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【摘要】本文分析当前初中数学几何教学现状，以西蒙数学理论为指导，提出初中数学几何推理教学的设计方案。通过具体的教学案例，展示如何将西蒙数学理论应用于实际教学中，以提升学生的几何推理能力。

【关键词】初中数学；西蒙数学理论；几何推理教学；平行四边形的性质

一、西蒙数学理论概述

西蒙数学源自美国科学家赫伯特·西蒙（H.A.Simon）。三十多年前，诺贝尔经济学奖得主、心智计算的先驱、认知心理学家、被誉为“人工智能之父”的西蒙，因为认知心理学上的共识，与中国科学院心理学研究所教授朱新明合作，对“自适应产生式系统”进行深入的研究，并建构了“示例演练”学习模型。近二十年来，华南师范大学数学科学院谢明初教授结合数学学科“高度概括和抽象”等特点，在原有的模型基础上，运用建构主义和情境认知理论，从教法、学法等多个角度，对数学教学进行哲学的阐述，提出“西蒙数学教学法”。 这是建立在“人类自适应学习”理论基础上，将人工智能和现代认知心理学研究成果运用于数学教学的现代教学法，其核心理念是将部分陈述性知识转化为程序性知识呈现出来，通过“例中学、做中学”帮助学生深入学习数学。

一、初中数学几何教学的现状

在当前的初中数学几何教学实践中不难发现，部分学生存在推理能力不足的问题。这一现象在多项教育研究中得到证实。一项针对全国范围内初中生几何推理能力的调查显示，超过60%的学生在解决几何问题时表现出逻辑推理的困难。推理能力的欠缺，不仅影响了学生对几何知识的深入理解，也制约了他们在数学学科乃至其它学科中的综合应用能力。教学方法的单一性是另一个显著问题。传统的几何教学往往侧重于知识的灌输和公式的记忆，而忽视了学生思维能力的培养。课堂中，部分教师倾向于采用“讲授—练习”模式。这种模式虽然能够帮助学生快速掌握基础知识，但却未能有效激发学生的探究欲望和创新思维。这种教学方式也未能充分考虑到学生的个体差异，导致部分学生在面对复杂几何问题时感到无所适从。

下面，笔者以北师大版初中数学八年级下册第六章《平行四边形》的《平行四边形的性质（2）》认知工作单的设计为例，探究西蒙数学理论在初中几何推理教学中的应用，聚焦于“平行四边形的对角线互相平分”这一知识的形成与运用。

三、西蒙数学理论在初中数学几何推理教学中的案例

（一）课题：《平行四边形的性质（2）》

（二）教学内容分析

学习目标：1.经历观察、猜想、验证、推理的过程，理解并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质。2.会运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明，发展几何直观与推理能力。

重难点：平行四边形对角线互相平分的性质及其应用。

（三）学习环节设计

1.温故知新

回顾平行四边形有哪些性质，然后填空。

（1）平行四边形性质一：平行四边形的_____相等。表示方法：若四边形ABCD是平行四边形，则_________；

（2）平行四边形性质二：平行四边形的_____相等。表示方法：若四边形ABCD是平行四边形，则__________；

（3）如图1，AC是ABCD的对角线。求证：△ABD≌△CDB.

设计意图：通过练习回顾平行四边形的性质一、二，并在第3小题对这两个性质进行运用，证明三角形的全等，进一步巩固学生对证明三角形全等的推理过程。这能提升学生的逻辑思维，让学生在题组练习中形成自我反思的习惯。

2.知识建构

试一试：探索平行四边形性质三

如图2，ABCD的对角线AC、BD将于点O.求证：AO=CO，BO=DO.

由此可得，在ABCD中，AC与BD相交于O，AO____CO，BO____DO

即：平行四边形的对角线________。

表示方法：在ABCD中，AC与BD相交于O，则____________________。

（1）如图3，在ABCD中，AC与BD交于点O，AC=12cm，BD=19cm，则OC =____cm，OB=____cm.

（2）如图3，在ABCD中，AC与BD交于点O，OA=5cm，OB=6cm，则AC=____cm，BD=____cm.

试一试：平行四边形性质三的应用

（3）如图4，ABCD 的对角线AC，BD交于点O.过点O作直线EF，分别交 AB，CD于点E，F.求证：OE=OF.

（4）如图5，在ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADB=90o，OA=6，OB=3，求AD和AC的长度。

设计意图：根据认知负荷管理策略，学生经历运用平行四边形的性质一、二证明三角形的全等的过程，从而得出平行四边形的性质三。学生在“做中学”，并在发现知识、建构知识的过程中体验到知识的获得感、成就感。这种感觉给学生以深刻印象，提升学生对知识的获取技能，开阔其视野。

3.学习迁移

（5）如图6，在ABCD中， AC、BD相交于点O，则下列说法中错误的是（    ）

A.OA=OC         B.∠BAD=∠BCD

C.AC⊥BD      D.∠BAD+∠ABC=180°

（6）在上题图中，ABCD的周长为28 cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长大4 cm，则BC的长是_____.

（7）如图7，在ABCD中，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB：AD=3：2，那么ABCD的周长为多少？

（8）如果平行四边形的一条边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m的取值范围是______.

（9）如图8，在ABCD中，AB=10cm，AB边上的高DH=4cm，BC=6cm.

①求BC边上的高DF的长。

②若DH⊥AB，DF⊥CB，∠HDF=60°，求ABCD各内角的度数。

（10）如图9，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，且与DC、BA的延长线分别相交于E、F.求证：OE=OF.

设计意图：根据平行四边形的性质及其应用类型设置题组练习，在从简单到复杂、层层递进的练习中渗透解决几何推理问题的一般策略，引导学生适当联想，小心求证，促进不同类型学生的认知能力不同程度地提升。并以上台阶的方式，关联前两个环节的内容，再结合相关知识点设置题组，使学生逐步学会应用平行四边形的性质解决实际问题，并在题组练习过程中反思所学知识与技能。

4.课堂小结

（1）平行四边形的性质：

如图10，ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则有

AB∥___，AD∥___，AB=___，AD=___，（对边____）

∠___＝∠___，∠___＝∠___，（对角___）

AO=___， BO=___.（对角线___）

（2）在本节课的学习中，我们发现：平行四边形的性质会与______、______、______等知识结合起来解决相关问题。

设计意图：通过小结平行四边形的性质，反思本课所学知识。归纳、反思与平行四边形的性质关联的知识点，根据学生的认知及学习特点，形成知识并联，并促进学生思考，选择合适的解决问题的思路，得出正确的解题策略。

5.能力拓展

（11）如图11，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AD=8，AB=10，且BD⊥AD，求OB的长度及ABCD的面积。

（12）如图12，点O为ABCD对角线BD的中点，经过点O的直线分别交BA和DC的延长线于E、F，求证：AE=CF.

设计意图：通过这两题的练习，拓宽学生的视野，锻炼学生的数学思维，对本课知识达到融会贯通的学习效果，进一步提升学生的题感、运用能力和直觉思维。

四、教学反思

（一）认知负荷管理策略的运用

西蒙数学理论的核心在于对学生认知过程的深刻理解与有效引导。在几何推理教学中，教师可以通过分解复杂问题、提供图形辅助或使用动态几何软件等方式，帮助学生更好地集中注意力于关键的推理步骤。在本课中，笔者从温故知新对上节课的知识进行复习。在知识建构这个环节设置练习，逐步引导学生得出平行四边形的性质三并运用这个性质解决问题。在学习迁移中也是通过练习进行巩固，并进一步提升难度，然后进行小结。在整个教学过程中，笔者对推理得出平行四边形的对角线互相平分这一性质及其应用进行了分解，减轻学生的认知负荷，并通过相关的练习巩固和提升学生的推理能力。另外，在本课的知识建构环节，平行四边形的性质三以小组合作解决问题的方式引导学生得出结论，并进行初步应用。平行四边形性质三的应用也以练习的形式展开，使学生从小组合作解决问题中体会、总结解决几何推理的方法和步骤，提升学生的几何思维。

（二）问题解决策略

问题解决策略是西蒙数学理论另一关键要素，它主张教学应培养学生系统的问题解决技能。在初中数学几何教学中，教师可以通过案例教学、小组合作和反思性学习等方法，引导学生逐步掌握从具体问题中抽象出一般规律的能力，以及运用逻辑推理解决几何问题的策略。通过引导学生分析不同几何问题的共性和差异，帮助学生建立起一套灵活的问题解决框架，使其能够在面对新问题时迅速找到有效的解决路径。在知识建构中，笔者让学生合作完成题组，通过完成题组，引导学生得出平行四边形的性质。在学习迁移环节，笔者设计题组练习，循序渐进，引导学生在解决问题的过程中初步形成运用几何知识解决相关问题的模型。在课堂小结环节引导学生反思本课所学，总结平行四边形的性质会与哪些知识点相结合来解决问题。

（三）自我监控和自我评价

教师还应鼓励学生进行自我监控和自我评价，通过不断的实践和反思，提升其数学思维的深度和广度。笔者认为，自我监控和评价应贯穿于整个课堂，渗透在每个教学环节。这要求教师在课堂教学中引导学生对每个环节的内容进行反思，以反思加强学生对自身学习过程的监控。因此，在课堂小结中，笔者设计了要求学生运用几何语言对平行四边形的性质进行回顾的练习，并对其在运用中与哪些知识点结合进行总结，使其反思本课的所学所做，引导其对学习过程进行评价。在课后作业的选做题中，笔者设置了两道难度较大的题，以拓展学生的思维。这也是引导学生进行反思和监控。

综上，笔者认为，初中数学教学设计可以进一步优化认知负荷管理策略，确保在遇到比较复杂的几何推理时，学生能够保持适度的认知挑战，同时避免过度压力。教师还可以探索更多基于问题解决策略的教学活动，以进一步激发学生的学习兴趣和创造力。通过设计一系列以学生为中心的教学活动，不仅能够激发学生的学习兴趣，还能促进学生之间的知识共享和思维碰撞。这种教学模式的转变，虽然在初期需要教师投入更多的时间和精力进行准备和指导，但从长远来看，它能够培养学生的终身学习能力，为他们的发展奠定扎实的基础。

[本文系广东省教育规划课题“基于自适应学习理论提升初中生几何推理能力的研究”（项目编号：2021YQJK050）阶段性研究成果]

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责任编辑    杨    杰