2020年，教育部颁布并实施了《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，该课标明确提出了高中阶段数学的六项核心素养，包括即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。课程标准对数学建模的主要过程、表现及意义进行了详细阐述，明确了对数学建模教学的要求，即提高学生的数学建模能力，使学生能够有意识地运用数学语言表达现实世界，发现问题、提出问题，领悟数学与现实之间的关联，并学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践经验。课标将高中数学建模放置在一个比较高的位置，寻求用模型的思想统领数学知识、数学方法、数学思想，通过数学建模教学，让学生体会数学应用的广泛性和巨大的价值，从而激发学生学习数学的兴趣，提升学生数学素养和综合素质。所以，高中生阶段让学生经历一到两次数学建模的过程，对他们来说是终生受益的事情。所以，有必要将散落在高中数学课程中各个章节的数学建模内容进行统整，变成可实施的校本化数学建模课程，让更多的学生参与高中数学建模，积累更丰富的数学实践经验。

一、数学建模教学的困境

数学建模对学生的学以及对教师的教都提出了比较高的要求，体现在多个方面。一是数学建模过程的一系列的创新要求，如研究对象的复杂现实情境、研究方法的非标准化、研究思路的创新性、研究工具的创新性、研究结果的不唯一性、学习评价的创新性等；二是数学建模素材比较贫乏，没有依标准编写的专门教科书，教科书中仅有有限的指导性示范，不足以在教学中直接使用（当然教科书不可能把更多的数学建模案例都收纳进来，这是由教材本身的特点决定的），教师需要添加更多的素材才能在教学中完成建模教学。三是数学建模中跨学科的情况比较多，数学建模所涉及的知识多数都是跨学科的，往往涉及数学、物理、天文、生物、大数据、人文、社会科学等学科，师生对这些知识比较陌生，甚至欠缺，造成对问题背景的理解困难。四是数学建模数据的处理离不开计算机与互联网，计算机作图、数据整理、数值计算、变量分析等都离不开计算机的辅助；此外，很多在线的数据处理程序，如多项式曲线拟合等，这些都需要参加数学建模的师生掌握一定的计算机和互联网应用技能，一些相关的专业软件无疑这对学生还是有很大难度的。五是数学建模与高考命题。这个因素本来不应该成为师生开展数学建模活动，但高考命题特点会直接影响高中数学的教学。由于高考命题很难命制合适的数学建模题目，所以高考无法考查数学建模，自然造成日常教学对数学建模重视不足，学生参与数学建模的机会也相应变少了。

二、数学建模课程校本化的建设

数学建模课程校本化，对于有兴趣参加数学建模的都可以报名参加课程学习，不失为一种积极前面所述的各种问题一种办法。设计好课程定位、课程目标、教学内容、评价方式等，组建好教学团队，实现常态化的数学建模课程，密切配合高中课程的教学进度、不同的内容安排在相应的新授课之后，促进高中数学的学习。笔者承担这个校本课程的大部分工作，并将这个课程命名为：高中数学建模基础。本课程不会将过高的要求强加给每一位学生，“基础”两字正是体现了本课程适合绝大部分高中学生。

1．课程定位

高中数学建模基础是为了提升学生运用数学知识解决实际问题、训练学生数学综合能力的一门课程。课程定位为帮助学生学习数学知识、运用数学知识解决实际问题，提升学生数学素养。课程的案例或来自教科书相关内容，或者学生收集各行各业的数据，或者通过观察与记录、测量、跨学科研究等获取的数据，借助计算机软件对数据分析、运算、推理、验证等，抽象出数学模型，检验模型，改进模型，形成研究报告或者数学建模论文。

2．课程目标

开设高中数学建模基础课程，教学目标是让学生学会发现问题、提出有价值的问题，且能用所学的合适的数学工具去解决这个问题。这里的合适，指的是解决问题不一定用到高深的数学工具，而是针对问题够用的工具。课程的目标人群既可以是数学成绩优秀的学生，也可以是成绩普通的学生，哪怕他们没有接受过系统的数学建模方法与理论，也能做出属于自己、适合自己的高中数学建模项目，还可以随着知识与能力的水平的提高不断改进和完善模型，进而找到学习数学的乐趣，激发学习数学的热情。

3．课程评价

第一，评价内容要点。提出了一个有价值的实际问题；能从数学的角度分析问题；能建立一个比较符合实际的数学模型；能对数学模型进行解释；能检验数学模型；能改进和优化数学模型；能运用所建立的模型解决问题。

第二，评价方式。撰写数学建模研究报告，数学建模小论文。

第三，评价工具等。以《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将数学建模划分为三个水平作为评价工具。①水平一。水平一是比较简单的数学建模教学目标，是浅层的要求、初步的要求，是认知的较低水平的要求，认识、了解、知道、能举例、能借助或引用现成的数学模型去解释所研究的问题（未能成功建立自己的数学模型或者很简单的建模）。课程标准对数学建模水平一的达标要求如下：了解熟悉的数学模型的实际背景及其数学描述，了解数学模型中的参数、结论的实际含义。知道数学建模的过程包括：提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型。能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程解决问题。对于学过的数学模型，能够举例说明建模的意义，体会其蕴含的数学思想；感悟数学表达对数学建模的重要性。在交流的过程中，能够借助或引用已有数学建模的结果说明问题。如果用数学建模比赛的“行话”去形容这个水平一，就是获得了成功参赛奖。②水平二。水平二是比水平一要求有较大的提升，要求对提出的问题有价值分析判断，选出合适的数学模型并清楚理解模型中包含的参数及其意义；能建立并求解模型，检验结果并进一步完善模型解决问题：形成报告、展示成果并清晰阐述数学模型解决问题。课程标准对数学建模水平二的达标要求如下：能够在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，知道数学问题的价值与作用。能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题；理解模型中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型；能够根据问题的实际意义检验结果，完善模型，解决问题。能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义；能够运用数学语言，表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果，形成研究报告，展示研究成果。在交流的过程中，能够用模型的思想说明问题。如果用数学建模比赛的“行话”去形容这个水平二，就是成功参赛并获得二等或二等以下奖项。③水平三。水平三是数学建模的最高教学评价要求。在生活生产、社会科学、自然科学、工程科技等综合问题背景提出数学问题、运用数学建模方法创造性地建立数学模型来解决问题，能够深刻理解数学模型的意义和各种参数的作用；能熟练运用符合语言、图形语言等清晰准确刻画数学建模的过程与结果，能深刻地阐述当中的科学规律与社会现象。课程标准对数学建模水平三的达标要求如下：能够在综合的情境中，运用数学思维进行分析，发现情境中的数学关系，提出数学问题。能够运用数学建模的一般方法和相关知识，创造性地建立数学模型，解决问题。能够理解数学建模的意义和作用；能够运用数学语言，清晰、准确地表述数学建模的过程和结果。在交流的过程中，能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象。如果用数学建模比赛的“行话”去形容这个水平三，就是成功参赛并获得一等或一等以上奖项。④课程内容。确定课程内容是本课程创建的核心，是最为关键、难度最大的一步。首先，确定课程的内容，确保讲授的内容让大部分学生能够接受，能保证以比较低的起点、丰富有趣的知识点、理论与实践的融合、合适地提升坡度、力求在教科书的基础上有所提高。因此，在参考大量的教学素材后，选取了七个单元的教学内容，包括数学建模概述、函数模型、不等式模型、三角函数模型、数列模型、几何模型、图论模型和计算机技术等八个模块。

第一单元：数学建模概述（2课时），包括1.1学习数学建模的意义，1.2数学模型及数学建模概述且分为1.2.1什么是数学模型和1.2.2什么是数学建模，1.3数学模型举例，这个单元是对数学建模的入门介绍，让学生初步了解数学建模的过程。

第二单元：函数不等式模型（4课时），包括2.1函数不等式模型概述，2.2一次函数模型及案例，2.3二次函数模型及案例，2.4幂函数、指数函数、对数函数模型及案例，2.5不等式模型及案例。本单元适合在学习必修第一册、选择性必修第二册学完函数概念、不等式、指数函数、对数函数、函数的导数等相应的章节进行补充教学，且容易写出一些简单的数学建模研究报告和建模论文，对学生是一次有积极意义的数学学习历程。

第三单元：三角函数模型（2课时），包括3.1三角函数模型概述及三角函数基础知识应用，3.2测量问题建模及案例，3.3线路与方位问题建模及案例。本单元适合在学习必修第一册学完三角函数、平面向量、解斜三角形等知识后开展本单元的教学，当中可以有一些涉及社会实践诸如的测量距离、测量高度等活动，锻炼学生动手实践能力。

第四单元：数列模型（2课时），包括4.1数列模型概述及数列基础知识应用，4.2信贷问题的数列模型及案例，4.3环保问题的数列模型及案例，4.4工业问题的数列模型及案例。本单元适合在学习选择性必修第二册学完数列等知识后开展本单元的教学，可以涉及贷款等经济、生物学等领域，扩大学生的视野。

第五单元：几何模型（3课时），包括5.1几何模型概述及数列基础知识应用，5.2设计与制造问题的建模及案例，5.3计量问题的建模及案例。本单元可以在任何时候都可以开展，主要涉及几何量的计算、平面设计、商品外包装设计、工艺设计等，让学生跨学科学习，拓展综合能力。

第六单元：图论模型（2课时），包括6.1一笔画模型及其案例，6.2最短路模型及其案例，6.3优选法及其案例，6.4统筹法及其案例。这是高中数学课程没有涉及的领域，但在生活生产中应用却十分广泛，因此非常有必要对一些比较简单的图论模型在学生中进行普及性教学，并建立数学应用于解决实际问题，提升学生数学素养。

第七单元：数学建模与计算机技术（2课时），包括7.1电子表格处理数据分方法及案例和7.2数学建模常用软件MATLB及应用案例。本单元属于数学建模辅助手段的教学，是技能的传授，可以借助让学生上机实践，教师做必要的指导，对于表格的基本操作、专业数学软件的使用的指导。本单元内容可以在本课程的任意阶段进行。

三、校本课程数学建模基础的教学

数学建模基础的教学主要分为面向全体学生和面向特定人群的教学。面向全体学生的建模教学，主要在日常的数学课堂进行建模思想、建模方法的渗透，教学素材来自教科书和同步辅导书，教师在课堂中不作过度的拓展，只给学生简单介绍数学建模，更多是让学生自学，必要时布置一两次长作业作为数学建模作业，这基本上是对课程标准最低限度的数学建模教学。面向全体学生的建模教学，主要是参加校本课程“高中数学建模基础”课程的学生的教学，除了讲授教材的教学，还要完成七个单元的数学建模教学。此外，辅助一部分数学建模课上比较优秀的学生的参加数学建模比赛，当中是建模“实战”的，属于阶段性的教学。

四、对高中数学建模教学的反思

高中数学建模在决策层中是比较重视的，各地各校也对这种具有挑战性的教学也做了很多的有益的探索，但还不能说做到大范围普及的程度。因为数学建模需要更多创新的思想、创新的意识和信息技术的支持，这对高中数学教师提出了比较高的要求；同时，数学建模的评价的主观性极高导致在高考中命制数学建模的题目变得非常困难，至今不曾有人把真正的数学建模问题搬到高考试卷上。高考的指挥棒效应导致中学开展数学建模教学依然是雷声大雨点小，甚至雷声也是偶尔，落到实处的也是凤毛麟角。因此，数学建模在中学的普及仍然困难重重，任重道远。

【基金项目：本文系广东省教育科学“十四五”规划课题“高中数学教师基于素养的教学思维养成的途径研究”（课题编号：2023YQJK657）、“基于问题驱动下的高中数学深度教学有效模型研究”（课题编号：2021YQJK175）阶段性研究成果】

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］．北京：人民教育出版社，2020．

［2］兰小银，朱文芳．数学建模进入中学课程的意义与价值［J］．数学教育学报，2023，32（3）：8-12．