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【摘要】在几何的教学过程中，我们发现学生们解决几何问题的能力较弱，学生对于数学文字、图形、符号三大语言的相互转化和处理能力比较欠缺。通过刷题来解决学生几何能力不足，几何素养低的问题，往往事倍功半，且解决不了本质问题。我们想提炼出初中几何典型问题解题模型，通过“几何解题模型教学”，提高教师在课堂上的上课效率，让学生通过对几何解题模型的认识，训练，反思和总结，提升自身的几何解题能力和几何素养。

【关键词】几何解题模型；思维发散；几何素养；构建模型

“几何变换综合题”是近几年广州中考乃至全国中考数学科目中重点考察的内容，对学生的思维能力和解题能力有较高的要求。而“几何变换”的形式又多样化，有些甚至需要经过几次变换才能转化为学生们熟悉的问题。在教学中，我们发现学生们在这方面的能力较弱，甚至无从下手。学生的几何素养比较低，学生对于数学文字、图形、符号三大语言的相互转化和处理能力比较欠缺。很多学生对于几何的学习没有太好的办法，部分学生寄希望于用刷题来解决自己几何能力不足，几何素养低的问题，而事实上，往往事倍功半，学生疲惫不堪，自信心也备受打击。

在这样的大背景下，我们提出通过对“几何解题模型”的研究，把初中几何中出现的典型问题归纳总结出相应的几何解题模型，通过“几何解题模型教学”，提高教师在课堂上的上课效率，让学生通过对几何解题模型的认识、训练、总结提升后，能够在碰到类似的问题时，有相应的几何题的解题思路和方法。

几何解题模型教学法对学生几何能力和素养的提升，粗略可分为如下几个阶段。

初级阶段：通过几何解题模型的呈现，让相应的几何问题得以清晰地展现在学生面前，降低学生理解知识的难度，从而增强学生学习几何的自信和兴趣。

中级阶段：通过对“几何解题模型”的强化训练，让学生熟悉相应的几何解题模型。当看到已知条件时，能条件反射地想到相应的模型，从而找到相应的解题思路。

高级阶段：学生掌握几何解题模型中核心问题的本质，并能举一反三，找到这一类问题的解决办法，实现知识之间的整合和变式，真正地提高学生几何素养。

利用“几何解题模型”教学，我们要让学特困生达到初级阶段——不害怕数学，能掌握基础知识，掌握基础题的解法；让后进生和中等生达中级阶段——了解模型，掌握模型，能通过已知条件找到相应的解题模型，顺利解题。让优秀生达到高级阶段——能看到模型后面数学问题的本质，并能对相应的数学知识进行总结，发散和创新，全面提升自己的逻辑思维能力和抽象思维能力。

基于以上分析，我们利用几何解题模型教学提升学生几何素养的探究从如下几个方面展开研究和探索。

一、初中数学基本几何解题模型的建立

初中数学几何解题模型的内容现在都已经非常成熟，网上各类模型，应有尽有。怎样在这些眼花缭乱的模型中，选其精华，对我们研究的内容有所帮助，是我们重点考虑的方向。通过专家的指导，课题组成员的不断讨论，确定我们选取模型的基本原则。

（一）紧扣教材原则

无论是教学方法、教学模式等方面的探讨研究，对于初中阶段来讲，都应该依本靠纲。初中阶段，学生要从代数思维到几何思维进行过渡，是他们几何思维的成长发育期。教学中，我们必须遵循几何思维的形成特点，在初期就要让学生形成良好的几何语言表达习惯、几何逻辑思维习惯以及良好的几何题书写习惯。因此，我们的模型选取需紧扣教材，特别是初期的模型，思维强度不宜太大，旨在培养学生基本的几何技能和素养。

（二）普适性原则

普适性包含两层意思。一是选取的模型适合于我们学生的平均水平，难、偏的解题模型不纳入我们的常规教学任务当中；二是选取的模型尽量是各个知识点的综合模型，少一些单个知识点的孤立模型。这样，我们认为有助于学生几何思维系统的培养，从而不会落入学生记模型、背模型却不会用模型的套路中。

（三）普惠性原则

无论是平时的教学还是我们的几何解题模型教学，从长远的目标来看，均是要培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。而从短期目标来看，则需要应用知识来解决学习和考试中遇到的问题，让学生的学习过程变得“实惠”。因此，我们着重选择了一些和考试内容联系密切的几何解题模型。

我们根据上述的选题原则，整理出符合我校实际情况的几何解题模型，具体目录如下：

目录

第1讲．平行线拐点模型

第2讲．三角形角平分线模型

第3讲．三角形之飞镖模型

第4讲．三角形之折角模型

第5讲．全等三角形之三垂直模型

第6讲．全等三角形之中点模型

第7讲．全等三角形之半角模型

第8讲．全等三角形之截长补短模型

第9讲．全等三角形之手拉手模型

第10讲．将军饮马问题及其延伸模型

第11讲．等腰三角形旋转模型

第12讲．费马点模型

第13讲．中点四边形模型

第14讲．平行四边形的面积模型

第15讲．矩形中的折叠模型

第16讲．隐圆中的最值模型1

第17讲．隐圆中的最值模型2

第18讲．相似的基本模型

第19讲．相似之一线三等角模型

第20讲．胡不归最值模型

第21讲．阿氏圆最值模型

第22讲．旋转放缩模型

二、几何解题模型教学的实施与改进

（一）几何解题模型对提升学生几何素养的积极意义

开篇提到，“几何变换”是近些年来全国各地中考数学重点考察的内容之一，对学生的几何综合素养要求很高。在实际的教学过程中，我们发现，对于同一问题，我们利用几何解题模型讲解、训练过后，学生对于该类问题的理解、掌握和应用程度远超没有用相应模型进行学习过的学生，这种现象在中等生和后进生身上体现的尤为明显。我们姑且认为在考试时紧张的环境下，学生在思维上产生了知识识别的障碍，从而影响学生思考出相应的解题方法。而此时，相应的模型则能较好地帮助学生逐渐唤醒知识的记忆，从而打开思维的大门。

案例1胡不归模型

例1如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED.

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）连接AE，若AB＝6，BC=.

①求sin∠EAD的值；

②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连结OP，一动点Q从点O出发，以1个单位每秒的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5个单位每秒的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.

案例1中的例1是2017年广州市中考数学试题第24题，其中第（2）问中第②小问是胡不归问题。2017年的毕业班，我对该模型没有进行系统的讲解（但是对于类似的动点问题是有分析、讲解以及训练的），当年我的学生该问的得分率是比较低，在0.2左右。而在2019届初三毕业班，我系统地对该模型进行了讲解和训练，隔一段时间后让学生做这道题，得分率已经提高到0.7左右（注：此题未在前面训练过，且两个班的生源情况差不多）。这里不排除少部分学生提前在补习机构等其他地方接触过这道题，也有学生个体的差异影响，但在总体生源情况差不多的情况下，学生对这类题的理解程度还是有较大提升的。广州市教育研究院初中数学的负责人曾经说过这样一段话：大家不要认为我们考察的内容是教过的内容，就觉得学生们能够解出来，只要我们不告诉他具体的知识点，相当多的学生无法顺利解决问题。当然，一方面说的是我们的学生的自主思考能力和应变能力方面还很欠缺；另一方面，是否也体现出这样的情况：通过对模型的训练，学生通过类比更容易找到解题的思路和方向呢？

我们认为，这类有一定思维难度的题，通过解题模型的教学，对于让学生快速进入这类题的解题模式，还是很有帮助的。如案例2中的解题策略：通过一系列有逻辑顺序的步骤，将“PA+kPB”的最值成功转化成“PA+PB”的最值，从而转化成学生们熟悉的“两点之间，线段最短”的基本问题。这个过程的转化，需要学生有比较强的逻辑思维，大部分学生在刚开始的时候并不具备这样的能力，往往在碰到这类题的时候容易放弃。而此时解题模型所谓的“套路”，则能帮助他们解决眼前遇到的困难，进而让学生保留重新探索和研究的信心和动力，“先做出来——再思考为什么要这么做？”总比“做不出来——我什么也不想做了”的模式要好得多。

（二）几何解题模型教学常规化

我们在平时的教学中，对这些模型多少是有渗透的，只是对于整个学段的模型归纳没有足够系统。我们对一些重要的模型，只是有时候在习题中碰到了，当作一道习题讲解一下，甚至可能不会对该类习题进行剖析和总结，导致学生对该类问题没有深刻的印象，在下次碰到类似问题时，仍旧是新问题，没有思路或者思路的延续性比较差。鉴于此，我们认为，对于低年级的学生来说，几何解题模型的探讨总结非常有必要，要让学生在直观上形成这类题的解题思路和方法。这对学生在刚刚接触几何时，提升自己学习几何的兴趣和信心大有裨益。特别是七年级的学生，探索欲、好胜心尤其强，这个时候如果能让学生在学习过程中，体会到学习几何的乐趣，那将对其学习的延续性有很好的帮助。

案例2：平行线拐点模型

在此模型中，我们将这两类问题归纳总结为“铅笔头”模型和“猪蹄”模型，形象直观，也能引起学生的重视和兴趣。解决的办法则是通过在“拐点”处构造平行线，从而利用“三线八角”转化成角度关系。学生在见到类似的模型时，往往容易想到“铅笔头”和“猪蹄”，进而想到解题的办法。在实际的教学过程中，我们发现，当学生能识别相应的几何解题模型时，学生的兴奋度明显提高，相应的解题办法也能顺应而生。由此可见，几何解题模型能刺激学生相关知识的兴奋点，对学生的知识回忆有良好地促进作用。

因此，将几何解题模型落实到常规教学中去，让学生建立起几何学习的信心，养成良好的几何学习习惯，对于提升学生的几何素养是必要的保证。

（三）几何解题模型教学在实施中遇到的问题

1．几何解题模型泛化

在模型选取的原则中，我们提到“普适性”原则：模型的选取需要面向班级的平均水平的学生；需要有高度的概括性，这是防止模型泛化非常有用的原则。“高度的概括性”对几何模型的要求非常高，对学生的要求也很高。而我们在实际的教学中，往往又存在着矛盾和冲突。比如，在我们选取的模型中，我们按照教材章节的顺序和学生学习的规律分别编写了“全等三角形之三垂直模型”“相似三角形之基本模型”“相似之一线三等角模型”。这三个模型其实存在着一定的包含关系：“全等三角形的三垂直模型”是特殊的“一线三等角模型”，而“一线三等角模型”本质上是相似三角形角度的关系问题。当然，这三个模型还体现着学习上有特殊到一般、条件由强到弱的基本规律，还算不上“泛化”。但是在网络平台上的各类公众号中，动辄近百个模型，有些模型的原理完全一致，只是不同的知识点而已，完全可以整合；有些模型偏、难、怪，根本不适合初中数学的正常教学活动。而当各种各样的模型一起轰炸过来时，学生没有精力去理解模型的本质，而演变成了单纯的模型记忆，教师上课也变成了机械地灌输，与我们几何解题模型教学的初衷背道而驰。

2．几何解题模型的思维禁锢

几何解题模型教学分别对学特困生、后进生和中等生、优秀生三个层次的学生提出了不同的目标，在实际的教学中，我们发现，利用解题模型，我们能比较好达到第一、二阶段的目标。通过对模型的模仿学习，学生对相关知识的识别，理解和掌握的情况较好，而且效率相对来说比较高，特别是对中等生，体现的尤为明显。但是，几何解题模型的学习，容易让学生落入“套路”：一方面，对于和模型类似的题目，学生比较得心应手，但是对于进行了变式的题目，学生则无法突破其中的关键点；另一方面，学生会产生模型倦怠心理，用模型解决问题后，大部分学生不会深究模型后面蕴含的知识原理，更不会对模型进行拓展研究，进行思维上的升华，对学生的思维培养产生了一定的负面影响。

3．几何解题模型的指向性过于明确

各个几何解题模型的指向性都是非常明确的，如“阿氏圆最值模型”，给学生的指向性就非常明确：在圆中构造子母型相似，实现对线段的转化。这本是几何解题模型教学最大的优势所在：让学生迅速摸清该种题的来龙去脉以及考察的知识点，从而达到解题的目的。但我们在实施教学或者是学生在进行学习时，为了追求所谓的快速解题，往往急功近利，简化或者省略本不应该去除的部分，把思维的培养演变成了“告知”和“训练”，学生的学习也变成了“复制和粘贴”。这种明确的指向性，让学生失去了探索和发现的机会、耐心以及能力。正如杜威所说的：“纯粹的模仿、采用指定的步骤、机械式的练习，均可能最快地取得效果，然而，对反省思维能力的增强，却可能铸成不可挽回的错误”。这也是和我们进行几何解题模型教学的宗旨相违背的。

（四）几何解题模型教学的实施策略

1．精选几何解题模型

按照前文中提出的模型选取的三大原则，精心挑选出符合实际情况的几何解题模型。其实，我们教材上的公式、定理等内容都可以看作是广义的小的数学模型，学生从这些小的模型中去了解几何的要素和内涵。我们解题模型的教学是让学生更好地理解相关的知识点，掌握相应的解题技巧。如果我们选取的模型在相同的情况下，反而增加了记忆和理解上的困难，那么这个模型就不符合我们的要求。解题模型的重要作用之一便是，在学生目前的认知和能力范围内，对相应的问题解决没有达到预期的效果时，解题模型能唤醒其在某个知识点上的记忆，或者引导其进行类比分析，实现思维发散，从而找到问题解决的方法。因此，在一些重点、难点地方设置相应的解题模型，显得尤为重要。

2．几何解题模型教学实施优化

几何解题模型教学不是机械地灌输，学生更不能只是简单的复制。模型教学也应该和我们正常的几何教学一样，要关注教学的本质。数学教学既要培养学生的知识与技能，更要培养学生的思维和能力，模型只是实现该目标的一种载体。教学中，要让学生回归原始的基本概念和基本方法，在此基础上发现方法，提炼思想，发散思维，最终看清模型的真面目。

在具体实施的过程中，按照上述指导思想，在本组，本校，跨校区进行相应的课例探讨，从而优化我们的模型教学模式。下面是我们在黄华路校区参与的一堂有关“隐圆模型求最值问题”的课例探讨课（案例4）。

案例3隐圆最值模型1

模型探究——模型总结——例题讲解——巩固练习

案例4《对一类最值问题的探究》（注：本课例节选自黄华路校区蒋老师）

基础训练——最值探究——例题讲解——小结——变式——总结提炼——课后练习

对比两个教案，在标题上，案例3采取的直截了当的方式点出本节课的核心内容——利用圆来解决最值问题；案例4则用“一类问题”遮掩住了本节课要探讨的真相。之所以案例4这样设计，是要避开“模型的指向性过于明确”这个弊端，防止学生的思维渠道化，让学生可以通过引入部分的知识准备，顺利进入本节核心内容的探究。

在引入部分，二者均通过一定量的储备知识为例题中的探讨提供基本的理论基础。

在接下来的模块中，案例3设计了如下几个模块：模型总结——例题讲解——巩固练习。而案例4则设计了例题讲解——小结——练习——总结提炼——课后练习等相应的模块。其中例题讲解完后的小结部分是学生为主的总结，归纳出本节课核心内容问题解决的核心方法。而后的总结提炼则以老师为主，老师总结归纳出模型，再次强化此模型问题解决的核心方法：画出轨迹圆，求圆外一点到圆上一点连线的距离的最值。

教案里面模块顺序的改变和结构的调整，是对“带着套路去解题”和“解题中提炼方法”两种思维模式的调整。很明显，后者要求学生跟着老师去寻找难点、突破难点，强化难点的突破过程，暴露突破难点过程中的思维轨迹，从而达到使学生建构思维体系，提升思维水平的目的。而前者多少会有点回避难点的嫌疑，导致学生的大脑在难点突破的过程中饭来张口，没有得到真正有效地锻炼。

案例5（注：以下课例节选自广州市市教研课，选取其例题，其余略）

例：如图，点D、F分别在EC、AD上，若EF=AC，且∠DFE=∠DAC，求证：D为CD的中点.

教师投影学生的不同方法，引导学生思考为什么这样做辅助线可以构造全等三角形？

上文提到，几何解题模型教学的一大弊端便是模型泛化，将原本属于同一知识点的内容分散，建立相关模型，但各个模型之间缺乏有效地联系和整合，缺乏知识网络和思维上的融会贯通，导致学生机械地套用、记忆模型，负担加重，却没有几何思维上的提升。

案例5中，该例题涵盖了三角形全等中的基本类型，通过构造边和构造角，实现三角形全等的三个条件的获取，从而实现三角形全等的转换。该案例的设计着重关注数学知识的本质与知识间的内在联系，关注学生思维能力发展和学习方法指导。

我们在进行几何解题模型教学中，会因为教学进度和学生认知水平的制约，在前期会有分散的模型，在章节复习阶段，就需要这样的课型来进行总结和升华，融合知识点，提升思维能力。

事实上，上述提到问题以及解决策略不光是模型化教学遇到的问题，也是我们整个数学教学过程中遇到且急需解决的问题。因此我们在进行解题模型教学的过程中，作出如下策略的调整：

①取消学案。一方面是让学生紧跟老师的思路，师生一起探究问题的本质，达到思维训练的目标；另一方面则是既防止学生偷偷做后面的题（特别是针对一些似懂非懂的学生），导致学习效率低，效果差的局面，也让学生认真观察，动手画图，动脑思考，动嘴表达，让这一套系统工程流畅运转，从而内化成自己的东西。

②淡化模型课的标题，不要给学生做明确的指向，从而让学生的思维得到发散与整合，不会禁锢在条条框框里面。

③遵循教学规律。对于一些基础模型，我们老师不要用所谓的丰富经验，先入为主地对学生进行“解题模型”灌输，而应从数学教学的本质出发，引导和激励学生自主探索，总结归纳出相应的“解题模型”，真正地提升自己的数学核心素养。

④鼓励学生跳出模型。几何解题模型只是解决某一几何问题的基本框架，学生如果只是机械地生搬硬套，则无法解决新问题，学生的几何素养也没有得到实质性的提升。我们要在学生熟悉该模型的解题策略后，鼓励学生探索模型背后蕴含的数学基本原理，鼓励学生标新立异，一题多解，打破思维的牢笼，最终能跳出模型，构建出自己的数学思维模型，回归数学的本真。

三、结语

几何解题模型教学要少一点“套路”，多一点真诚。

针对学生几何思维比较欠缺的现状，我们一直在探索有效解决问题的方法。几何解题模型教学，对学生几何解题能力的提高有较为明显的效果。但受制于认知水平、理论深度、探究形式、时间积累等因素，几何解题模型在有效提升学生几何素养方面还有一定的局限性，这也是数学这门学科特点所决定的。几何思维等数学思维的培养过程就是让学生不断经历直观感知、观察发现，归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与重新构建的过程，“模型教学”也应该遵循这样的教学规律。在具体实施的过程中，我们要以学生为主体，尊重知识本位，让学生经历“认知、理解、重建模型”的学习过程，掌握知识和方法，具备一定的数学思想，提升数学能力，有效提升学生的几何素养，从而体现模型教学乃至数学教学的价值。

参考文献：

[1]何桂琴.善用几何"模型"提升几何解题能力[J].中外交流，2019，26（44）.

[2]钱德春.初中数学“模型”教学之我见[J].中学数学，2016（10）：15-19.

[3]钱德春，范建兵.“ka+b型最小值”问题的探究与思考[J].数学通报，2017，56（6）：45-49.

责任编辑 洪冬梅