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【摘要】笔者基于学生主动建构概念的视角，针对提升学生对初中数学概念的结构化认知策略，主要探讨了5个方面的内容：1.初中数学概念的结构化认知策略；2.描述结构化思维工具；3.学生对数学概念认知模式与差异性分析；4.数学概念与问题情景的整合，形成新的问题结构；5.数学概念对学生数学思维的作用分析、结构化策略工具选取与效果展望。本文旨在提升学生的数学学习兴趣，落实对学生数学核心素养的培育。

【关键词】初中数学；数学思维；结构化认知策略；问题情景；创造意识

新课标提出核心素养理念，并要求在初中阶段侧重学生对概念的理解。而学生对概念理解的批判性与深刻性将促使其产生创新意识。学生的思维从疑问和惊奇开始，从疑问产生问题意识，问题意识形成概念信念；惊奇催生了求知欲，求知欲催生了学习兴趣……而在网课学习期间，部分学生对数学概念的学习，基本上只会做题、对概念的学习与理解欠缺全面性和深刻性。如，“二元一次方程的解”这个概念，正确的表达是大括号括住了“x=a，y=b”，往竖式写，30%的学生没有大括号、横向写。又如，AB垂直EF，CD垂直EF，50%学生会写出“AB∥CD”，而不是经过垂直的定义得出两个角等于90度。学生没有由垂直的概念推导先得到什么，后得到什么，再得到什么。这是数学概念学习中概念的程序性知识缺失导致的。另外，笔者调查发现，学生对概念的理解存在三个不足：类化不足；过度类化；概念偏离。这些思维的差异性如何产生？是源于教学问题还是源于认知结构，或是源于学生语言系统转换问题？带着这些问题，笔者以问卷调查形式对东莞市虎门第五中学（以下简称“我校”）初一、初二、初三的1048名学生进行了有效调查问卷，问题是“数学概念关联性教学有助于学生对数学知识的更好理解”“数学概念深刻性教学有助于学生对数学知识的更好掌握”（5非常同意；4同意；3不确定；2不同意；1非常不同意），得到SPSS分析的信度是0.922与0.939，方向正确。

一、理论综述

（一）知识演变视角

人类一方面随着时代的变迁与发展，各个古文明、古文化发生了碰撞，构成了数学与数学概念发展的外部张力；另一方面，随着工程、建筑、生产、生活等计数过程越来越复杂，古人类引入了数字。由于数学内部的发展需求，数学从抽象化发展到符号化、简单化，最后形成系统化数学与数学概念。不可否认，这是相当漫长的演进过程。

（二）认知心理学视角

数学概念，最初源于现实世界，并将其作为处理这种现实的一种方式。由人类知识或认知的进步，构成了思维的进化，由人类思想的复杂化促进了认知发展，最后实现了数学概念的发展。

（三）建构主义视角

选择一些概念作为基本概念并阐述一些关于它们的公理或规则，由此出发，借助定义和逻辑演绎得出所有其它的概念和性质。这是公理化方法建构数学新概念的一种方式，从而形成新的概念体系。

上述三个视角各有立场，三种作用力共同影响了数学概念的发展。笔者基于学生自主构建的视角，提出数学概念对人的思维产生的作用是什么？能否从概念的演变看人类数学思想、方法、思考能力的进步？不同的人对相同的数学概念认知差异性来源于什么？在数学教学中，如何更好地引导学生达到自主构建概念，让学生学会初中数学概念——认知、掌握、巩固、运用？

二、结构化思维工具

我们经过文献的梳理与归纳，发现学生数学概念获得的主要方法有如下几种，如，A运算定量法，包含计算、程序等；B结构定性法，包含哲学、对象等，像描述实物——球；C解释法 ，包含下定义、理解等，像生气；D比较法，包含比较各种等价定义；E发散法，常用有多元表征法、多角度分析法；F关联法，包含关联其它概念获得本概念。尽管获得概念的方法很多、很丰富，但对初学者而言（而不是熟练者）究竟如何去对概念同化顺应平衡？或更进一步学习多个概念后，学生有办法实施体系化或结构化的初步建立工作吗？笔者引入三个适合初中学生理解新概念的结构化思维工具。

（一）CPFS概念图模式

皮亚杰用图式描述认知结构，包括同化、顺应、平衡。图式是指个体对世界的知觉、理解和思考的方式，可以把图式看作是心理活动的框架或组织结构。概念图式，就是学习者在图式的基础上用于概念或数学概念表征、理解、思索，最终形成稳固的概念图。喻平教授提出了概念图式的CPFS结构理论，概念域概念系命题域命题系形成的结构称为CPFS结构。有助于学生在学习数学概念时候多角度多背景去深入理解概念。

（二）思维导图模式

思维导图网络化思维工具。思维导图将各级数学概念的关系用相互隶属与相关的层级图表现出来，利用概念思维导图加速概念的自主建构。

1.确定中心概念，绘制中央图像

从白纸的中心开始绘制，周围留出空白，用图像或文字表达中心概念。

2.绘制整个思维导图的中心

用彩色笔或者喜欢的笔在纸上画一幅图像来表达中心思想。

3.画一级分支，表达主要思想

（三）双问题结构与问题情景“六步五问”（6S5Q3K）模式

如何设计适合每个课时及各个环节的问题情境进行概念教学？根据布鲁姆的教育目标分类法、华东师范大学祝智庭教授的“五何”进行双问题结构化模式，即由何（From）：概念如何产生？是何（What）：概念是什么；为何（Why）：为什么这样；如何（How）：概念怎样解决问题？产生什么作用？怎么做？若何（If or not）：如果是或不是，那又怎样？接着，笔者摈弃传统的“八步教学法”，把概念教学课分解为三部分，即六步五问的课堂主线，引导学生思考的问题导学单，最后是课堂效果ABC测评。

笔者经过理论与实践结合后，提出双问题结构化工具之六步五问（6S5Q3K）问题情景框架：1.衍生概念 ：由何（From）：概念如何产生？是何（What）：概念是什么；为何（Why）：为什么这样；如何（How）：概念怎样解决问题？产生什么作用？怎么做？若何（If or not）：如果……，还能……？2.导入概念；3.同化概念；4.巩固概念；5.深化概念；6.延伸概念。

三、学生对数学概念认知模式与差异性

从学习概念前，数学概念是怎么形成的；学习概念时，概念是怎样构建的；学习概念后，概念是怎样同化的三个方面分析差异性探讨认知模式。

（一）概念学习前

学习概念前，学生还没学习相关概念。笔者用问题试探学生，看学生如何调动自己的认知模式。

1.基于生活情景，引出学生的数学模型思想

师：同学们，现在我们要种一棵树，你们准备怎么做？或说你们先准备什么？或者说说你们觉得植树这个活动最重要的是什么？

50%的学生回答：挖个坑种下去。

20%的学生回答：先找树苗。

20%的学生回答：找铲子或锄头。

教师提示：你们有没有搞清楚去哪里挖坑？

10%的学生回答：定好植树的地点，带上工具，带上树苗，挖了适当的坑，把树苗种下去。

用生活情景加问题情景，做事如此，学习也是如此，继而引出数学模型思想。让学生学会调动采用哪个数学模型。

2.利用数学问题情景引出最近发展区，了解学生已经掌握的知识

师：同学们，我们现在是七年级学生，设想明天读初三了，初三数学第一章是《一元二次方程》，那么它的第一节课就是《一元二次方程的概念》。请问大家在没翻开数学书、听到或看到这个标题的时候，你是打算怎么去学习它的？

35%的学生回答：不知道。

25%的学生回答：翻书看看书里怎么说的。

19%的学生回答：想一想学过的一元一次方程，会不会一元二次方程的概念跟它差不多。

21%的学生回答：一元二次方程跟二元一次方程有关系吗？

教师总结：从回答可以看出，40%的学生会调动自己已有的知识解决问题。

（二）概念学习过程中

学生学习概念是如何一步一步思考的？这一步主要是教师引导下的认知。一些教师要么直接给学生读读概念、读懂概念；一些教师直接给题目做，会做题概念就明白了，果真这样吗？我们以初中数学七年级《平面直角坐标系》的概念学习为例。

1.找象限内点的规律

师：同学们，请在画好的平面直角坐标系中，在四个象限内各找一个点，并把点坐标写出来，能得出它们符号正负的规律吗？

40%的学生回答：没有找到。

40%的学生回答：找到了。

20%的学生不确定或摇头。

师：再请大家在画好的平面直角坐标系中，在四个象限内各找第二个点，把点坐标写出来，能找到象限内点坐标的规律吗？还能在四个象限内各找出第三个点吗？

学生基本都找对了。

2.找线的规律

师：同学们，请在画好的平面直角坐标系中，四个象限内各找两个点，要求第一、三象限的点纵坐标相同，二、四象限上的点横坐标相同，并把它们两两连成线，能得出它们与坐标轴的关系吗？

100%的学生做完后回答：找到了，纵坐标相同的线段或直线与x轴平行，横坐标相同的线段或直线与y轴平行。

师：怎么这次那么快就得出结论呢？

生：各有两条线，画完就能看出来了。

教师总结：从这两个新概念学习过程来看，同学们认为数学概念学习的最基本方法有哪些？学生有效的认知模式在探究中逐步构建起来。

（三）概念学习后

学了数学概念后做题不就完了吗？当概念的渗透理解和运用，最后达到同化概念的水平，才是真正意义上完成了概念的自主建构。笔者这样问：“那做怎样的做题更有用呢？”或者问：“做了A概念的题目是否对接下来学习B概念有启发作用呢？”这就是我们前面提到的“延伸概念”，通过问题情景的设计，给学生思维牵线搭桥，去达成概念的类比建构。

四、数学概念对学生数学思维的作用

（一）数学概念对学生思维作用

如果数学的发展需要引入某种合理或真实的概念，那么就能为这种概念提供适当的可接受的解释。这种解释是什么？首先，数学概念是对学生思维的作用，有“四性”：灵敏性、关联性、深刻性、系统性；其次，是“四能”：发现、分析、提出、解决问题能力，合称“四性四能”。

（二）“四性四能”与双问题情景

培养学生的数学概念与文化直觉。数学经验经过长期积累，使学生构建比较全面的数学观念，促进学生对数学概念的同化。思维“四性”模型怎样培育？由什么去达成呢？我们可以用结构化的双问题情景策略，简称“六步五问法”。

（三）数学概念与提出问题“0—1思维”

提出问题与解决问题哪个更重要？提出问题是思维0到1的首发思维，是思维的始发生成，是思维品质的创造意识开端。而解决问题是1到100的量的叠加，但是如果没有“0—1”，就没有后面的成果。

五、结构化策略工具选取与设想

（一）调查数据，科学决策

我们同样以问卷调查形式对我校初一到初三1048名学生进行了有效调查，问题3、4、5显示：89.6%的学生认为问题情景模式优于直接得出概念，90.73%的学生认为问题情景的个数适当优于漫天问，91.21%的学生认为设计好问题能促进思维的品质。数据显示，九成或九成以上的学生认同可靠的双问题结构化策略。

（二）双问题结构的优点

无结构的重复性问题，容易造成学生意识混乱，导致学生陷于概念不清、思维散乱的境地。单问题结构的提问题式常常流于浅层化，欠缺系统化与结构化。双问题结构的情景式具有良好的问题情景，体现新课标结构化的要求，相比于无结构或单结构的问题，双结构的问题情景设置，凸显了较好的有序性、层次性、深刻性、系统性等。

（三）学生参与问题设计与举行问题设计比赛的设想

在科学方法、相对精确的数据指引下，学生也应参与到课堂的问题设计中。笔者对此有以下设想。猜想1：从灵敏性角度，学生通过问题情景与问题设计，对思维品质、创造意识起到正向的促进作用。猜想2：从关联性角度，学生学会数学概念对数学教学起到正向的促进作用。猜想3：从系统性角度，学生提出问题的能力及由此产生的人文精神、科学精神对各学科核心素养发展具有正向的促进作用。

参考文献：

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责任编辑    胡春华