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摘要：教育改革进程下，混合式教学模式主要分为线上与线下两部分，教师会指导学生依靠互联网视频或课件等教学资源进行线上自主学习，转变以往知识点单向传输的问题，使课堂教学更加灵活且高效。本文以高等数学为研究对象，综合利用线上线下混合教学模式进行课程优化设计，分别从课前自主学习、课堂问题研究、在线教育平台创建几部分入手，完成高等数学课程的有效实践，从而为学生营造轻松和谐的课堂学习氛围。

关键词：线上线下;混合教学模式;高等数学;课程设计;教学实践

引言

高等数学属于高校内的理工科与经管类专业必修课程，对学生抽象思维与逻辑能力的培养有着重要意义，同时也是学生后续进行学习的有效工具。与其他学科相比，高等数学课程知识点十分繁杂，部分专业对于高等数学的课时安排比较少，为了追赶教学进度，教师不得不采用传统的灌输式教育方法，将知识点直接传递给学生，导致学生在学习的过程中逐渐缺乏独立思考的思维意识。

1高等数学教学改革的必要性

1.1提高教育质量的要求

高等数学是高等教育中的一项基础性课程，同时也是理工科教学的重要内容，是沟通各专业课程的桥梁，也是教育部对学校教育质量进行评估的课程之一。疫情爆发后，学校为了学生的个人安全考虑，开始尝试使用信息化手段，将线上教学与线下教学两种模式相结合，创新了混合式教学模式，从而转变教学现状，提高教学质量[1]。

1.2培养应用型人才的需要

一直以来，高校是国家培养人才的基地，同时肩负着人才培养的历史重任。现阶段高等数学在教学中存在着较多的问题，这与人才培养的目标有所背离，很多学校开设高等数学课程的时候依然选择灌输式教学方法，这种“满堂灌”的模式不利于尊重学生在课堂中的主体地位，同时会抑制学生主观能动性的提升，对学生自主学习意识与创造意识的产生产生阻碍。为了强化综合素养，培育更多应用型人才，对高等数学课程进行优化设计至关重要。

1.3加快教育信息化进程的需要

教育部按照当前教学情况，提出了“打造五大金课”的相关要求，鼓励高校创建在线开放课程，混合线上与线下两种方式，建设“一流高等数学课程”，这就是金课的一种形式，适合用于高等数学学科教学。教师习惯性通过超星学习通、慕课以及腾讯课堂等线上教学平台，但学生对于线上学习模式了解不深，有的学生缺乏学习兴趣，甚至会比较依赖于教师课上的板书。所以，将线上线下两种模式相混合，这种教学模式更符合学生的性格特征，也迎合了信息化时代的发展潮流。所以，在高等数学教学改革进程中，加强对混合教学模式的研究尤为重要。与此同时，混合式教学有着显著的优势，通过传统教学与线上教学的整合，基于互联网视频或课件等教学资源指导学生课前进行预习，提高自主学习能力，以便学生对知识点产生初步的认识。课堂教学环节，教师带领学生一同探究本节课的重点与难点，帮助学生深化认识，课后再利用网络平台加强交流，拉近教师与学生之间的距离，降低学习难度，为学生学科素养的提升创造有利条件。

2线上线下混合模式下高等数学课程设计

采用混合式教学模式，对高等数学学科进行改革，将线上线下教学划分为三个部分，即课前线上教学，鼓励学生自学;课上线下教学，帮助学生加深认识;课后线上教学，引导学生巩固知识点，具体的课程设计如下：

2.1课程流程设计

2.1.1课前自主学习

从课前学习阶段开始，以学生对高等数学知识点的自主学习为重点，教师要尊重学生在这一期间的主体地位，深入分析当前的学情，确定教学重难点，合理制定教学目标，再按照学生的认知情况设计微课视频，将视频和课前预习任务一同纳入课堂导学案，要求学生严格按照导学案的提示自主学校，依靠互联网平台收集资料，结合教材中的理论知识，对本节课内容形成初步认识，使学生在课前预习阶段能够有秩序的进行，强化预习效果。这一过程中，混合式教学模式的重点在于对学情的有效分析，以及微课视频的设计与导学案的编制，完成以上工作后可以进行下一阶段的准备。

2.1.2课堂问题研究

该环节，教师需要按照高等数学的教学重点与难点内容，为学生设置出具有针对性与代表性的问题，严格按照课前知识点导入、知识点回顾、教学情境创设、问题探究以及归纳总结的流程进行课上教学实践。确定本节课重难点，鼓励学生回顾课前阶段的自主学习情况，创设出最适宜的教学情境，组织学生分析相关问题，最后答疑结果，总结并归纳知识点，引导学生不断完善关于高等数学知识体系，本环节的关键在于对各个流程的有效衔接与活动优化设计[2]。

2.1.3课后巩固知识

课堂实践后进入课后拓展环节，教师合理布置课后作业，帮助学生加深对课上所学知识的认识，提高学生对知识点的实际运用能力，以此达到知识点巩固的目的。以此为基础，教师还要为学生提供丰富的互联网学习资源，比如微课视频等，这在一定程度上能够拓宽学生视野，提高课程教学深度。对于学生在该时期遇到的问题，课后可以线上与教师联络沟通，突出混合式教学模式的应用优势。总的来看，课后巩固知识的环节重点体现于教师对作业的合理布置、知识点拓展以及线上答疑解惑几部分。

2.2在线教育平台设计

线上教学平台一般是采用板块分类的形式呈现课程信息，学生选择自己的专业获取课程内容，教育平台能够为教师与学生提供功能性搜索引擎。课程内会有视频与文档等内容，教师可对课程内容、知识准备、课堂测验方式加以介绍，通常课程有着横纵向二级导航布局形式，以便学生把握具体内容。课程布局内包含微课视频、师生交互、作业布置以及课堂测验等内容，同时也能显示当前学生的学习进度。在线教育平台与高等数学教学之间的结合，有利于满足高等学科授课的特点，教师可在平台进行个性化教学方案的设计，平台上发布课程，布置作业、作业批改、数据分析以及问题交流，各项功能模块都能为师生间的交流互动提供帮助。

3线上线下混合模式下高等数学课程的实施

确定了高等数学课程设计的重点，以混合式教学模式为前提，以微积分课程当中的“导数的概念”为教学案例，探究线上线下混合教学模式如何在教学实践中有效运用，从而为教师教学实践提供借鉴与参考。

3.1学情分析

首先，掌握学生特点。高中阶段的数学学科与物理学科学习过程中，学生对于极限知识产生了初步的认识，同时也了解了变化率相关概念，这部分学生已经具备了一定程度的逻辑思维能力。在高等数学“导数的概念”教学实践中，新旧知识点之间的衔接有利于调动学习积极性，帮助学生连接过去学习的知识点，以此为基础接受新知识。但是本节课内容众多，其中涵盖了较多的知识点，学生无法在短时间内接受过多抽象化内容，对于学生来说知识点关联度较强，学习难度也比较大。

其次，教学重难点明晰。该环节的关键在于学生掌握导数概念，理解导数几何意义，学会如何求曲线的切线等。

最后，设定教学目标。根据线上线下混合教学情况，教师针对本即可进行三维目标的制定，具体内容如下：（1）知识与技能目标。要求学生掌握导数概念，可完成导数计算，找出关于导数学习的注事事项，比如左右导。（2）过程与方法目标，经过“瞬时速度”与“切线斜率”的分析，进入掌握导数概念，将初等数学与高等数学的知识点进行衔接，以便掌握划归方法。（3）情感态度与价值观目标。感受知识点具有递进式的特征，领略来自数学的知识结构魅力，在数学问题中主动解决知识点，从中收获成就感，潜移默化的培育学习兴趣，从而养成严谨的学习习惯，为接下来的高等数学知识学习奠定坚实的基础。

3.2课前自主学习

上文对课前自主学习环节进行优化设计，在课程实践过程中，教师应按照学情分析的结果，为学生制作几个简短却精炼的微课视频，随后在视频的后方提出相应的问题，要求学生观看微视频后在导学案内回答问题，再标注出自己遇到的困惑，准备课上与教师和其他同学相互交流。

导学案主要包含教学资源、检测练习、疑惑、任务单几部分，其中检测联系的题目有教师为学生设计的题目，同时也有教材内的例题，这部分检测的重点在于验证学生课前自主学习的成果。以高等数学中“导数的概念”课程为例，教师为学生设计微课视频，布置学习任务，具体情况如下：

（1）导学微课视频设计，提出“瞬时速度”和“切线斜率”这两方面问题，介绍本节课有关的学习内容，向学生详细阐述导数对于接下来的学习重要性，讲解导学案内容。任务上要求学生能够独立总结知识框架，完善知识架构，为自主学习提供帮助[3]。

（2）针对“瞬时速度”的微课视频，以“高台跳水”的问题为切入点，视频中讲解“平均变化率”的概念，阐述其几何意义，再讲解“瞬时速度”的概念，提出极限求法。教学任务方面主要有两个题目，分别如下：

问题一：某个质点的运动规律如下所示：，请计算在时间（3，4）的时候，此时质点的平均速度是多少？

问题二：某个物体在进行直线运动时，其运动符合+t+4，请问4s的时候该物体的平均变化率，再计算此时物体的瞬时速度。

（3）针对“切线斜率”的微课视频，结合数学家们曾经探究过的问题，为学生介绍知识点的产生背景，讲解关于曲线切线与切线斜率的概念，介绍相应的计算方法。整个环节的任务也包含两个题目，大致如下：

问题一：请计算曲线在点（1，1）位置处的切线和法线？

问题二：清计算在点（9，3）的位置的切线与法线？

（4）关于导数概念的微课视频，先带领学生回顾关于“瞬时速度”和“切线斜率”视频中的重点内容，找出其中的共性知识进行归纳总结，自然而然的引出导数概念，讲解定义与计算要求等知识，任务方面需要学生学会计算函数的导数。此外，教师还可以设计一个关于导数学习时注意事项的微课视频，向学生讲解学习导数的意义，介绍切线与法线方程的计算要点，讲解常见的导数公式，要求学生能够理解为什么会存在左右导数，不同的导数应该怎么样去计算？

接下来，学生需要根据教师提供的视频去详细探究课程重点，找出自己的疑惑，准备在课堂问题探究环节向教师提出问题[4]。

3.3课堂问题研究

3.3.1情境导入

该环节，依然是选择“高台跳水”的问题，引导学生去回顾这部分与物理学科有关的知识点，复习“极限的定义”和“极限的计算方法”，从旧知识点出发，导入新知识，激发学生参与热情。根据课前自主学习情况，教师为学生设计课堂测验环节，查看学生在经过自主学习后，是否如实的掌握了“瞬时速度”和“切线斜率”的概念，引出本节课重点内容，强调“导数概念”在高等数学学习中的重要性[5]。

3.3.2问题驱动

针对教师在视频中提出的几个问题，确定本节课教学的重点与难点，再为学生设置学习探究活动，引导学生对概念知识加深分析程度。第一阶段探究环节，教师可提出以下两个问题，学生可以小组的形式进行探究：问题一：对气球膨胀率进行分析。吹气球的时候，气球中空气越多，气球的半径就会越大，但是伴随着内部空气的增加，其增加速度反而会逐渐下降，这一现象是否可以从数学的角度理解？问题二：对跳水问题进行分析。高台跳水的时候如果水平面高度是0，运动员所在的高度是h，那么起跳之后的时间是t，而h与t之间存在着一定的映射关系，也就是，请问是否可以用运动员平均速度这一概念描述在某个时间段中他的运动状态吗？

第二阶段学习探究，教师可对上述问题加以调整，以问题二为基础，要求学生以平均速度去描述运动员在一段时间内的运动状态，请问这段时间内运动员是否处于静止？这样的描述是否恰当[6]。

教学实践中，课堂上教师鼓励学生成立学习小组，小组讨论之后展示每个组的研究成果。学生讨论的同时，教师可从旁指导，掌握学生研究进度，及时指出其中的不足，保障学生思考的思路是正确的，方便学生对于“导数概念”形成正确认知，为接下来的学习提供帮助。

3.3.3初步认识

经过以上两阶段的探究学习，此时学生已经了解了函数的平均变化率，同时也掌握了函数的计算步骤。接着，按照该函数在x=x0位置时的瞬时变化率，加深对导数概念的解析。教师阐述导数的重要几何意义，明确它在高等数学中的重要性，引导学生去判断f（x）在点x0位置上的导数、导函数和导数之间的异同点，以便学生对概念问题有着更加明确的认知，防止后续发生概念混淆的问题[7]。

3.3.4明确概念

确定导数概念后，引导学生根据含义去求导，掌握求导的具体步骤，再按照案例全方位的认知概念。

教师可提供以下教学经典案例：高台跳水运动项目中，运动员的高度h与时间t之间有着函数关系即10，接着，为学生提供和该函数关系相连的函数图像，学生描述并做出对比，说明曲线分别在t0、t1以及t2三点周围的变化情况。该环节旨在引导学生能够利用所学知识解决实际问题。

3.3.5归纳总结

确定导数概念，教师再继续提出问题，检验学生对概念知识点的实际掌握情况，帮助学生巩固知识点，加深对知识点的记忆，相应问题如下：

问题一：探究在x=0的位置上的连续性与可导性。

问题二：探究在x=0位置的连续性与可导性。

问题三：如果函数是偶函数f（x），同时也存在（0）的情况，请根据之前所学的知识点证明（0）=0.

问题四：假设，想要让f（x）能够在x处连续且可导，请问a和b的值分别是多少？

可见上述几个问题有着层层递进的关系，教师在组织学生思考问题时，同时也是让学生回顾本节课的知识点，再采用思维导图的方式构建知识结构，完善知识体系，完成对各部分知识点的系统化梳理。

3.3.6课后知识点巩固

该环节，学生需要完成教材布置的练习题，再根据教师提供的慕课视频完成知识点拓展。可借鉴参考同济大学数学系的高等数学教材，学习其中的导数知识点。教师综合课前与课上的学习成果，对学生的学习效果进行评价，再为学生提供个性化指导，登录网络教学平台，帮助学生答疑解惑。

3.4在线教育平台的创建

3.4.1材料准备

为建立在线教学平台，需提前准备硬件设施与软件设备，准备云服务器，比如腾讯云或者百度云、超星等，再购买域名，绑定域名与云服务器，可以选择校园网的资源。通常平台以Wordpess为框架，操作简单，且架构比较灵活，教师可以将更多精力用于课程设计与实施方面，从而降低了课程建设难度。安装WordPress，配置PHP环境，软件版本可根据推荐来选择，再安装Elementor编辑器，发挥编辑器的可视化效果，课上可像PPT一样使用。

3.4.2课程内容安排

首先，明确高等数学课程目标，这是教师教学之后获得的结果，在线教育平台可以给出各单元学生应当完成的任务与掌握的知识点。对于课程相对独立的部分，在线教学平台能够给出相应的课程设计方案。平台会对高等数学学科课程知识点进行归纳整理，以便学生随时搜索学习。

其次，课程主题单元独立化与系统化。线上学习始终存在着学生注意力不集中的问题，对此教师可将课程划分为独立的小单元，比如制作5-10分钟的微课视频，将知识点分散在视频中，最后再将知识点连在一起，便于学生掌握。

最后，课程交互系统建立。学习高等数学课程内容的时候，线上平台可随时获取学生相关信息，其中包含学生学习当中提出的问题、解题准确性、在线测试成绩以及微课视频观看时间等数据统计结果。教师根据结果调整课程内容与教学难度即可。

3.4.3课程内容考核

作业习题。学生完成作业习题是对其学习成果进行检验的有效方式，习题应涵盖本节课的所有知识点，且难度不宜相同。教师根据习题解答情况，掌握学生对知识点的理解程度，采用线上完成习题的方式，学生昨晚习题后可以线上提交，再与其他学生线上讨论。如果习题难度较大，平台可提供文献资料或慕课视频等。

在线测试。其中包含课前、课中以及课后检测几方面，在线教学平台会在试题库内随机抽取习题，学生解答后，教师进行批改，最终掌握学生对数学知识点的理解程度，以便及时做出课程调整。

4总结

总而言之，当前高等数学的线上线下混合式教学模式对于提高教学质量有着重要意义。教师应指导学生课前自主学习，按照教师布置的预习任务学习有关知识点，课上经过情境导入、问题驱动等环节，合理布置作业，帮助学生完成知识拓展，从而巩固高数知识，营造更加有效的课堂氛围。

参考文献：

[1]刘世金，刘永祥，徐贵涛.融通专业应用的高等数学课程整体设计[J].高师理科学刊，2022，42（01）：73-77.

[2]张素红，刘震.基于WordPress的高等数学在线教育平台的设计[J].电脑知识与技术，2021，17（28）：81-82.

[3]罗益奎.混合式教学模式下高等数学课程的设计与实施[J].创新创业理论研究与实践，2021，4（16）：136-137+143.

[4]慕运动，柴幸.基于高等数学课程综合性设计的有意义学习经历创造[J].高教学刊，2021，7（21）：74-77+84.

[5]杨鎏.线上线下混合模式教学背景下高等数学课程设计与实践[J].大学，2021（11）：94-95.

[6]李薇，刘海涛，袁昊劼.高等数学翻转课堂教学模式的设计与实践[J].高教学刊，2021（08）：109-112.

[7]蔡鸣晶.高等数学课程教学设计中的教学反思[J].现代职业教育，2020（52）：232-233.

[基金项目]广西高等教育本科教学改革工程项目《“高等数学”课程混合教学改革研究与实践（编号2021JGA360）》。

[作者简介]

陈璟（1966一），男，汉族，广西合浦人，大学本科，教授。研究方向：数学教育教学。

唐璐薇（1995一），女，硕士，助教。研究方向：数学与数学教学。