度、高稳定性的钟差预测需求。

结合GM模型与LSTM模型对卫星钟差数据进行预测，可充分利用GM模型对小样本数据的适应性和LSTM对复杂时间序列数据的强大建模能力，能够提高预测精度。以下是其原理与方法：

首先，GM模型用于提取趋势分量，利用GM模型对卫星钟差数据的趋势部分进行建模和预测，如实验一中预测钟差数据步骤，将预测值与真实值相减，得到GM模型的预测残差值。

其次，LSTM模型用于捕捉残差分量的非线性特征：将GM模型的预测残差作为LSTM的输入，捕捉残差中的非线性特征。

最后，将最终预测值为GM预测值与LSTM残差预测值的叠加：通过结合两者的优势，提高整体预测精度。

GM-LAST模型结合了GM模型对趋势的捕捉能力和LSTM对非线性特征的建模能力，提高了预测精度，尤其适用于复杂的时间序列数据，处理流程如下：

3 实验分析与讨论

为验证GM-LSTM模型在BDS-3卫星钟差预测中的可行性分别使用GM、LSTM与GM-LSTM模型，采用年积日为306的数据中1小时、12小时和24小时的钟差长度进行建模，分别预报未来1小时、12小时、24小时的钟差。如使用年积日306的第一个小时（00：00～01：00）建模预报未来一小时（01：00～02：00），总计预报18次，并将结果与IGS站点发布的真实数据对比，采用均方根误差（Root Mean Square Error， RMSE）作为精度检验指标来指示预测质量。均方根计算方法如下

根据王文斌等人的BDS-3 星载原子钟在轨运行特征分析成果，可知在搭载铷钟的卫星中，C19 卫星的拟合精度最好，在 1ns 以内，故选择中地球轨道（Medium EarthOrbit，MEO）C19 号卫星，对应选取倾斜地球同步轨道（Inclined Geosynchronous Orbit，IGSO）搭载氢钟的C40卫星数据，相关信息如表1：

数据来源于武汉大学提供的 IGS 站点数据，随机选取2024年年积日为306和307共两天的数据，采样间隔为 30 秒。

表二为预报结果统计，分别统计了各预报模型在不同建模时长和预测时长下的均方根，图2～图4分别为三种不同模型在12h建模情况下的均方根精度对比图，图5～图6为两卫星在不同模型下的12h建模并预测长度精度对比图。

3.2实验分析

分析表2及图2～图6可知：

（1）GM-LSTM混合模型在BDS-3卫星钟差中长期预报（12-24小时）中表现出显著优势。虽然其在1小时短期预报中略逊于单一GM或LSTM模型（如C19卫星1小时预报误差1.923 ns vs GM的0.114 ns），但随着预报时长的增加，GM-LSTM的误差增长幅度显著低于其他两种模型，体现了更强的稳定性。如C19卫星24小时预报误差：GM-LSTM（2.307 ns）远低于GM（4.99 ns）和LSTM（57.036 ns）；C40卫星24小时预报误差：GM-LSTM（2.408 ns）优于GM（4.383 ns）和LSTM（25.742 ns）。

GM-LSTM模型在BDS-3卫星钟差中长期预报中显著优于单一GM或LSTM模型，其24小时预报误差较GM降低53.8%（C19）和45.0%（C40），且误差增长趋势平缓。该模型为解决传统方法长期预报精度骤降问题提供了有效方案，可为北斗三号高精度导航服务提供技术支撑。

（2）GM模型：短期（1小时）预报精度较高，但随预报时长增加误差急剧上升，如C19卫星误差从0.114 ns增至4.99 ns。表明灰色模型对非线性钟差变化的长期适应性不足。

（3）LSTM模型：表现不稳定，虽在C40卫星1小时预报中达到最优0.008 ns），但长期预报误差显著恶化，如C19卫星24小时误差达57.036 ns。或因训练数据量不足或过拟合导致，在随后的实验中将进一步改进。

4.结语

通过结合GM的短期线性拟合能力和LSTM的非线性序列建模能力，GM-LSTM有效平衡了短期与长期预报需求，且所有时段的预报误差控制在2-2.5 ns范围内，无剧烈波动，对C19和C40卫星均表现稳定，未出现单一模型对不同卫星性能差异大的问题。

实验结果支持GM-LSTM模型适用于BDS-3实时精密单点定位、星历更新等需中长期钟差预报的场景，其稳定的误差特性可减少频繁钟差修正的需求。未来将通过调节LSTM模型预报、引入外部影响因素（如温度、轨道周期）等方式来改善模型，并验证更多类型卫星（如MEO、GEO）的适用性。

参考文献

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基金项目：国家级大学生创新创业训练计划项目（202410379013）。

作者简介：潘希文，女，本科生，研究方向：GNSS测量数据处理。Email：3271929354@qq.com