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摘要：在《教育信息化2.0行动计划》指导下，信息技术在高校教育事业中的应用程度不断提高，依托于“互联网+教育”模式，线上线下混合式教学模式成为高等数学新方式。基于此，本文首先简单阐述了线上线下混合式教学模式内涵，分析线上线下混合式教学模式在高等数学中的应用优势，从课前、课中、课后三个层面讨论高等数学中线上线下混合式教学模式的应用方式，进一步以泰勒级数教学为例展开实例分析。

关键词：高等数学;线上线下混合式教学;教学实践;泰勒级数

引言

信息化是当代社会发展的主题，信息技术逐渐被应用到不同行业中，高校作为人才培养重要阵地，同样可引入信息化教学模式，采用线上线下混合式教学方式展开教学。对于学生而言，高等数学学习与理解难度较高，传统教学模式枯燥乏味，不利于学生理解，在教育信息化2.0时代，可积极应用信息技术，基于线上线下混合式教学模式进行高等数学课程教学。

一、线上线下混合式教学模式内涵

线上线下混合式教学模式是在《教育信息化2.0行动计划》推进期间自然而然衍生出的新颖模式，是互联网教学、传统课堂教学的巧妙融合，借助互联网良好衔接线上与线下、课上与课下，以此构成了一个完整的教学模式，不仅符合当前教育信息化发展潮流，还可起到创新教学方式、提升教学质量的作用。线上线下混合式教学模式是教育信息化发展的必然趋势，在通讯技术及信息技术的应用下能够充分整合教育资源，打破传统教学模式局限。在线上线下混合式教学期间，可借助在线教育平台（如各类APP终端等）拓宽课堂界限，在该模式下，可将传统线下课堂作为“第一课堂”，而依托于互联网的线上教学则可作为“第二课堂”，在两种不同形式课堂应用下实施教学活动[1]。高等教育教学安排零散，为提升教学质量，则可引入线上线下混合式教学模式，跳出空间与时间的桎梏，均衡协调课内外教学活动，使学生能够通过不同形式、不同渠道展开教学。

二、线上线下混合式教学模式在高等数学中的应用优势

线上线下混合式教学模式属于新颖教学方式，其在高等数学教学期间具有较强应用优势，具体如下：

（一）调动学习积极性

学生在长期学习生涯中早已习惯线下课堂，而线下课堂形式单一，在一定程度上抑制了学生学习积极性，而引入线上线下混合式教学模式后，面对新颖教学方法学生更易产生兴趣，继而更为积极地学习高等数学知识。与传统教学模式相较，线上线下混合式教学模式实施期间，学生可基于互联网获取多样化教学资源，音频、视频、图片、文字等教学资源可充分展现高等数学的趣味性，以此强化学生学习体验，转变学生对高等数学的固定看法。

（二）整合教育资源

我国教育事业持续发展，高校学生数量逐年增加，而高等数学理解难度高，属于任务相对繁重的学科，若仅采用传统线下课堂教学模式，将会产生较大教学压力，继而引发教学进度紧迫、内容讲解浅层化等问题，不利于高等数学教学工作的开展。而应用线上线下混合式教学模式后，则可依托于互联网整合教育资源，提升高等数学教学灵活性，且线上教学不受空间、时间局限，教师可根据学生线上学习情况制定线下教学计划，以此极大提升线下课堂针对性，继而提高高等数学教学质量。

（三）拓展教学课堂

互联网的应用模糊了教学界限，教师可随时随地与学生对接，使教师与学生的学习交流活动更为灵活。线上线下混合式教学模式是对传统线下课堂的延伸，除线下课堂外，线上课堂同样可开展教学活动，例如：学生基于线上教学平台提出疑问，教师则可实时为学生解疑答惑，若学生所提出的问题具有代表性，则可将该问题作为线下课堂重点，带领学生共同讨论，在提高线下课堂教学针对性的同时，全方位提升教学质量。

三、高等数学中线上线下混合式教学模式的应用方式

（一）课前：线上翻转，自主预习

课前预习是保障高等数学教学质量的关键，为提升高等数学教学实效，应加强对课前预习的重视。但在传统教学模式下，课前预习流于形式，学生自主性不强，且教师难以了解学生课前预习效果。而在线上线下混合式教学模式下，教师可根据教学内容设计课前预习任务。第一，教师基于教学大纲梳理课程知识结构，设计预习习题，并根据学生学情准备在线预习资源，同时提出讨论问题，引发学生思考，对其思路产生引导，以此确保学生能够通过课前预习提前了解课程知识体系，并形成初步的知识认知。第二，学生按照教师指导，运用线上教学平台展开课程预习，预习期间，学生可灵活运用碎片化时间进行预习，完成预习习题。若学生在预习过程中对某知识点产生疑问，可直接基于线上教学平台向教师反馈，而教师则根据学生预习反馈及预习习题完成情况进行备课，为后续课下课堂教学奠定基础。第三，自主预习学习监督是传统教学模式的难点，导致教师无法准确了解学生预习情况，而实施线上线下混合式教学模式时，教师可通过查看学生预习习题完成率、微课视频播放率等数据了解学生预习程度，为进一步加强学生对课前线上预习的重视，还可将线上自主预习情况纳入课程考核内容。

（二）课中：重点讲解，问题探索

教师可根据学生课前自主预习情况制定教学计划，基于在线教育平台学生预习数据了解学生预习程度及问题疑惑，以此针对性调节与优化课下教学方案。在线下课堂中，针对学生课前预习已掌握的基础知识点一带而过，重点讲解学生预习期间出现错误的知识点，为学生解疑答惑，继而极大提升高等数学线下课堂教学质量。完成课堂讲解后，教师可借助线上教学平台发放随堂练习，为学生留出独立思考的空间，帮助学生巩固高等数学知识。在线上教学平台帮助下，学生随堂练习结果可直接呈现，教师可通过调取学生练习数据确定学生知识掌握程度，此时可将随堂练习错题整理进行集中解答，除此之外，部分学生在课前预习期间积极反馈问题，而通过线下课堂学习，学生已具备解答预习难题的能力，因此可在错题集中解答基础上，可采用随堂讨论的形式提出预习难题，发散学生思维，培养学生自主解决问题的能力。

（三）课后：知识巩固，答疑提升

完成线下课堂教学工作后，可进一步借助在线教育平台为学生发布课后探索习题，以此巩固课堂知识点。在线教育平台具有实时通讯交流的功能，学生若在自主学习期间产生疑惑，则可基于在线教育平台咨询教师，使高等数学教学工作更为灵活。此外，线上线下混合式教学模式并非仅可依赖在线教育平台，教师还可借助微信、QQ、钉钉等实时通讯软件构建高等数学学习交流群组，学生与教师可根据自身需求随时交流与探讨，以此基于学习交流群形成浓厚的高等数学研究氛围。在课后知识巩固期间，教师应引导学生积极提出问题并进行解答，借助解疑答惑的形式提升学生高等数学知识水平，此外，教师还可定期分享经典案例与优质微课，拓宽教学范围，全方位提升学生高等数学知识掌握程度。

四、高等数学线上线下混合式教学模式应用实例分析——以泰勒级数教学为例

为增强本次高等数学线上线下混合式教学研究的现实意义，确保研究结果可切实指导实践教学工作，本次以泰勒级数教学为例展开分析，讨论高等数学泰勒级数线上线下混合式教学策略。

（一）教学准备工作

1.学情分析

结合上述分析可知，高等数学采用线上线下混合式教学模式时，通常借助在线教育平台构建课前翻转课堂，引导学生协助在线教育平台预习课程知识，为学生提供微课等预习资源，在此期间，教师可采集学生预习数据，并以此为依据进行备课。在线下课堂阶段，教师带领学生共同学习与探究重难点知识，采用互动交流的方式帮助学习梳理知识结构，为学生解答预习期间所遇到的难题。课后巩固阶段，则采用话题讨论、作业测验的方式引导学生巩固课堂知识，并可借助互联网进一步为学生解答疑惑，促进学生内化吸收高等数学知识。

在制定用线上线下混合式教学方案时，应对学生整体水平进行了解，做好学情分析，考虑到课程教学内容为泰勒级数，因此，在教学准备期间，可对学生微积分基础、泰勒公式、初等函数性质等知识掌握程度进行调查，根据学生学情制定线上线下混合式教学方案。

2.明确知识点

为更好地开展泰勒级数教学工作，应在教学准备过程中结合教学任务明确课程重点、关键点与难点。对于高等数学泰勒级数教学而言，该课程重点在泰勒级数定义、泰勒级数构造的掌握，且要求学生可写出常见的麦克劳林级数、泰勒级数，并了解学习多项式逼近函数方法;高等数学泰勒级数课程关键点在于多项式逼近函数的运用与泰勒公式;课程难点在于多项式逼近函数方法的认识与理解，在实际教学期间，可采用可视化数形结合的方式降低教学难度[2]。

3.总结教学目标

对高等数学泰勒级数课程教学目标进行总结，具体如下：第一，目标1。通过高等数学泰勒级数线上线下混合式教学模式使学生学会与理解多项式逼近函数方法，并可采用数形结合的方式揭示多项式逼近函数方法[3]。此外，通过该课程教学，学生应掌握云集用计算多项式某点的方式求解函数近似值。高等数学知识体系完整，在教学期间引导学生类比新旧知识，以问题为驱动引导学生思维，使学生逐步学习与掌握多项式逼近函数方法。对于学生而言，高等数学知识难度较高，因此在泰勒级数教学期间，应以启发为主开展教学活动，循序渐进，分散难点，避免知识难度过高而使学生产生畏难心理。第二，目标2。旨在借助高等数学泰勒级数教学活动切实提升学生逻辑推理能力、自学能力、数学建模能力、数学知识水平，并引导学生形成抽象思维与应用思维，认识到高等数学知识的实用性，增强学生学习体验。第三，目标3。为促进立德树人根本教学目标的实现，应基于高等数学泰勒级数课程培养学生形成求实求真作风、创新探索意识以及高尚科学观、辩证唯物主义世界观。

（二）梳理教学流程

对于高等数学而言，学生思维的引导与培养尤为关键，且高等数学知识具有一定难度，因此在实践教学期间，可采用问题驱动的方式引导学生思维。在教学之前，提出“e代表什么，如何求e”的问题，以此为切入点逐步展开多项式逼近函数方法的教学工作。按照线上线下混合式教学模式梳理高等数学泰勒级数教学流程，将其教学过程划分为三大部分，即线上学习、课堂学习、提炼升华，具体情况可见图1。

线上学习即课前预习阶段，采用翻转课堂模式为学生提供微课为互联网教学资源，学生基于在线教学平台进行预习。课堂学习则为传统线下课堂，在教学期间，做好课题引入与前期知识回顾，根据学生课前预习数据，以问题为驱动导向展开研究教学。在此阶段，教师带领学生探究泰勒级数概念，在概念定义教学过程中，采用e近似值求解方式逐渐引出泰勒级数定义[4]。在整个泰勒级数课程教学期间，自然常数e扮演着重要地位，此时可借助合欧拉公式展开教学，并在呈现数学公式期间带领学生学习数学家欧拉的故事。欧拉一生都用于学习与研究，据统计，欧拉一生所撰写的论文与书籍高达886本，其即使双目失明也并未停止研究数学。欧拉失明后，运用17年的时间，采用口述的完成完成400余篇论文与多本书籍[5]。欧拉孜孜不倦的学习钻研精神、求真求实作风、严谨科学思维均对能够对当代学生产生正面引导，有助于培养学生高尚科学观。欧拉案例故事的引用实现课程思政德育教育，是提高高等数学课程育人实效的重要举措。

（三）具体教学设计

学生为课堂中心，采用线上线下混合式教学模式后应以学生需求为导向设计教学活动。在该案例教学中，所选用的在线教学平台为“学习通”，在此基础上对线上线下混合式教学模式下的高等数学泰勒级数教学设计要点进行分析，具体如下：

1.课前翻转，自主学习

在课前预习阶段，则采用翻转课堂的形式引导学生自主学习。教师按照泰勒级数教学内容设计预习任务，并将其发布至“学习通”在线教学平台内，引导学生采用自主预习学习的方式复习泰勒公式，理解拉格朗日型余项、泰勒多项式的基本构造，并对泰勒级数定义进行学习。基于学生学情设计预习任务，编制泰勒级数导学案，基于“学习通”为学生呈现完整的知识框架结构，同时详细标注泰勒级数课程的重点、关键点、难点知识。教师在前期期间按照泰勒级数课程知识结构分解知识点，并按照所分解的知识点录制微课视频，同时准备课程电子资料，为学生课前翻转在线预习提供资料。教师将预习任务、导学案、知识框架结构、教学目标、微课视频资料、电子教材上传至“学习通”在线教学APP，学生可借助该APP软件完成课前预习。在课前预习阶段，要求学生体验自主预习学习课程知识点的过程，并引导学生正确认识到高等数学的应用价值，增强学生应用意识。

2.线下课堂，问题探究

第一，课题引入。在该阶段引入泰勒级数概念，要求学生理解与掌握泰勒级数定义。课下课堂教学时开门见山，直接引出泰勒级数定义知识，使学生认识到该知识点的重要性，并提升教学目标指向性，用于吸引学生注意力。

第二，知识回顾。带领学生回顾泰勒公式，。在该部分教学期间，提出“如何求解函数近似值”的问题，引发学生探究思考，运用多项式估计在处近似值，采用该方式使学生理解泰勒公式意义，在此基础上，引导学生思考自然常数e相关的数学知识。知识回顾期间采用问题驱动教学法引发学生思考，可有效保障该阶段教学效果。

第三，创设情境。提出“e近似值如何的来”、“是否存在与图像近似的多项式”，借助上述两个问题在线下课堂中营造探究情境，教师与学生共同研究问题，在互动交流与问题探究期间掌握该部分知识，此时应注意，需适时介绍自然常数e相关知识。在创设情境教学阶段，能够有效培养学生问题解决能力，并可借助自然常数e介绍的方式拓宽学生眼界，同时借助数学家欧拉的故事实现课程思政教学，引导学生树立严谨科学观念及创新探索意识。

第四，探究学习。使学生形成泰勒级数概念，引导学生自主写出在在n阶的泰勒公式，同时借助数形结合可视化的形式展现多项式逼近过程。通过探究学习，学生能够理解掌握近似值求解方法，认识到多项式项数是决定近似值求解精度的因素，而误差则取决于拉格朗日余项，借助该探究学习阶段，能够培养学生形成辩证思维及克服困难的能力[6]。

第五，明确概念。在该教学阶段，应引导学生熟练应用泰勒级数概念，在熟悉并掌握泰勒级数构造基础上可写出常见函数的麦克劳林级数，同时借助泰勒级数深入教学培养学生掌握类比、抽象、数形结合、转换等数学思想方法。

第六，随堂练习。随堂练习是检验学生知识掌握程度、引导学生应用知识的过程，在高等数学泰勒级数教学期间，教师可设计“写出常见函数的麦克劳林级数”课堂练习题，借助课堂练习培养学生解决问题的能力[7]。

第七，课时总结。线下课堂完成教学工作后，教师需总结高等数学泰勒级数课程，进一步突出课堂教学重点，使学生能够深入理解泰勒级数本质。在该部分教学期间，教师可灵活调整课时总结方法，可将课时总结的主体由教师转变为学生，以此提升学生归纳总结能力，并借助该方式引导学生回顾课堂知识点。

3.课后巩固，螺旋提升

完成线下课堂教学工作后，按照教学进度为学生布置课后作业，帮助学生巩固高等数学泰勒级数相关知识点。此外，设计知识拓展类课后知识巩固活动，要求学生结合自身知识理解程度自主观看微课视频，学习电子资料知识，此外，为学生推荐纸质参考书，满足学生知识拓展需求，使学有余力的学生能够进一步深入研究该课程知识点。在线上线下混合式教学模式下，除常规性布设课后作业外，教师还可基于“学习通”在线学习平台设置课后研讨专题，根据以往教学经验选取学生常遇到的疑难问题作为研讨专题内容，学生可根据专题问题自主回复，表达自身观点，引导学生围绕某问题交流讨论，以此营造浓厚的课后巩固学习氛围，进一步内化吸收课程知识。此外，高等数学泰勒级数课程虽已完成教学，但部分学生可能仍对某知识点存有疑惑，因此，进入课后巩固阶段后，教师可鼓励学生积极借助“学习通”在线学习平台咨询教师，通过该方式解答学生疑惑，提高教学质量。

结束语

线上线下混合式教学模式具有调用学习积极性、整合教育资源、拓展教学课堂的优势，采用该教学模式可在一定程度上提升高等数学教学质量。应用线上线下混合式教学模式进行高等数学教学时，应根据教学内容，引导学生课前借助教学平台进行预习与自学，初步了解知识点并发现重难点，在线下课堂教学时，则可重点讲解重难点，引导学生挖掘知识深度，在课后巩固阶段，则可通过答疑交流进一步深化学生理解，以此其实提升高等数学教学质量。

参考文献：

[1]张海英，哈丽旦·塔什，杨小艳.《高等数学》线上线下混合式教学模式的几点思考[J].办公自动化，2022，27（16）：31-33.

[2]甘梦婷.大学数学“线上线下”混合模式教学的建设与实践[J].高等数学研究，2022，25（04）：105-107+110.

[3]钟根红，马晓艳.线上线下相融合的教学模式在大学数学教学中的应用与实践[J].大学数学，2022，38（02）：33-38.

[4]梁兆正.线上线下混合式教学实践与反思——以高等数学课程为例[J].教育信息化论坛，2022（03）：12-14.

[5]吕睿星，孙王杰，马俊.高等数学线上线下混合式教学模式探索[J].吉林化工学院学报，2021，38（08）：50-53.

[6]陈宏健.基于智慧教育背景下的高等数学混合式教学研究[J].福建轻纺，2021（07）：33-35+45.

[7]蓝欢玉.线上线下混合式教学模式在高等数学教学中的应用[J].哈尔滨职业技术学院学报，2021（03）：30-32.

[8]张喆.新形势下“高等数学”线上、线下混合式教学的思考[J].科教文汇（下旬刊），2020（08）：79-80.

[基金项目]广西高等教育本科教学改革工程项目《“高等数学”课程混合教学改革研究与实践（编号2021JGA360）》。

[作者简介]

陈璟（1966一），男，汉族，广西合浦人，大学本科，教授，研究方向：数学教育教学。陈广生（1979一），男，汉族，博士，教授，研究方向：数学教学。

蒙海苗（1996一），女，硕士，助教，研究方向：数学教学。