摘要：离散数学作为数学与应用数学专业的核心基础课程，其知识体系抽象、知识点关联性强，传统教学模式易出现知识碎片化、讲解晦涩等问题，影响教学质量与学生学习效果。本文围绕离散数学课程体系优化与教学改革展开研究，构建基于知识图谱的离散数学课程知识体系，完成知识点的系统化梳理与设计，搭建逻辑清晰的知识框架；开展基于知识图谱的教学设计与实践，优化教学流程、强化教学针对性。通过多轮学生中期评价检验改革成效，结果显示，课程评价分数长期稳居高位，2025-2026 学年上学期知识图谱落地后评价分数达 97.84 分，学生对课程满意度与认可度显著提升，其中“教学效果满意度”与“教师专业知识储备”和“讲解清晰度”等关键指标高度相关。研究表明，基于知识图谱的课程体系构建与教学改革，可有效破解传统教学难题，实现以教促学、以改提质，为离散数学及同类基础课程的教学改革提供参考与借鉴。

关键词：知识图谱；离散数学；课程知识体系；教学改革

0. 引言

离散数学作为数学与应用数学专业的核心课程，具有知识点繁杂、逻辑严谨的特点。课程内容涉及集合论、关系与函数、图论、树与二叉树等多个知识模块，各模块知识点之间以及模块内部知识点之间存在着复杂的逻辑关联关系。但该课程知识点抽象晦涩，模块间知识点关联隐蔽，传统教学中“章节割裂式”授课导致学生知识认知碎片化，普遍存在“重记忆轻关联”“重理论轻应用”问题，难以构建系统性知识框架，课程学习获得感偏低。《教育数字化战略行动方案》明确提出“推动信息技术与教育教学深度融合”，要求高校深化课程数字化改革。

知识图谱作为一种结构化知识表示方法，能够通过实体 - 关系 -实体的三元组模型，对知识概念及其内在逻辑关系进行形式化描述。近年来，知识图谱技术在搜索引擎、问答系统、推荐系统等领域取得了广泛应用 ， 展现出了强大的知识组织和推理能力。随着人工智能技术在教育领域的不断渗透，知识图谱也被认为是解决课程知识体系构建和教学资源组织问题的有力工具。基于知识图谱技术，可以将课程知识进行结构化表示，清晰描绘知识点之间的层次和逻辑关联，为知识传递和学习路径优化提供支撑。同时，知识图谱也为异构教学资源的关联映射和智能化组织奠定了基础，有助于建立统一的教学资源库，提升资源利用效率。

本文针对现有教学的痛点，将以数学与应用数学专业《离散数学》课程为例，探索基于知识图谱的课程知识体系构建方法 ， 并在此基础上整合分散的教学资源，建立统一的教学资源库，优化离散数学课程知识传递逻辑，助力数学与应用数学专业离散数学课程建设。

1. 知识图谱在课程建设与教学改革中的应用

知识图谱（Knowledge Graph）起源于 20 世纪 70 年代知识工程与专家系统的研究 [1]，其本质是基于知识图式理论表征事物语义关系网络的图数据结构 [2]。随着谷歌将知识图谱应用于大规模语义网络搜索引擎，知识图谱在各行业的应用日渐广泛，并在不同学科的研究中，衍生出概念图谱、认知图谱、事理图谱、认知事理图谱等 [3]。

李艳燕等提出了“学科知识图谱”与“教育知识图谱”的概念，为知识图谱在教育领域的应用奠定了理论基础[4]。他们的研究强调了知识图谱在梳理知识间相互关系中的重要性。邓莉琼等讨论了教育知识图谱构建及应用的技术框架，包括数据采集、图谱构建和个性化学习三部分，为知识图谱在教育领域的深入应用提供了技术指导 [5]。

王松红等构建了基于知识图谱的理论模型，从本体论的角度重新塑造了课程知识结构，并提供了一套智慧教学系统的框架和“岗课赛证”融合的方式，把传统的教学模式转变为数据驱动的教学模式[6]。

宣峰提出“图谱—模块—接口”一体化设计课程体系，将知识图谱作为专业群课程体系构建的核心驱动引擎，贯穿于课程体系重构、模块化实施与能力输出的全过程，为高职教育专业群高质量内涵式发展提供可复制、可验证的解决方案[7]。

柴玉梅等针对课程的特点，为解决离散数学教学过程中“重理论，轻实践”、知识点琐碎等问题，结合团队多年的教学经验，提出基于知识图谱的“223”实践教学模式，给出了详尽的教学案例。不仅提升了学生学习离散数学的兴趣，而且提高了自主学习和程序设计与实现的能力[8]。

以上研究展示了知识图谱在教育领域的多样化应用，从课程内容的组织到个性化学习路径的推荐，再到教学模式的创新，知识图谱正逐渐成为教育技术中不可或缺的一部分。随着技术的不断进步，知识图谱在未来教育领域将发挥更加重要的作用。

2. 基于知识图谱的课程知识体系构建与设计

2.1 构建目标与原则

离散数学知识图谱的构建目标是打造可视化、一体化的离散数学知识载体：一方面形成层级清晰的知识网络，以“离散数学核心素养”为顶层统领，向下延伸至模块、知识点、子概念三级节点，直观呈现知识脉络；另一方面实现“知识点 - 资源 - 应用场景”的深度融合，既为教师提供教学重难点定位工具，又为学生搭建从理论学习到应用实践的桥梁，为后续教学赋能提供坚实基础。

构建需遵循适配性、系统性、实用性与可扩展性四大核心原则，各原则相互支撑形成有机整体。适配性原则聚焦课程本质与学习规律，既要严格对标本校数学与应用数学专业《离散数学课程教学大纲》，确保知识点覆盖与教学目标精准匹配，又要贴合学生从具象到抽象的认知进阶过程。系统性原则强调知识网络的完整性与关联性，不仅要全面覆盖数理逻辑、集合论、图论等三大核心模块，更要显性化模块间的隐性关联，梳理各知识点间的逻辑衔接，避免碎片化。实用性原则立足教学场景需求，通过关联微课视频、典型习题、易错案例等资源，实现“知识点 - 资源”的即时调用；针对各章的高频易错点，添加对比标注与反例解析，直接服务教学重难点突破。可扩展性原则兼顾长效迭代，预留知识点更新接口，支持纳入量子离散数学等前沿内容，同时适配不同层次学生的需求，如为偏好计算机的同学强化“图论与算法”关联，为偏好数学的同学补充“代数系统理论推导”节点。

2.2 构建流程和关键步骤

1） 知识点解构与梳理：

知识点解构是知识图谱构建的前提，其核心目标是精准界定离散数学课程的知识边界，梳理出完整、规范的知识点清单，为后续关联逻辑设计提供基础素材。具体实施过程如下：

首先，明确解构依据与范围。以我校《数学与应用数学人才培养方案》中的毕业要求以及离散数学课程的核心要求为导向，参照耿素云、屈婉玲《离散数学》（第六版）等权威教材的章节体系，结合三所不同层次高校的离散数学课程教学大纲，确定知识点解构的核心范围。最终明确覆盖三大核心模块：集合论、数理逻辑、图论，涵盖离散数学课程的基础理论与核心应用内容，确保图谱的适配性。

其次，实施层级化知识点拆解。采用“模块- 子模块- 核心知识点-子知识点”的四级拆解法，对三大模块进行逐层细化。以“数理逻辑”模块为例，先拆解为“命题逻辑”“谓词逻辑”“推理理论”3 个子模块；再将“命题逻辑”子模块拆解为“命题与联结词”“命题公式与赋值”“等值演算”“主析取范式与主合取范式”“命题逻辑的推理理论”等 5 个核心知识点；最后对“命题与联结词”核心知识点进一步拆解为“命题的定义与判定”、“原子命题与复合命题”、“常用联结词”、“联结词的优先级与运算规则”等 4 个子知识点。通过层级化拆解，将原本抽象的课程内容最终转化为 284 个可操作、可标注的具体知识点，其中核心知识点46 个，子知识点82 个，实现了知识内容的“颗粒化”处理。

最后，完成知识点属性标注。为增强知识点的辨识度与后续应用价值，为每个知识点标注 5 类核心属性：一是“难度系数”，采用等级制，结合教材习题难度与学生学习反馈标注，如“命题逻辑的等值演算”标注为中等难度，“谓词逻辑的量词辖域扩张与收缩”标注为极高难度）；二是“教材章节关联”，明确每个知识点对应的权威教材章节，如“图的连通性”对应《离散数学》（第六版）第5 章第2 节；三是“先修知识点”，标注掌握该知识点所需的前置知识，如“主析取范式”的先修知识点为“命题公式与赋值”“等值演算”；四是“专业适配性”，区分知识点对不同专业的重要程度，采用“核心C、基础B、拓展 E”三级标注，如“图论的最短路径算法”对计算机专业标注为“C”，对数学专业标注为“B”；五是“易错点标记”，结合历年学生期末考试错题数据与教师教研经验，标记 28 个高频易错知识点，如“蕴涵联结词的真值表”“等价关系与偏序关系的判定”等，为后续关联逻辑设计中的“易错对比关系”构建提供依据。

最终形成涵盖三大模块、284 个知识点及对应的 5 类属性信息的《离散数学知识点清单及属性表》，为课程知识图谱的构建提供了精准、规范的基础素材。

2） 知识关联逻辑设计

离散数学知识点间的关联具有“逻辑性强、隐蔽性高、层级化明显”的特点，传统教学中难以显性化呈现，导致学生知识认知碎片化。采用“多维度关联构建”的思路，结合离散数学课程特性，构建“四类关联关系 + 可视化逻辑表”的关联体系，实现知识关联的显性化与系统化。

首先，界定四类核心关联关系。通过对 284 个知识点的内在逻辑分析，结合课程教学规律与学生认知进阶需求，明确知识点间的四类核心关联关系：一是“前置依赖关系”，即某知识点的学习必须以另一知识点为基础，体现知识的递进性，如“谓词逻辑”依赖“命题逻辑”，“主析取范式”依赖“等值演算”，此类关系共梳理出 89 组，占总关联关系的 42.3% ；二是“并列类比关系”，即知识点同属一个子模块，处于同一认知层级，具有相互参照性，如“集合的并运算”与“集合的交运算”“图的顶点着色”与“图的边着色”，此类关系共梳理出56 组，占 26.7% ；三是“应用延伸关系”，即基础知识点向应用案例或后续专业课程的延伸，体现知识的实用性，如“图论的连通性”延伸至“网络拓扑结构设计”，“欧拉回路的生成”延伸至“邮政路线规划”，此类关系共梳理出 41 组，占 19.5% ；四是“易错对比关系”，针对 28个高频易错知识点，梳理其易混淆的关联知识点，通过对比凸显差异，如“等价关系”与“偏序关系”、“强连通图”与“弱连通图”、“蕴涵联结词”与“等价联结词”，此类关系共梳理出 24 组，占 11.5% 。四类关联关系相互交织，形成覆盖全部知识点的关联网络。

其次，绘制知识关联逻辑表。为确保关联关系的清晰化与可操作性，设计《离散数学知识点关联逻辑表》，涵盖“源知识点 ID”“源知识点名称”“关联类型”“目标知识点 ID”“目标知识点名称”“关联说明”6 项核心内容。以“易错对比关系”中的“等价关系”与“偏序关系”为例，逻辑表具体记录为：源知识点 ID“3-2-4”，源知识点名称“等价关系”，关联类型“易错对比关系”，目标知识点ID“3-2-5^" ，目标知识点名称“偏序关系”，关联说明“二者均为集合上的二元关系，核心区别在于等价关系满足自反、对称、传递性，偏序关系满足自反、反对称、传递性；典型案例：‘相等关系’是等价关系，‘小于等于关系’是偏序关系”。关联逻辑表的绘制使抽象的关联关系转化为具象的文字描述，为后续数字化实现提供明确依据。

最后，构建模块间跨域关联。离散数学三大模块并非孤立存在，模块间的跨域关联是构建系统性知识体系的关键。通过课程团队成员研讨，梳理出 12 组重要的跨模块关联关系，如“图论的‘图模型’”可用于表示“集合论中的‘集合与元素关系’”（图论 $$ 集合论）等。这些跨域关联的梳理打破了传统教学中“章节割裂”的局限，使知识图谱形成“模块内递进、模块间关联”的网状结构，契合离散数学课程的系统性本质。

3） 知识图谱数字化实现

数字化实现是将“知识点清单”与“关联逻辑表”转化为可视化、可交互知识图谱的核心环节。该过程主要是在智慧树平台完成知识点与关联关系的数字化录入，并生成课程知识图谱，然后将教学资源与知识图谱进行关联挂载。为实现“一键调用教学资源”的一体化效果，需将收集整理的微课视频、课件 PPT、典型习题、定理推导过程、应用案例以及错题解析等离散数学教学资源与知识点节点进行关联挂载。具体关联策略为：对于每个核心知识点，至少关联课件、习题、案例、思政点等四类资源；对于易错知识点，额外关联“错题解析”资源；对于应用延伸知识点，关联“行业应用案例”资源。

通过上述数字化与关联，实现学生点击知识节点即可直接访问相关资源，构建“知识学习- 资源调用- 练习巩固”的完整闭环。

4） 图谱校验与优化

通过“专家评审、师生反馈、实际测试”等多维度校验，发现并修正图谱中的知识点遗漏、关联逻辑偏差、可视化缺陷等问题，完整整个知识图谱的校验与优化。

专家评审采用“逐项核查 + 集中研讨”的方式，逐项核查 284 个知识点的准确性与完整性，验证 210 组关联关系的逻辑合理性，评估可视化呈现的清晰度与交互功能的实用性。

选取我校数学与应用数学专业 5 个班级共 274 名学生与课程组的5 位离散数学授课教师进行预调研，让师生实际操作知识图谱并填写反馈问卷，同时组织师生座谈会收集定性意见。

最后针对专家评审与师生反馈的问题，和智慧树方进行沟通并进行了优化处理，比如：补充“错排问题”等遗漏知识点、修正“等值演算与主析取范式”的依赖关系、增加“知识点收藏”“错题记录”等功能、补充课后习题答案等资源，新增“离散数学发展史”“数学家故事”等思政拓展资源，丰富图谱的教育价值。优化完成后，进行为期 2 周的稳定性测试，模拟 200 名用户同时在线操作，图谱运行稳定，无节点丢失、关联错乱等问题，交互功能响应时间均在0.5 秒以内，满足教学应用的需求，最终形成适配我校数学与应用数学专业的离散数学知识图谱。

图1 离散数学知识图谱

3. 基于知识图谱的离散数学教学设计与实践

基于知识图谱的离散数学教学路径以“精准适配教与学”为核心，构建“课前诊断铺垫- 课中赋能深化- 课后拓展巩固”的全流程体系，实现技术与教学的深度融合。

课前聚焦学情诊断与预习引导，依托教学平台围绕预备知识点设计分层测试题，学生完成后系统自动关联图谱节点，通过错题数据生成红、黄、绿三色可视化学情报告，精准定位班级共性薄弱点与个人知识缺口。教师据此推送个性化预习包，对学生薄弱点配套标注关联关系的局部图谱及微课，并布置“图谱填注”任务，提前把控预习效果。

课中实现精准施教与互动深化，投影全课程图谱，点击相应课时的核心知识点，高亮前置依赖、并列关联及应用延伸节点，帮助学生建立“局部 - 整体”认知。针对重难点，调阅关联链辅助讲解，易错点通过图谱对比模块呈现差异及反例，搭配课堂提问强化理解；复杂推导分步展开逻辑链，同时设小组协作任务，各组围绕相应主题补充空白图谱，教师合并优秀成果形成班级拓展图谱。

课后侧重个性化复习与智能护航，平台依据学生课堂表现更新个人知识图谱，生成学生“知识掌握热力图”，为基础薄弱学生推送“图谱拆解 + 基础习题”包，为学有余力者设计综合应用任务。智能助教体系支持疑问节点一键查询与错题解析，未解决则触发人工答疑并同步学习数据，定期生成“学习周报”量化进度并给出建议，形成“诊断- 教学- 巩固”的闭环赋能路径。

4. 课程教学评价与课程改革成效

通过知识图谱构建离散数学的课程知识体系，将离散数学中的知识点、概念、原理等以图谱形式直观展现，增强了知识之间的逻辑性和连贯性。利用知识图谱的可视化技术，能够将离散数学的教学和学习过程以图形化的方式展现，帮助学生更直观地理解和掌握知识结构。

笔者自 2022 年以来一共讲授四轮离散数学，2022-2023 学年上学期至 2025-2026 学年上学期，四轮学生中期评价分数分别为 97.67分、95.67 分、97.44 分、97.84 分，整体表现优异。尤为值得关注的是，2025-2026 学年上学期离散数学知识图谱建设完成后，学生中期评价成绩达到 97.84 分，创下四轮评价以来的新高，充分彰显了知识图谱建设对课程教学质量的显著促进作用，也反映出学生对知识图谱应用后课程教学效果的高度认可。

以 2025-2026 学年上学期学生中期评价数据为核心分析对象，结果显示，学生对课程总体授课效果的满意度与多项评价指标存在较强正相关关系，进一步印证了知识图谱建设后学生对课程的高度满意。其中，“该老师是本学期授课教师中我最喜欢的老师”这一指标与“我对该门课程的总体授课效果很满意”的相关性达 0.67，“老师具有较全面的专业知识、讲解清晰，重点突出，详略得当，对我的学习帮助很大”这一指标的相关性达 0.65 。

上述相关性分析表明，知识图谱建设完成后，教师的专业授课能力得到更好的发挥：依托知识图谱可视化的知识网络，教师可快速定位各知识点的前置依赖、关联逻辑及易错点，明确教学重难点；结合图谱学情诊断数据（如班级共性薄弱点、个体知识缺口），实现 “以学定教”，减少盲目备课时间，课程讲解的逻辑性、针对性显著增强，不仅提升了学生对教师的认可度，更切实助力学生高效掌握课程知识，有效解决了学习中的重点难点问题。学生对课程的高满意度，直接体现了知识图谱在优化教学过程、提升学习效果中的重要价值，也说明知识图谱的应用能够精准对接学生学习需求，为学生的知识吸收和能力提升提供了有力支撑，获得了学生的广泛认可和高度评价。

结语

本文针对离散数学抽象、知识碎片化等教学痛点，完成课程知识体系重构，并最终构建含三大模块、284 个知识点的结构化图谱，形成“知识点 - 资源 - 易错点”一体化呈现。为教师提供系统化教学工具，为学生搭建逻辑化认知框架。然而，在改革过程中也面临技术、教学管理和伦理等方面的挑战。未来，需加强教师培训和学生学习监督，同时重视数据隐私保护和培养学生的自主学习能力；进一步结合生成式人工智能优化图谱动态更新功能，推动离散数学的教学向更加智能化、个性化的方向发展。

参考文献：

[1] Vries A P. Knowledge representation in expert systems[M]. Amsterdam： North-Holland Publishing Company， 1989.

[2] 肖仰华 ， 孙晓玲 ， 李涓子 . 知识图谱：概念与技术 [J]. 计算机研究与发展 ，2020，57（03）：582-600.

[3] 林健 ， 柯清超 ， 黄正华 ， 等 . 学科知识图谱的动态生成及其在资源智能组织中的应用 [J]. 远程教育杂志 ，2022，40（04）：23-34.

[4] 李艳燕 ， 张香玲 ， 李新 ， 等 . 面向智慧教育的学科知识图谱构建与创新应用 [J]. 电化教育研究 ，2019，40（08）：60-69.

[5] 邓莉琼 ， 任 媛 ， 王杰宇 ， 等 . 基于知识图谱的课程知识体系构建到学习者画像生成及应用技术研究 [J]. 计算机科学与应用 ， 2021，