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摘要：贝叶斯公式是概率论与数理统计中重要的公式。本文采用研究式和启发式的教学方法推导讲解贝叶斯公式，培养学生严谨的科学态度和创造能力;通过贝叶斯公式在银行信用评价问题中的应用，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，勉励学生努力践行社会主义核心价值观，建立正确的人生观。

关键词：概率论与数理统计;贝叶斯公式;课程思政元素

本文以概率论与数理统计中“贝叶斯公式”这一节教学内容为例，从学情分析、教学目标、教学重难点和教学过程这四个方面设计教学模型，在教学实践中落实立德树人的根本任务。

一、学情分析

概率论与数理统计是高校理工类、经济管理类专业必学的一门公共课，它为学生今后的专业课学习提供必需的数学知识，同时培养学生的逻辑推理能力、以及用所学知识分析、解决实际问题的能力，全面提高学生的数学素养。贝叶斯公式是概率论与数理统计中一个重要的公式，它在大数据、人工智能、海难搜救、邮件过滤等问题中都有着重要的应用。

本节课授课对象为大二年级理工类、经济管理类学生，他们已经学习了高等数学的相关知识.他们的优势是有梦想、思维活跃， 容易接受新鲜事物， 但数学应用能力弱，尤其对纯数学概念的学习缺乏兴趣。应对措施：化繁为简、举例恰当、提高兴趣、增强自主学习能力。

二、教学目标

知识目标：让学生理解贝叶斯公式的形式和内容;掌握贝叶斯公式求概率的方法。

能力目标：使学生能够利用贝叶斯公式解决实际问题，进一步提高计算能力。

情感目标：提升学生分析解决问题的能力和自信心，提高学生的应用意识。

育人目标：注重学生中国梦， 社会主义核心价值观， 人文素质教育。

三、教学重难点

教学重点：应用贝叶斯公式计算概率。

教学难点：利用贝叶斯公式解决具体问题。

四、教学过程

（一）复习回顾

上节课，我们学习全概率公式时，通过这样一个例子：一个学生学习成绩好这个结果可能是由自身努力，教师教学水平高，学习习惯良好等等多种原因导致的。设事件A表示“学生学习成绩好”，事件B1为“学生自身努力”，事件B2为“教师教学水平高”，……，事件Bn为“学生学习习惯良好”，可以得到结果A发生的概率等于各个原因引起的概率的和，即全概率公式

上节课的学习，我们知道全概率公式体现了分类讨论、化繁为简的思想，是用来解决由因求果的问题。

教学设计：以生活实际案例“学生学习成绩问题”复习全概率公式，目的是减少课内回顾知识点所用的时间，充分突出重点;同时启发学生主动思考，提高学生的学习兴趣，为整堂课奠定良好的基础。

（二）课题引入

现在我们考虑问题的另一个角度：某学生学习成绩好这个结果发生了，问最有可能是哪种原因导致的呢？与全概率公式相比，这是一个逆向的过程，变成了由果求因的问题。这个问题应该怎样解决呢？

为了确定导致事件A发生的原因的概率，我们只需计算出此事件发生的条件下各个原因发生的可能性大小，即计算P（Bk|A），

我们把中间过程去掉，得到这个公式

就可以求出导致A发生的各个原因的概率这就是我们接下来介绍的贝叶斯公式。

（三）贝叶斯公式

定理 设S为样本空间，A是一个事件，B1，B2，……，Bn是S的一个划分，且P（A）>0，P（Bk）>0，（k=1，2，…，n），则

说明：（1）B1，B2，……，Bn是S的一个划分是为了保证公式中的条件概率有意义;（2）应用中，A表示某个结果，Bk看成导致这个结果发生的各种原因，故贝叶斯公式是用来解决由果求因的问题;（3）公式中的分子刚好是分母中的第k项，即A发生的条件下，第k个原因发生的可能性大小当然是第k个原因占总原因的比例。

贝叶斯公式实质为条件概率，在事件A发生的条件下，由这个试验结果实现对原因Bk的重新认识。按照先后顺序，我们称试验之前对Bk的认识为先验概率P（Bk），试验之后对Bk的认识为后验概率P（Bk|A）。

教学设计：采用启发式教学，引导学生构建贝叶斯公式，达到分散难点的目的，也培养了学生的创造力.通过三点补充说明，培养学生严谨的科学态度。贝叶斯公式最早是由英国数学家贝叶斯提出，时至今日，贝叶斯公式的思想已经发展成一整套统计推断的方法，在实际生活中具有广泛的应用。例如，大数据、人工智能、机器学习、海难搜救、邮件过滤、疾病诊断等等。

（四）银行信用评价问题

同学们，想一想通过观察试验会不会改变对原来事物的认识呢？

例 银行是如何评价小李的信用呢？

解 设事件A为“按期还款”，B为“小李守信”，  为“小李不守信”，则P（B）是银行认为小李守信的概率。假设先验概率                                ，即银行最初对小李没有特别的认识，认为他守信，不守信的概率相同都是0.5，不失一般性， 假设参数

即守信的人有90%的可能性按期还款，不守信的人有50%的可能性按期还款。

由全概率公式

所以

小李通过一次按期还款，改变了银行对他的认识，由先验的守信概率0.5调整到了后验的守信概率0.64，确实通过按期还款改变了银行对他的认识。

如果小李再一次按期还款，银行是如何重新评估的呢？

注意，此时银行认为小李守信的概率已经不是最初的0.5了，而是变成了调整以后的0.64，不守信的概率只有0.36。再次按照贝叶斯公式计算，

通过又一次按期还款，信用评价再次得到提升。如果小李连续4次保持按期还款，经过计算，他的守信概率将由最初的0.5持续上升到0.91。但是如果出现逾期，信用也会相应的下降。这就是银行的信用评价模型。当然，实际中银行的模型可能更复杂，参数设置可能更合理，但核心思想就是贝叶斯公式。

教学设计：通过设计银行信用评价案例，用贝叶斯公式计算贷款人按期还款后银行对他的信用评价，并将先验概率和后验概率进行对比，揭示诚信的重要性。教育学生做人做事都要诚实守信，以陶行知名言“千教万教教人求真，千学万学学做真人”对学生进行诚信价值观的培育，勉励学生努力践行社会主义核心价值观。

（五）小结

（1）掌握贝叶斯公式的简单推导：由条件概率、乘法公式和全概率公式导出。

（2）把握贝叶斯公式的形式：公式两端事件的位置发生了逆转，称为逆概公式。

（3）学会贝叶斯公式的应用：用来解决由果求因的问题与全概率公式刚好相反。

（4）理解贝叶斯公式的本质：体现了利用样本信息纠正先验概率的思想。

思考题（伊索寓言“狼来了”）一个小孩每天到山上放羊， 山里有狼出没.第一天， 他在山上喊“狼来了！狼来了！”， 山下的村民闻声便去打狼， 发现狼没有来; 第二天仍是如此; 第三天， 狼真的来了， 可无论小孩怎么喊叫， 也没有人来救他， 因为前两次他说了谎， 人们不在相信他了。请计算小孩每次说谎后信誉度是如何下降的？

提示：设事件A表示“小孩撒谎”，事件B表示“小孩可信”，不妨假设过去村民对小孩的信任程度为P（B）=0.8，P（   ）=0.2，可信的孩子说谎的可能性为P（A|B）=0.1，不可信的孩子说谎的可能性为P（    |B）=0.5。

教学设计：通过小结帮助学生更好地理解掌握贝叶斯公式;思考题继续深化知识，提升学生实践应用能力。再次诚信的重要性，勉励学生努力践行社会主义核心价值观。

五、结语

同学们，通过这节课的学习，贝叶斯公式中先验概率是基础，样本信息是关键，由此才能预见后验概率。同学们在学习和生活中要善于总结过去，牢牢把握现在，这样才能创造更美好的未来。

参考文献：

[1]李晨，陈丽萍.概率论与数理统计课程教学中思政元素的挖掘与实践[J].大学教育，2021（9）：104-106.

[2]彭丹，刘东海. 关于概率论与数理统计课程思政的探索--基于数学文化的角度[J].当代教育理论与实践，2021（9），13（5）：7-12.

[3]盛骥，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2019.

基金项目：

2020年河南省首批本科高校课程思政教学团队“河南工学院概率论与数理统计课程思政教学团队”。

2021年河南省首批职业教育与继续教育课程思政示范课程“河南工学院概率论与数理统计课程”.

作者简介：

张宁（1988.6-），女，汉族，河南杞县人，博士研究生，讲师，主要从事微分几何研究，概率论与数理统计教学。