摘要：飞行器环境重构本质可认为是流场重构，即需对流场特征进行提取、分析与重构。为了实现对计算流体力学样本的学习，引入基于数据驱动的降阶模型。在实现低维空间中描述流场演化的过程中，本征正交分解和深度神经网络的发展研究较为完善。笔者调研学习了近年有关气动降阶理论、基于本征正交分解的流场重构方法以及深度神经网络在流场降阶的应用的国内外相关文献，整理综述了相关内容的研究进展。

关键词：流场重构；流场降阶；本征正交分解；深度神经网络

引言

流场是用欧拉法描述的流体质点系运动，是流体的速度、压强等参数在时空坐标场上形成的速度场、压强场等的统称。在飞行器飞行过程中，飞行器周围形成了复杂的流场。在空气动力学领域，获取飞行器在不同构型和不同工况下的流场信息是研究的一个重要方面，是开展飞行器分析、控制和优化工作的重要基础。

伴随着计算机技术和数值分析技术的高速发展，基于网格划分和N-S方程的计算流体力学（Computational Fluid Dynamics， CFD）[1]是当前流体力学领域最广泛采用的流场分析手段。描述非定常流体运动的N-S偏微分控制方程具有强非线性和高维度的特性，而基于偏微分方程的全阶模型（Full-Order Model， FOM）具有极高的精确性。随着网格的不断细分，CFD能够精确地获取非定常流场随时间演化的细节信息，然而其极高的计算代价导致了庞大的计算时间尺度，无法满足快速预测流场的需求。笔者调研学习了近年有关气动降阶理论、基于本征正交分解的流场重构方法以及深度神经网络在流场降阶的应用的国内外相关文献，整理综述了相关内容的研究进展。

1 气动降阶理论

为了满足工程研制中高精度、高效率、低复杂度，以及理论研究中简洁、直观的要求，基于数据驱动的降阶模型（Reduced-Order Model， ROM）[2]能够通过对CFD样本的学习，提取出流场的主要特征，将FOM中的高维解决方案替换为低维解决方案，在达到同CFD仿真相近的精度的同时减小计算的时间尺度，提高气动计算的效率。

根据数学方法、模型结构、数据来源的不同，当前的ROM主要分成两大类[3]：一类是基于特征提取的模态分解方法，一类是基于输入输出样本的系统辨识方法。

流场特征提取方法的本质是寻找一组低维的子空间（即流动模态或相干结构），将高维、复杂非定常流场表示为这些子空间在低维坐标系上的叠加，从而在低维空间中描述流场演化。本征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition， POD）[4～5]和动力学模态分解（Dynamic Mode Decomposition， DMD）[6]是典型的基于特征提取的模态分解方法，能够针对流场的识别问题捕获不同的流动特征。

系统辨识是根据观测到的系统输入输出，从而得到与该系统等价的数学模型过程。为了满足当前行业的自动化需求，ROM的进一步发展必须考虑与最新最先进的机器学习（Machine Learning， ML）算法相结合。在目前的方法中，以CFD产生的高维的、大规模的流场数据作为训练样，通过大量学习，就能构建以翼型参数、雷诺数、攻角等为输入，流场分布为输出的深度神经网络（Deep Neural Network， DNN）映射模型，无需数值迭代，模型就能够快速地预测出翼型流场分布。

而根据是否采用原系统的控制方程，ROM可以分为嵌入式和非嵌入式两类。

2 流场重构

流场的特征包括两个维度的特征[7]，分别为空间维度特征和时间维度特征，流场空间维度的特征是指一个固定时刻的流场中的复杂物理特征，例如涡、激波、湍流等。流场时间维度的特征则是指一段时间内发生了较大变化的流场关键时间步。

流场重构是利用少量的流场数据重构出整个流场的完全数据，可以分为空间重构和时间重构。流场的空间重构是利用所提取的流场空间特征，对实验测得的低分辨率数据进行高分辨率重构；流场的时间重构是利用流场的当前时间步信息，对流场进行演化，预测下一时间步的流场信息。通过流场的相关参数对流场进行映射重建的过程， 本质是建立相关参数作为输入、流场参数作为输出的网络模型。与CFD等传统计算方法相比较，卷积神经网络能够加速基于流场的外形优化计算。同时，通过引入物理约束条件可以使得重构效果更佳。

近几年在流场重构流场重构的建模与计算过程中主要使用的方法与理论有深度卷积神经网络[8]、动力学模态分解[9]、特征分解[10]、PINN[11]等，当前针对于飞行器外流的机器学习湍流模型研究较多， 可以预见机器学习、CFD及超级计算机的融合发展势必会加速数值模拟计算速度，成为一种新的范式。

3 国内外研究现状

基于POD的流场重构方法已有大量研究[12～14]，研究表明，基于POD的流场重构方法利用极少的流场数据就可以高效精确地重构出流场的全部数据。虽然POD是一种线性方法，但在重现跨声速范围内存在激波等强非线性现象上，表现出了一定的非线性特性，且具备一定的外插能力。

虽然基于POD的模型降阶是最优的，可以生成物理上可解释的模式，但对于实际问题还不够好，其主要存在两个问题：其一，POD提取的是流场空间维度特征，若不加入流场控制方程，只能实现当前时间步流场的空间重构；其二，面对复杂的流场，POD提取的显著模态的数量将会增加，对计算带来显著挑战。

对于第一个问题，可以将POD的流场降阶能力和DNN的回归预测能力相结合，即用POD低阶投影得到流场时不变的空间维度特征模态，而相应模态系数的时间维度则通过递归神经网络得到。尚珣[15]等构造POD-RBFN混合降阶模型，以实现叶栅非定常流场的快速预测；Bukka[16]等建立POD-RNN混合数据驱动ROM模型，其性能在二维柱体的简单流场与相邻柱体的较复杂流场中得到检验。

对于第二个问题，可以利用卷积神经网络（Convolutional neural network， CNN）[17]强大的非线性映射能力以及分层提取信息特征的功能，使用卷积神经网络代替POD提取的流场特征，后续网络层对提取出的特征信息进行处理。基于DNN的流场重构分为三个部分[18]：特征提取、时间推进和高维重构。这三部分协同工作，根据当前时间步的流场和结构运动情况，完成下一时间步的流场预测。如果DNN只使用特征提取和高维重构两个部分，则DNN可以根据当前时间步长的流场重建当前时间步长的流场。

相比于POD，采用深度神经网路构造的降阶模型，能够以更小的计算代价达到相同的精度，且具有更低维度的特征提取能力[19]。除此之外，其还有以下三点优势：其一，CNN可以提取流场的时空维度特征。对于根据已知几何外形预测速度场或压力系数类的问题，CNN能够借助特征识别，把握流场中更主要的信息，在给定雷诺数、攻角和翼型的情况下能够有效预测气动流场中的速度和压力场；对于在时间序列上的波动，CNN同样能够以卷积的方式学习到其在时间序列上的特征。其二，在涉及变外形的泛化性能讨论预测类问题中，CNN能够输入二维或高维数据，使得流场几何外形能够直接参与网络输入，而不需要经过预先参数化的处理，为学习复杂的几何外形提供了灵活性。其三，带有CNN的分解比标准的POD算法具有更低维度的特征提取能力，且相比POD-DNN将时间和空间进行独立处理，CNN能将对空间特征的提取过程嵌入进全神经网络中，能更好地处理高度非线性问题[20]。

深度神经网络在流场降阶的应用上具有很大的发展前景，相关的研究也已有很多。Sekar[21]等首次探索了深度学习方法在大量可变几何形状翼型流场预测中的能力，证明了DNN在流场重构中的可靠性。韩仁坤[22]等建立了基于深度神经网络的流固耦合系统降阶模型，以快速准确地预测流固耦合系统在不同结构参数下的响应。奕建苗[23]等提出了一种用于预测跨声速下具有不同几何形状的超临界翼型的深度神经网络。针对CNN不能像POD或DMD那样可视化分解后的流场，以生成物理上可解释的模式的问题，Murata[24]等提出了一种新的非线性模态分解方法来可视化分解后的流场，称为模态分解卷积神经网络自编码器（MD-CNN-AE）；Fukami[25]等提出了一种自定义的基于卷积神经网络的自编码器，称为分层自编码器，它能提取流场的非线性自编码器模式，同时保留潜在向量的贡献顺序，并实现高效的降阶。

而ROM模型在流场重构的应用上，目前研究主要都还是针对二维流场和翼型，Li[26]等提出了一个可从二维翼型推广到三维机翼的基于数据驱动的颤振分析模型，但并没有真正重构三维机翼的流场。关于三维机翼的流场重构研究暂时还是空白。

4 结论

本文主要介绍了气动降阶理论的内涵与外沿解释、在流场重构中的应用，流场重构的定义、建模过程、多维度特征以及流场重构研究方法的国内外研究现状。此外，针对飞行器复杂物理环境的快速预测任务需求，基于数据驱动的低阶快速分析模型仍不太完善，某些维度的研究仍是一片空白。最后，流场重构与深度学习需要大量数据，如何发展小样本的建模方法是日后工程上可以推广的研究方向。

参考文献

[1]CHAPMANDR.Computation alaero dynamics development and outlook [J].ALAAJournal，2020，17（12）：1293-1313.doi：10.2514/3.61311

[2]HAACKE G. New figure of merit for transparent conduct-ors[J].  Journal  of  Applied  Physics，2020，47（9）：4086- 4089.

[3]寇家庆.非定常气动力建模与流场降阶方法研究.2018.西北工业大学，MA thesis.

[4]张晋顼，任勇峰，单彦虎，等.基于 FPGA 的可调节信 号发 生 器 的 设 计 与 实 现 [J].电 子 设 计 工 程，2019， 27（22）：137-141.

[5]Dowell EH. Eigenmode analysis in unsteady aerodynamics-reduced-order models. AIAA Journal， 2021， 34（8）： 1578-1583

[6]Schmid PJ. Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data. Journal of Fluid Mechanics， 2020， 656：  5～28

[7]王俊.海量流场数据涡特征与关键瞬态提取研究.2021.电子科技大学，MA thesis.

[8]陈皓，郭明明，田野，陈尔达，邓雪，乐嘉陵，李林静.卷积神经网络在流场重构研究中的进展[J].力学学报，2022，54（09）：2343-2360.：2344-2356

[9]孙国勇，董加新，赵志高，王玉川.动力学模态分解方法重构及预测流场误差分析[J].江苏大学学报（自然科学版），2021，42（02）：145-152.

[10]陈学炳. 基于特征分解的离心泵内流场分析及其性能优化研究[D].兰州理工大学，2022.DOI：10.27206/d.cnki.ggsgu.2022.000030.：106-110

[11]何伟峰，陈伟芳，陈丽华，张伦. 基于PINN的流场回归和重构[C]//.第十一届全国流体力学学术会议论文摘要集.[出版者不详]，2020：935.DOI：10.26914/c.cnkihy.2020.036061.：1-1

[12]刘浩， 徐敏，and 叶茂."基于特征正交分解的跨声速流场重构和翼型反设计方法研究." 空气动力学学报 30.04（2012）：539-545.

[13]姚伟刚， 徐敏，and 叶茂."基于特征正交分解的非定常气动力建模技术." 力学学报 42.04（2019）：637-644.

[14]叶茂， et al."基于特征正交分解翼型流场反设计方法研究." 航空制造技术 .17（2021）：89-93. doi：10.16080/j.issn1671-833x.2011.17.021.

[15]尚珣， et al."基于POD-RBFN降阶模型的串列叶栅流场预测." 航空工程进展 .

[16]Bukka， Sandeep Reddy ， et al. “Assessment of unsteady flow predictions using hybrid deep learning based reduced-order models.” Physics of Fluids 33.1（2021）：013601.

[17]Zhang K， Zuo W， Chen Y， et al. Beyond a gaussian denoiser： Residual learning of deep CNN for image denoising. IEEE Transactions on Image Processing， 2017， 26（7）： 3142-3155

[18]刘天源，李云珠，谢永慧，张荻. 基于深度卷积神经网络的非定常周期流场重构及气动性能预测方法[C]//.第十一届全国流体力学学术会议论文摘要集.[出版者不详]，2020：929.

[19]叶舒然， et al."基于卷积神经网络的深度学习流场特征识别及应用进展." 航空学报 42.04（2021）：185-199.

[20]Han， Renkun et al. “Deep neural network based reduced-order model for fluid-structure interaction system.” Physics of Fluids （2022）： n. pag.

[21]Sekar， Vinothkumar ， and  B. C. Khoo . “Fast flow field prediction over airfoils using deep learning approach.” Physics of Fluids 31.5（2019）：057103.

[22]韩仁坤，刘子扬，钱炜祺，王文正，陈刚.基于深度神经网络的流场时空重构方法[J].实验流体力学，2022，36（03）：118-126.

[23]奕建苗，邓枫，覃宁，刘学强.快速预测跨声速流场的深度学习方法[J].航空学报，2022，43（11）：215-228.

[24]Murata， Takaaki ，  K. Fukami ， and  K. Fukagata . “Nonlinear mode decomposition with convolutional neural networks for fluid dynamics.” Journal of Fluid Mechanics （2020）.

[25]Fukami， Kai et al. “Convolutional neural network based hierarchical autoencoder for nonlinear mode decomposition of fluid field data.” Physics of Fluids 32 （2020）： 095110.

[26]Li， Jichao & He， Sicheng & Zhang， Mengqi & Martins， Joaquim & Khoo， Boo. （2022）. Physics-Based Data-Driven Buffet-Onset Constraint for Aerodynamic Shape Optimization. AIAA Journal. 60. 1-14. 10.2514/1.J061519.