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【摘要】公式教学是培养学生思维品质、激发学生创造性思维能力的有效途径，针对不同的公式，教师应该有不同的应对策略，开拓公式教学的新视角。

【关键词】高中数学；三角函数；诱导公式；化简求值

学习数学不能脱离公式，因为它们具有抽象和概括的特点，是计算和学习数学的重要媒介，公式运用不但要熟练而且要灵活，高考对学生创新能力的要求在不断提高，这就意味着死记硬背已经无法适应高考的要求，更无法跟上时代的进步。因此，学生掌握公式的内涵与外延显得尤为重要。

公式教学是培养学生思维品质、激发学生创造性思维能力的有效途径。针对不同的公式，教师应该有不同的应对策略，在高中数学课程中，很多章节都涉及到公式教学，尤其是三角函数中的诱导公式，共有六组16个公式，这么多公式学生一时半会并不能熟练掌握，强行记忆、套用公式只能在短期内有效，时间一长，学生就容易混淆或者记忆不清。如何引导学生掌握公式并能熟练应用是本节课的重点也是难点，下面笔者谈谈做法：

一、“熟记”公式

众所周知，学习是要讲究技巧的，尤其是高中数学更需要掌握科学的学习方法。然而在学习数学公式上大多数学生却感到困惑，总认为数学不应该是一门需要记忆的学科，因为这样的想法导致很多学生在解题时经常是提笔忘公式。学习离不开记忆，数学也不例外，但学生常常抱怨数学公式很难记忆，认为数学公式是由不相干的字母与符号构成。其实不然，数学学科的特殊性决定了数学公式的记忆也应该有不同的教法和学法，数学公式的记忆与其它学科有着本质的区别，不像英语和语文，能够进行语境学习，记忆起来不费力，数学公式的记忆离不开教师对公式的深度辨析，让学生多角度地理解公式。

请同学们根据所学的六组诱导公式完成下列表格：

对于初学诱导公式的学生来说，完成这个表格并不容易，仅靠死记硬背很容易出错，首先是函数名称的变化，其次是符号的变化，那么如何让学生能够熟记呢？有的教师采取默写、听写等方式，但这些方式都是死记硬背的不同模式，学生能够记住，但是不一定能灵活应用，这时就需要教师的正确引导。教学中有一个很常见的口诀就是“奇变偶不变，符号看象限”， 但是在教学实践中发现，学生可以正确地变换函数名称，但正负号很容易出现问题。根据学生出现的问题，笔者又总结了四个字：看左定右。于是，诱导公式新的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，看左定右。要想用好这十六字只需抓住以下两个特点，即可快速准确进行变换。

1.奇变偶不变是判断函数名是否改变的依据

“奇”“偶”指的是“”中的k是奇数还是偶数。“变”与“不变”是指函数名称的变化，若k为偶数，则函数名称不变，若k为奇数，则函数名称改变。

例如：（1）中k是偶数，右边还是cos；（2）中k是奇数，右边变成cos。

2.符号看象限，看左定右是符号是否改变的依据

“符号看象限”指的是“”中，将α看成锐角时，“”的终边所在的象限。“看左定右”指的是公式左边的符号决定公式右边的符号。

例如：（3）中k=2是偶数，右边不变还是cos，把α看成锐角时，π+α的终边在第三象限，cos(π+α) 为负，所有右边就要加“-”，即cos(π+α)=-cosα.（4）中k=3是奇数，右边变成cos，把α看成锐角时，的终边在第四象限，为负，所有右边就要加“-”，即.

就是说左边角的终边的象限决定了三角函数值的正负，判断右边的正、负号。关键是要将α看作锐角，则-α为第四象限角；π-α为第二象限角；π+α为第三象限角，为第四象限角，这些象限就决定了左边的函数值该取什么符号（正号或负号），就在右边的函数名前加上同样的符号。

下面看一组练习：做题顺序是先填第二个空，判定奇偶，再填第三个空，填“< ”或者“>”，判定正负，最后再填第一个空格。

（1）=________其中k=_____， ___ 0

（2）=________ 其中k=_____，cos(-α)___ 0

（3）=________ 其中k=_____，sin(π+α)___ 0

（4）=_______其中k=_____，___0

（5）=_______其中k=_____，tan(π+α)___0

（6）=________其中k=_____，tan(-α)___0

这一环节有三步，前两步是辨析公式的内涵，让学生做四个小题对公式进行应用，加深对公式的理解。第三步的填空题更加详细地解析“符号看象限“的意义，非常清晰明了，学生经过这一步的训练对诱导公式的理解应该算是比较深刻到位了。

在高中数学公式教学中，很多教师通常会用“记忆——套用——例题——训练”的模式进行教学，不可否认地说，短期内是有效果的，但是不利于培养学生的数学素养。

二、“归纳”题型

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”数学公式往往是固定的，但应用和理解往往要从不同的侧面、角度、维度去理解分析，才能提高、培养学生的实际应用能力。教学中，即要引导学生正用公式，还要逆用，更要培养学生变用公式的能力，公式的变形是考查数学公式的常见题型，但是根据“万变不离其宗”的原则，无论怎么变都是建立在对原有公式深刻理解的基础上。教学中，教师要帮助学生归纳好不同的变形，让学生在不同题型中内化对公式的理解和记忆，培养学生的逻辑思维能力。

使用导引公式时，要考虑到角、函数名与所求角、函数名的关系，特别是角间的互余、互补关系，选取适当的表达式，将角和三角函数的化归。

常见的互余的角：；；；

常见的互补的角：；等。

例1：（1）已知，则

（2）若，则

（3）已知，则的值是______

解析：（1）；

（2）；

（3）

.

如果学生直接做这三道小题是有一定的难度，但是如果教师能够在做题之前先归纳分析常见的互余、互补公式，那么知识迁移能力强的学生则能迅速解出这三道题，并能从中进一步地内化对诱导公式的理解和应用。

教师在公式教学中，不仅要注重公式的推导，更应解释公式的内涵，以“公式”为载体，使学生真正了解这些公式，了解它们的构造特点，了解它们的各种转换，并运用它们来解决问题。

三、“寻找”规律

我们都知道，规律是一切事物之间必然的、本质的、稳定的关系，而数学中的规律也是多种多样的，学生对于数学规律的掌握，有利于学生更好地掌握学习方法的方法，进而对学习数学产生兴趣，培养学生的数学思维能力。六组诱导公式从推理到应用，方法都是相似的，那么一定是有规律可寻。

1.诱导公式的应用原则：

（1）三化：负化正、大化小、小化锐；

（2）三变：变角，变名，变结构。

2.基本思想：对结构的特征进行分析，选取合适的计算公式；用公式表示为一个三角形；把它归类为最小的形状。

3.简化条件：简化过程为恒定形变；结果：应尽量减少项目数量、减少次数、结构尽量简化、能计算的需求。

4.学习灵活的转换，熟悉正确转换角度的过程。

例2：（1）=_______

（2）tan330o=_______

（3）sin2490o=_______

解析：（1）.

（2）tan330o=tan(330o-360o)=tan(-30o)=-tan30o=.

（3）sin2490o=sin(6×360o+330o)=sin330o=sin(360o-30o)=sin(-30o)=-sin30o=.

在“熟记公式”和“归纳题型”之后进一步对公式进行剖析，寻找解题的规律，从应用的原则、基本思路、化简要求、解题流程图四个方面入手，多角度地理解公式，帮助学生进行规律的学习，明确解题的思路，少走弯路。

四、“背诵”口诀

课堂上，教师对一节课或者一个知识点的归纳方式有很多，大多数的教师都是采取对知识点的罗列，或者是构建知识结构图，其实“口诀”的方式也是一种比较好的归纳总结的方式。“口诀”具有短小精悍，通俗易懂等特点比较受学生欢迎。

诱导公式的应用无非就是“三化”与“三变”，总结起来可以用一下口诀表示：

诱导公式就是好，负化正后大化小；

π的一半整数倍，奇数变化偶不变；

函数符号问象限，两个函数看左边。

短短的几句话把诱导公式的内涵与应用表达得淋漓尽致，学生读起来朗朗上口，大大增强了学生的学习兴趣。其实许多平时记不住、记不牢、记不准的公式，通过口诀来学习，就能变得轻松有趣，可以起到“四两拨千斤”的作用，还能收到事半功倍的效果。这种寓教于乐的学习方式，对于学习任务比较重的学生来说，无疑是一条难得的捷径。

三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数的诱导公式，正确地完成三角函数运算，从而提高解题效率。数学公式是高中数学教材的重要组成部分，是数学知识的主要载体之一。数学公式反映了数学对象的属性之间的关系，揭示了数学知识的基本规律。因此，在课堂上要高度重视公式教学，尤其是对公式的剖析，不能一带而过，在深度剖析的基础上加深学生对公式的理解，进一步发展数学运算能力，解决实际问题的能力，培养学生的数学思维能力，培养学生的科学思维习惯，培养严谨求实的严谨态度。

参考文献：

[1]沈亚平.谈高中数学教学中的公式教学[J].基础教育论坛,2019(3):41-43.

[2]李卓群.高中数学公式记忆方法与应用的研究[J].数学学习与研究,2018(11):49.

[3]聂颖.基于高中数学核心素养的公式教学研析—以“两角和与差的余弦”为例[J].数学之友,2018(20):27-29,34.

责任编辑  陈  洋