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就在6月7日、8日，黑龙江省结束了为期两日的高考。今年考试应用的全国新课标Ⅱ卷与老高考比变化很大，新教材改革与新高考政策的施行对于传统教学模式下的高中教师和学生来说都是不小的挑战，如何适应新高考改革，如何理解新教材改革的意义就成了提高学生成绩亟待解决的问题。这一点早在今年2月底教育部出题命制的四省联考就可以看出，学生普遍得分不高，暴露出来的问题更多的指向了对于新教材、新高考改革的理解不透彻，没有把握新教材改革的意义与新高考的要求。这些问题是即将升入高三的2021级学生也存在的，那么如何把握新教材数学的考察重点，如何理解并适应新高考改革也就成了2021级学生在高三需要解决的问题。因此，需要对以往的高三复习策略进行一定程度的调整，做出适应性的改变。结合全国新课标高考试卷以及四省联考题来看，现在考试题的趋势是越来越非常规化，改变旧高考的考察模式，更多的考察创新思维和对教材的理解深度，开始渗透大学数学内容与生活中的数学问题，筛选出对教材内容理解深刻，能结合教材所学知识对题给情境所述问题进行解决的学生。要想更好的适应新高考，应从以下两个方面做起：

一、深入挖掘教材

对于教材的深入挖掘主要在于发现新高考适应性考试和新课标高考真题所展现出来的教材掌握与理解问题以及如何对课内所学知识进行提升。我省于2月底进行了四省联考，我校的成绩并不是很理想，导致很多学生出现迷茫、低落的情绪，在问题分析时谈道学生的基础知识不牢固导致四省联考失利。但我觉得这次适应性考试的失利并不是说明学生的基础知识有多么的不牢固，观点如下：首先，由于中考人数的减少，生源质量虽然有所下降，但对比全省的成绩来看，哈尔滨、齐齐哈尔、大庆等地成绩也不理想，证明问题不在生源上；其次，高三的教师都是身经百战的精英教师，带了多轮高三，对于学生基础知识容易出现问题的点肯定有了解，有针对性的策略，不至于出现大面积的低分情况，所以基础知识肯定也不是问题所在。那么问题的根源在哪？个人认为问题的根源在于三个问题：学生教材掌握不熟练，计算能力不足以及数学思维定势。

第一个问题，教材掌握不熟练。新高考背景下，考察侧重点出现变化，更加注重学生对于教材的理解。拿四省联考卷来说，有多少人会注意到二项分布与超几何分布中概率最大项问题？其实在书上拓展部分就有二项分布的概率最大项问题，详细介绍了该如何去求概率最大项，可以利用概率表达式与其下一项作比，通过比较比值与1的关系求得n的值。但是可能学生出了考场都不记得自己学过类似的问题，都不记得在书上出现过这类问题的解决方法。类似的问题还有很多，例如分层随机抽样的方差公式，虽然只是在例题当中出现，但学生是否已经掌握以及使用？对于教材新加入的第p百分位数学生是否会求？能不能区分上四分位数和下四分位数？对于贝叶斯公式、全概率公式和条件概率公式是否有清晰的认知与理解？这一切问题都在于我们是否能够真正做到熟悉教材。熟悉教材并不是口头上说一说，需要我们认认真真的拿出课本研读书上的每一个知识点和习题。书后习题很多时候老师不会留作作业，学生看一眼就过了，不会留下任何印象，但恰恰在书后习题中有很多经典好题，高考和模拟考试也常常出现这些题的改编。例如2022年黑龙江高考数学第四题数列是斐波那契数列的变形，2022年新课标一卷第10题C选项三次函数对称中心问题来自于奇偶性书后习题拓广探索……对于教材的掌握，老师和学生都是任重道远，必须要做到脱离知识点、知识清单，回归教材，让学生仔细研读教材，巩固基础知识的同时熟悉教材书上习题、书后习题，真正做到把基础题和基础知识合并在一起吃透。

第二个问题，计算能力不足。四省联考题以及各地新高考模拟题呈现的趋势就是计算量庞大，基本上从第三题开始就需要计算，学生面对如此庞大的计算量很容易出现紧张，计算错误或者算不完的情况。对于数学来说，计算能力是得分的前提，只有计算能力出众，计算又快又准才有可能在新高考当中拿到较高的分数。这就需要在平时加大计算量，对学生计算的准确度和速度都要有高要求，提前适应新高考紧张的计算环境，才能在真正坐到高考考场的时候从容不迫完成解题。

第三个问题，数学思维定势。四省联考过后，我与一名高三学生交流了一下，他说这套题给他最大的感觉不是多么难，而是震惊，震惊的是题竟然可以这么出！他的成绩在学年一直处于中上游的位置，对于教材的掌握还是比较不错的，但是他说他从来没觉得题应该这么考，在他的认知中，每一道题都是在考察书上的某个知识点，但是第16题开关阵列问题他从来没见过，也不知道在考察什么知识点，还有第22题，感觉和导数没啥关系，一看题觉得是椭圆曲线，又给了复杂的题干，在考场根本不会做，结果老师讲解的时候才发现是导数。诸如此类的考题让学生感到震惊也是正常的，在考场上措手不及也是意料之中的事情。但这背后反映出来的问题就是老师和学生的思维定势。如果老师和学生都还沉浸在老高考之中，觉得考题本身不会有太大变化，只需掌握常见问题的解决方法，让学生“照葫芦画瓢”的话，那么新高考肯定会吃大亏。新高考的“新”，有很大一部分就是考法新。原本固定的考法变得多样化，学生在考场摸不着头脑，不知道如何解题，成绩自然不理想。

要解决这个问题，要从根本入手，回到“授之以渔”和“授之以鱼”的问题上。老高考的固定考法让学生和老师发现了捷径——那就是我也不用理解这个知识点是怎么来的，原理是什么，我碰到同样类型的题直接生搬硬套老师教的方法就行。对于考法十分固定的老高考，这个办法确实高效，省去了学生理解吸收的时间，就算是你再不理解，背下来照着做就行。同样的问题在互联网上也体现的很明显。有些出版社出版的教辅资料打着“做会这50道题就能参加高考”、“轻松上140的高考大招”等旗号吸引学生购买，但买回来一看其实都是老师讲过的经典题型，解法都是固定套路。如果学生形成了这种思维定势，那么他自然而然就会认为数学就是这样去学习的，那面对考法新颖的新高考，学生肯定是不知所措。面对新高考，必须要提升思维能力，注重如何思考解决问题。数学作为三大主科之一存在的意义就是帮助我们培养逻辑、理性的思考方式，在以后面对生活中出现的问题时能理性地对现有情况进行分析，找到可利用的条件，发现解决问题的根本方法从而走出困境。那么数学思维的培养就尤为重要，要教会学生如何思考问题，解决问题，授之以鱼不如授之以渔，教会学生解决问题的能力比单纯教会100道题更有用。在课堂上，要引导学生如何去思考问题的解决方案，而不是一味的讲述每道题怎么做出来的，要让学生开动脑筋，善于思考，才能在面对没见过的问题时有清晰的思路。

二、加强课外拓展

课外拓展部分主要是针对于可能出现的课外部分知识应该如何做题以及使用。在新高考中有很多大学数学知识的下放，这部分内容对高中学生来说确实是难度非常大，但一旦掌握，对思维能力的提升以及数学素养的培养来说都是很大的进步。但是由于大学知识复杂且高考中对于大学知识的渗透并不多，所以在这里介绍一些比较常见的课外知识拓展。

1.一维随机游走与马尔可夫链

一维随机游走与马尔可夫链是大学数学中概率论与数理统计方面的内容。马尔可夫链一个最大的特点就是无记忆性，即第n步只与第n-1步有关，与之前的步骤没有关系。举一个最简单的例子：有甲乙丙丁四个人踢足球，每个人可以踢给除自己以外的任何一个人，那么在计算第n次传球后，球在甲脚下的概率时，只与第n-1次皮球的位置有关。如果第n-1次在甲脚下，那么第n次必然不可能出现在甲脚下；如果第n-1次不在甲脚下，那么会有三分之一的概率传到甲脚下。

马尔可夫链在高考中出现的意义在于两点，第一点是对于条件概率和全概率公式的考察，在给定确切的第n步时能否求解出对应概率，以及能否根据“特殊推一般”，对于任意的n都有递推公式；第二点是连接了概率统计与数列两部分，在得到递推公式后能否利用数列相关知识求解，更多的是培养学生的数学思维与解决问题的能力，也是为大学数学中矩阵的计算打下基础（在大学数学学习中常利用矩阵乘法解决马尔可夫链问题）。最近模拟题当中常出现马尔可夫链相关问题，例如今年新课标Ⅰ卷第21题就是一道最典型的马尔可夫链问题：

甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。无论之前情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的是甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第二次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

马尔可夫链在今年高考模拟题的考察也非常多，例如杭州模拟、惠州模拟、佛山二模等也出现了。马尔可夫链问题作为大学知识在高中学习的下放，还是有一定的思考难度，但本质上来说并没有超纲，而且对于学生思维能力的考察更是符合新高考“一核四层四翼”中“四翼”——考察“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”的要求。在新高考的复习中可以尝试作为一节专题课进行系统性的复习，培养学生概率统计与数列结合的思想，更好的解决生活中的实际问题。

2.泰勒公式展开与放缩

泰勒公式是大学数学中使用很频繁的一个公式，应用极其广泛，在高等数学研究与数字电子技术与模拟电子技术等电子信息工程等方面常会用到。泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式在老高考的大题中是禁止使用的，对于高考题来说超纲了。但新教材的必修一最后一章三角函数章末习题中就出现了泰勒公式，根据题干信息给的泰勒公式对cos0.3进行估值。新教材的这道书后习题为泰勒公式的考察指了一条“明路”——那就是作为题干信息出现，考查学生的知识理解与使用的能力。在哈三中的三模和四模当中都有此类题的出现。在哈三中三模作为单选压轴题第8题，对给定表达式进行估值；在哈三中四模中作为导数压轴题出现。通过哈三中在这两次模拟考试的出题可以看出泰勒公式作为题干信息考察学生的使用与理解分析能力是很重要的。学习泰勒公式在比较大小问题与导数放缩问题中使用起来还是很有帮助的。我们来研究一下哈三中四模导数压轴题：

本题的做题思路在于如何使用题干所给的泰勒公式做题。第一问直接带入泰勒公式即可，令x0=0，即可求解（其实是泰勒公式的特殊形式——麦克劳林公式）。第二问需要将第一问所求ex展开式中的x换成ix，再将表达式中的实部与虚部整理，发现分别是cosx与sinx，所以得到eix=cosx+isinx，再将带入即可得到所证表达式。第三问需要对所给表达式两边取以为底的对数，根据泰勒公式进行丢项放缩，再根据端点效应进行讨论得到的范围。总体难度较大，但三问都围绕泰勒公式的使用考察，足见泰勒公式对于学生信息提取与应用能力的考察是很重要的。

3.帕德逼近与洛朗级数

帕德逼近是一种有理函数逼近，是非线性近似的一种方法，常用于计算机数学中。洛朗级数是复变函数中常用的一种展开形式，将解析函数在奇点附近展开成幂级数的一种方法。两种方法对于高中数学的帮助在于提供一种更加近似的估值，在某些情况下由于泰勒级数不收敛，会导致估值的不准确，此时帕德逼近和洛朗级数就提供了一种更准确的解决方案。公式如下：

这两种方法的缺点很明显，就是公式较为复杂，比较难背，而且计算量大；但优势在于几乎可以应对所有给出确定值的比较大小问题，例如2022年新高考一卷的比较大小问题、2022年全国甲卷的比较大小问题……这两个公式可以作为了解，感兴趣的同学可以背下来以应对比较大小问题。帕德逼近和洛朗级数作为大学数学中的重要公式，解决高中近似值比大小问题可以说是碾压，对于不会构造函数比较大小问题的学生来说，单纯的背公式与计算可能得分更容易一些，毕竟没有思路，无法构造函数只能靠运气猜还不如计算量大点但能得到准确的大小结果来得实在。

总而言之，新高考背景下的学习策略和教学方法都要有一定的改变，适应时代方可生存。一点拙见，还请批评指正。