摘要：低空环境下的无人机飞行技术研究通常需要对其飞行环境进行数学建模，以此便于在计算机数值仿真进行求解运算。针对低空飞行环境的建模方法，首先对其建模方法的数学理论知识进行分析，将低空飞行环境抽象为数学模型进行表达。最后，提出相关的建模方法体系并进行总结，为无人机在低空环境下的安全、高效运行提供重要的理论基础和方法支持。

关键词：数学建模，启发式算法，低空空域

中图分类号：V279      文献标识码：A

1 引言

低空飞行环境通常指的是飞行高度在1000米以下，一般而言可根据实际的飞行需求延伸至不超过3000米的范围。在这个空域以内，民用有人驾驶和无人驾驶航空器扮演着关键角色，支持载人、载货以及其他多种低空飞行活动。空域指的是地球表面以上的空间，适用于各种航空器的飞行。据中国民航局无人机云平台系统统计数据显示，国内超过99.9%的无人机都飞行在低空环境下。目前，无人机在低空环境中担负着各种关键飞行任务，例如游览观光、城市巡逻、抢险救援、农林植保、电力检修等多个领域已有广泛应用[1-5]。

2 背景理论

2.1  飞行环境分类

为了更好地利用国家的空域资源，确保无人机在低空环境下的安全有序飞行，中国民用航空局于2023年发布了《国家空域基础分类方法》（下文简称《分类方法》），将空域细化为七个类别。具体包括管制空域：A、B、C、D、E类；非管制空域G、W类。这一举措旨在规范空域的划设和管理使用，促进低空空域的有序发展，以适应无人机日益增长的应用需求。

根据《分类方法》，各类空域在使用上有着不同的规定和限制。非管制空域划分，使得对于飞行限制相对较少。这样的分类方法为无人机的飞行提供了明确的规范和指引，有助于确保空中交通的安全和有序性。该分类的另一个重要目的是推动无人机系统融入国家空域中。随着无人机技术的飞速发展，它们在农业、环境监测、应急救援等领域的应用不断拓展，因此需要更多的空域资源来支持无人机飞行活动。《分类方法》的发布为无人机提供了更多的运行空间，同时也为相关行业提供了更多的发展机遇，促进了无人机在国家空域中的有序融入和有效利用。

2.2 数学原理

在无人机的飞行环境中，为了保证飞行过程的安全性和空中交通流的有序流动，通常会将无人机在飞行过程中所处的连续三维空间环境通过离散化的方式建立为数学模型。这种离散化的表示方式可以将连续的空间环境划分为多个互相独立的空间单元，从而简化了运算和减轻了机载计算机的工作负荷。

离散化的原理是将三维空间划分为规则的网格，通常使用的是三维笛卡尔坐标系。每个空间单元在模型中表示一个离散化的位置，这样无人机在飞行过程中的位置可以与离散化模型中的某个空间单元相对应。

离散化的表示方式可以在计算过程中更好地处理和分析空间环境的特性。它能够有效减少计算量，提高计算效率，尤其在实时飞行控制和决策中具有极大的意义。此外，离散化模型的建立还有利于与其他系统进行集成，例如飞行控制系统、遥感系统、通信系统等。

然而，离散化模型也存在一些局限性。首先，模型的精度受到空间单元大小的限制。如果空间单元过大，可能无法细致地描述物体之间的相互关系；而如果空间单元过小，计算量会大幅增加。其次，离散化模型可能无法考虑到连续空间环境的微小变化，例如地形的复杂性和气象条件的变化。因此，在实际应用中，离散化模型的精度和适用性需要根据具体需求进行权衡调整和优化。

在离散化表示的空间中，无人机通常需要考虑到静态障碍物和动态障碍物的双重影响。静态障碍物通常是不可移动的起伏地形障碍或者建筑物，它们的相对位置关系保持不变，而动态障碍物则可能随着时间的推移而改变其位置，例如其他航空器或移动物体。因此，在进行低空飞行活动时，无人机需要不断地更新空间中障碍物的位置信息，以及采用合适的算法来对这些静态或动态障碍物进行规避，以确保无人机低空飞行的安全性。

在对低空飞行环境空间的建模过程中，一般通过圆柱体外形或长方体外形来表示建筑物等障碍物，以确保无人机与障碍物之间的安全间隔距离，避免潜在碰撞风险的出现。环境模型的大小一般取决于无人机和障碍物的尺寸，通常会在障碍物的基础尺寸上加上无人机的尺寸并适当进行膨胀外扩保留一定的安全冗余。在一些文献中，建筑物的模型采用圆柱形状的表达方式，但是当建筑物尺寸的长宽比过大时，通过圆柱体外形对建筑物进行建模时会占用较多的冗余空间。因此，另一种做法则是使用长方体形状对这些建筑物进行建模。

无人机飞行过程的本质是在一定的约束条件下通过执行操作从而与环境不断相互作用，使得无人机的飞行状态产生动态变换。无人机在这一飞行过程中不需要参考历史状态，仅需考虑未来状态。

智能体与周围环境相互作用，使得状态不断发生转换，并且在状态转换时智能体将得到奖励反馈，这一过程被称作马尔科夫决策过程[10]。根据无人机的飞行特征，可以利用马尔科夫决策过程对无人机的飞行过程进行建模，从而在不确定性的动态环境中寻求最优解。

马尔科夫决策过程具有马尔科夫性质，这意味着系统在转移到未来状态时，只与现阶段状态的信息相关，而不需要分析或者记录其历史状态信息。这种性质使得马尔科夫过程与历史状态没有关联性，使得系统的状态转移更加直接并且具备可预测性。

马尔科夫性质的核心是系统的状态转移仅受当前状态影响，这也就意味着下一时刻状态St+1只与St当前状态相关联，而与若干个历史状态S0，...，St-1均互相独立，因此存在如式（1）所示。

马尔科夫过程即从现在的状态St通过一定的概率转换到下一时刻状态St+1的过程，该过程可以被表示为（S，P）其中，S代表有限状态集；P代表状态转移概率矩阵。如果在马尔科夫过程的基础上增加动作集合A以及奖励值R，那么便得到了马尔科夫决策过程，可用式（2）中的四元组表示马尔科夫决策过程。

式（2）中，S代表状态集合，包括了无人机从环境中的初始状态S0一直到最终状态St的状态集合；A表示无人机的动作集合，它包含了无人机可执行的飞行动作集合，a（a∈A）代表无人机在状态St时执行的飞行动作；P为无人机在时刻t，所处飞行状态St，当执行动作a（a∈A）后转换到下一个时刻t+1飞行状态St+1的概率分布；R为无人机通过执行飞行动作，从状态St转换到状态St+1得到的奖励值，以上过程可以用图来进行表示。

3 建模方法

在建立无人机所处飞行环境的模型时，除了连续的空间坐标系和"图"表示方法之外，还可以考虑使用其他的环境表示方法，比如基于网格的表示方法。在实际应用中，需要综合考虑环境表示方法的精细程度、空间复杂度和时间复杂度等诸多因素。连续的空间坐标系能够提供精确的位置信息，但其空间复杂度较大，对机载计算机的求解性能要求较高；而"图"表示方法通过预先对环境进行离散化处理，可以降低算法的复杂度，而基于网格的表示方法可以通过调整空间单元格大小平衡建模精细程度和计算复杂度。

除此以外，建立无人机运行环境模型还需要考虑到环境的动态性和不确定性。动态障碍物的移动以及环境参数的变化都会对无人机的飞行路径规划和避障操作产生影响，因此需要在模型中引入动态更新的机制，以及考虑到不确定性因素的影响。

3.1 建模原理

首先介绍“图”的概念，它与图形（image）和地图（map）是不同的，图形通常指绘制的图像或图表，而地图则是用来表示地理位置和空间关系的专门类型的图。根据计算机图论中的定义，“图”是一种抽象的数学模型，主要由节点（Vertex）和边（Edge）两个部分组成的离散结构，节点通常用来代表某种对象或概念，而边则表示节点之间的联系或关联。这种结构化的表示方法使得图能够用来描述和研究各种复杂的拓扑结构和网络，可以通过两个有限集合V、E来表示图G，如式（3）所示。

式（3）中，节点v1，v2，...，vm，vn用集合V表示；节点之间的线段通过e12，e23，...，enm的集合E表示；节点V与线段集合E共同组成离散结构G。

使用不同的图的离散表示方法会直接影响到算法的性能表现，因此只有选择适当的图表示方法才可以让算法发挥出最佳性能表现。常见的图的离散表示方法包括栅格图、多边形图和导航网格图。下面将对上述图的离散表示方法进行详细研究分析。

3.2 栅格图

栅格图在环境建模领域中的应用极为广泛，因为它可以将复杂的现实世界环境抽象化，并提供了一种高效的仿真环境模型。通过将空间环境划分为单元格，栅格图可以为每个单元格赋予特定的属性，如可自由通过的区域、不可达的障碍物以及边界限制等，从而为无人机提供了对环境的感知能力。这使得无人机可以根据栅格图的信息进行规划和决策，从而为下一步研究奠定基础。

在栅格图中，无人机通常可以沿着单元格之间的连接线飞行，这简化了运动过程，便于进行计算求解，从而提高了算法的动态实时性能。通常把朝直线方向移动的连接线长度表示为单位1，朝对角线方向移动的连接线长度表示为。

首先以二维平面为例，单元格的形状通常为方形、三角形以及六边形。在移动时，通常可以有4个方向（四连通），其数学表达为式（4）或者如式（5）所示的最多8个移动方向（八连通）。对于三维空间环境可以通过栅格图进行建模，单元格被表达为立方体外形，在三维环境下的移动通常为6向或者10向，根据建模的颗粒度大小，最多可达26向。

式（4）中，N4表示节点（x，y）四个方向的集合。

式（5）中，N8表示节点（x，y）八个方向的集合。

3.3 多边形图

在实际的工程应用中，障碍物的几何形状和尺寸多种多样，因此障碍物的模型可能需要根据具体情况进行动态调整和优化，以确保建模的准确性，并且避免造成额外的空间复杂度。例如，如果一个无人机要飞越一个高耸的建筑物，则需要确保障碍物模型能够准确地反映建筑物的轮廓和高度，以避免潜在的碰撞风险。同时，障碍物模型的膨胀处理也需要考虑到无人机的尺寸和飞行特性，从而确保低空环境下的飞行安全。

在复杂环境中，障碍物的数量可能会非常庞大，这可能会导致形成的连线数量过多，从而增加了路径搜索的复杂度和计算资源的消耗。为了解决这一问题，可以考虑在模型中结合一些启发式算法来提高模型的整体效能。通过启发式算法，可以在保证搜索精度的前提下，规避过于复杂的计算过程，从而提高搜索算法的效率。

此外，当障碍物数量过多时，可能会导致集合中出现过多的线段数量，从而使得计算量大幅增加，影响算法性能。因此，可以考虑模型中结合适当的图优化算法，对连线进行精简和优化并通过剪枝的方法，以此减少计算的复杂性。例如，可以使用最小生成树算法或者最短路径算法来优化图的结构，从而减少不必要的连线，提高搜索路径的效率。这样，即使在复杂环境中，搜索算法也能以更高效的方式找到最佳路径。

3.4 导航网格图

在实际应用中，导航网格图被广泛应用于无人机飞行、自动驾驶车辆和机器人等智能设备的路径规划和导航。将环境抽象成导航网格图可以显著提高模型的效率，同时减少计算和搜索的复杂性。导航网格图的建模方式使得无人机能够根据模型中的多边形快速生成可飞路径，从而提高路径规划的速度和效率，并保证在低空环境下的飞行安全。

此外，导航网格图还具有灵活的弹性，比如针对临时限制空域的调整，可以通过动态修改单元格尺寸、调整网格颗粒度以及优化算法，进一步提高模型的性能。随着人工智能和无人机系统技术的不断发展，导航网格图的弹性和动态特性使其能够继续发挥重要作用，为无人机的自主飞行提供关键支持。

尽管导航网格图能够将节点数量与求解计算量控制在可接受范围以内，但是可能会导致求解质量下降，无法得到令人满意的最优解。一般而言通过增加节点的数量可以提高求解质量，但却会使得求解效率出现降低。因此，在对导航网格图建模时，需要权衡节点数量和路径平滑度，以确保求解的效率和飞行的稳定性。

4 结论

现阶段，无人机系统已经成为低空环境下的主要用户，无人机的应用范围涵盖了农业、航拍、交通监管、物流配送等各个行业。低空环境下的无人机飞行技术研究通常需要对其飞行环境进行数学建模，以此便于在计算机数值仿真进行求解运算。对于无人机在低空环境下飞行的研究，目前侧重于完善低空环境建模的理论基础和方法，在数学建模过程中通常需要对无人机飞行运动学模型、传感器技术、空间状态特性、空域环境、空域管制规定等因素进行综合考虑。由于这些因素的多元性和复杂性，使得无人机在低空环境下的建模方法具有一定难度。

参考文献

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