【摘要】怀特海是过程哲学的代表人物之一，他在《教育的目的》中提出了教育节奏论，认为智力发展分为浪漫阶段、精确阶段和综合阶段，教育要精准的踏在这个节奏上。在该思想指导下，结合《义务教育数学课程标准》（2022版）内容结构化要求，提出对小学数学“数与运算”部分的三条教学建议：引导学生经历观察、注意动手操作的重要性、给予儿童语言表达的空间。

【关键词】怀特海;教育节奏论;小学数学;数与运算

Abstract： Whitehead is one of the representatives of process philosophy. He put forward the theory of educational rhythm in “The Purpose of Education”. He believes that intellectual development is divided into romantic stage， precise stage and comprehensive stage， and education should precisely step on this rhythm. Under the guidance of this thought， combined with the content structure requirements of the “Mathematics Curriculum Standards for Compulsory Education” （2022 edition）， three teaching suggestions for the “numbers and operations” part of primary school mathematics are put forward： guiding students to experience observation， paying attention to the importance of hands-on operation， Give children space for language expression.Key words： Whitehead; Educational rhythm theory; Primary school mathematics; numbers and operations

一、教育节奏论的理论基础

教育节奏论基于过程哲学的创造性原理，怀特海说：“创造性存在于事物的性质中[]。”正是因为这种创造性作用，呈现为分离状态的“多”才能变成联合的“一”。怀特海把教育的节奏分为浪漫、精确和综合三个阶段，这就是“多”，由这三个阶段构成的大循环就可以看做“一”。而在每一个小阶段中，又包含着无数的漩涡。实现这从“一”到“多”从“多”到“一”的转化。怀特海的创造性原理强调纯粹的主动性概念，但并非是全新的提法，正如创造性原理强调的，任何现实的存在都源于先前存在的其他材料。

“创造性是新生事物的本原[]。”每一个现实要想不断生成下去，就要有创造性。而正是现实存在的这种创造性把新颖性引进“多”的内容之中[]。在智力节奏的循环中，每一个阶段的儿童都有着自己的创造性，教育应当踏准这样的节奏，充分发挥每一个孩子的创造性，并不断激发他们把新颖性加入创造性。满足儿童浪漫的好奇，精确知识的学习，原理的综合运用[]。

二、教育节奏论的内容

（一）学生智力发展的节奏

怀特海认为学生的智力发展并非均匀不变，而是有周期的、循环出现的。他把从婴儿到成年的智力发展划分为浪漫、精确、综合三个阶段，形成一个大循环周期，这就是智力发展的节奏。自由与纪律是教育的两大方面，教育的节奏也表现为自由与纪律的节奏。

1.浪漫阶段

从年龄划分和阶段特征角度看，此阶段对应怀特海划分的婴儿时期及13岁以前的青年，也就是现在的婴幼儿期和儿童期，与婴儿期的浪漫阶段相比，青春期（8-13岁）的青年已处于此阶段较为成熟的状态。浪漫阶段是学生丰富头脑的阶段，要广泛涉猎概念，偶尔对事实做系统分析，开始认识事实间未经探索的关系。

此阶段的主要特征是自由，怀特海也指出浪漫阶段的自由是绝对自由，要让孩子在好奇心和兴趣驱使下，通过直接认识事实的方式，在多样化的对象中自主选择并进行自由探索。

2.精确阶段

精确阶段是知识的增加和补充阶段，也是对自由活跃但不成系统的知识的梳理和建构的阶段。在前一阶段的积累下，此阶段更加重视学生对知识的系统阐述和分析，对概念的认识要有明确的界定，对知识的梳理应系统而全面。

精确阶段的主要特征是纪律，自由要从属于纪律。此阶段的纪律也可理解为一种知识的训练[]。这是对知识体系的构建和整合，旨在让学习者将收获的新知识纳入已有认知体系中，并对其进行领悟。

3.综合阶段

综合阶段在黑格尔的哲学体系中称为综合。此阶段是重在运用的阶段，摆脱知识细节的束缚，从成长到理智的阶段，对应着14岁以后的青年进入成年的时间。怀特海认为教育节奏是循环的，在经历了精确阶段之后，这是补充了分类概念和有关的技能后重回归浪漫[]。此阶段的主要特征也是自由，这里的自由指自由的运用知识，进行实践，是一种本质上的自由。

（二）教育要踏准学生智力发展的节奏

怀特海从注意学生的心理的角度重申要依据学生的智力发育程度采用不同方式学习不同科目。即教育要踏准智力发展这三个阶段的节奏，称作教育节奏论。怀特海认为，就教学过程而言，“每一节课应该构成一种涡式的循环，引导出它的下一个过程[]。”这样的涡式循环可以为学科教学提供一些启发，达到“所教科目务须透彻”的要求。

依据怀特海的三个教育发展阶段，小学低学段学生处于浪漫阶段后期，高学段学生处于准确阶段前期，中学段学生处于过渡阶段。在低学段要让学生得到充分的自由探索和体验，要允许他们多经历动手操作等方式，对数和形进行充分感知，充分发扬他们的天性;高学段要更注重简单数学概念的掌握，而不止于理解和感受，在数学概念的界定方面，也从低学段的纯粹描述性定义向更抽象、更具数学本质的方向过渡;在数学语言方面也相应的更加精准和专业;在自由和纪律的约束方面，从完全充分的自由，向着知识的训练和纪律的约束迈进。在中学段，正对应着三、四年级，是学生从具体形象思维向抽象逻辑思维发展的关键阶段，应提供具体情境，让学生经历自由探索与合作交流后，能尝试用更规范严谨的数学语言和数学符号表达结论。

在《义务教育数学课程标准》（2022版）对课程内容进行结构化调整中也可窥见：教育研究者越来越注意尊重学生知识成长的整体性和节奏性。将原课程标准对“数与代数”中“数的认识”“数的运算”“常见的量”“探索规律”“式与方程”“正比例、反比例”六个部分整合为“数与运算”“数量关系”两个学习主题，通过学习主题的整合体现学习内容的整体性。尤其在“数与运算”主题下将数的认识和数的运算两个核心内容进行整合，体现数与运算的紧密相关。

在内容结构化整合下，将整个义务教育阶段视为整体通盘考虑。将小学阶段以两个年级为一段划分为更精细的三个学段，并分别对三个阶段的内容要求、学业要求、教学提示做出具体规定，更符合学生的认知发展规律，并且对于低学段而言更有利于设计幼小衔接的课程内容[]。这样对不同学段学生的差异关照，也正如怀特海对教育节奏的要求：教育要踏准学生智力发展的节奏。

三、教育节奏论对“数与运算”教学的启示

“数与运算”是小学数学“数与代数”领域的重要内容，包括整数、分数、小数的认识及其运算。这些数的书写形式不同，可以表示的范围也不同，但他们都是从数量中抽象出来的，都具有抽象的本质。所谓抽象也是有“节奏”的，需要从感性到理性的逐级抽象。在教授此部分内容时，要把握住小学生处于浪漫阶段的结尾和精准阶段的开始的智力发展特点，重视学生感性经验的获得，借助好奇心和兴趣，引导学生经历和体验抽象的过程，对数进行探索。

（一）引导学生经历观察

婴儿不会观察，但儿童已学会观察[]。观察其实不仅是从表面看，也是一种觉察，是对数字符号、对数学的敏感性。英国数理学家帕梅拉·利贝克在《儿童怎样学习数学——父母和教师指南》中提出了抽象的四个步骤，第一步就是要让儿童观察有形物体，对有形物体形成一种体验;第二步是表述这种体验的口头语言。事实上只有进行了观察，获得了对物体的感知，才有可能用语言表述自己的感受。

在自然数、整数、分数等几乎所有数与运算中，都需要先进行观察。比如青岛版三年级“分数的认识”一课，以小厨师分月饼为具体情境，把一个月饼平均分为两份、四份、六份。这里涉及到的“平均分”，简单来说就是分得的各份是一样多的，怎样能让学生最直观的感受“一样多”呢？那就是通过观察。“一半”月饼的观察方式有很多种，可以观察情境图，可以借助视频动态呈现，可以让学生自己动手画一个进行感知，总之这样最直观的方式，就是在借助学生已有“浪漫”的基础上，对知识的进一步分析和加工。

观察的过程，也是锻炼专注力的时间。怀特海强调每个循环期要保留一定专注，观察就是给学生和被观察物体留有足够的时间和空间，让学生专注的沉浸在与物体对话中，从而获得对事实的理解。正如阅读可以使得学生保持专注一样，在数学学科也有提供专注时间的方法，那就是观察、动手操作与专注地思考。而观察作为其中重要的基础与前提，能帮助学生用数学的眼光看世界，从促进学生数学核心素养的达成。

（二）注意动手操作的重要性

儿童智力发育的外在表现是，他注意自己的感觉与身体活动之间的协调1。这是儿童最初的浪漫体验，在数学学习中实际上也可以理解为一种操作活动体验，即儿童通过数手指、摆小棒、拨动计数器、数方块等动手操作的活动，将操作物体和自己已有的数学知识相结合。这也是一种应用过程。

要使知识充满活力，不能使知识僵化，这是一切教育的核心问题1。而不使知识僵化的方式就是要应用，而不能让知识停留在铅字状态。此时教师要为儿童提供直观化、生活化的学具，让学生亲自体验如何由物到数，如果从具体抽象出数学符号。以自然数10为例，10是小学数学中，学生第一次体会“满十进一”，这不仅是从一位数向两位数的过渡，更是数的单位的产生，以后的数就是对单位的累加和细分。从满十进一，到满十进百，这也是十进制的体现。可以说掌握好10就是为小学数学数与运算的打下了基础。在这里，教师可以提供纸片、计数器等直观化学具，让学生动手拨一拨、动手摆一摆、分一分，来获得操作的活动体验。真正真实的感受满十进一，将这种感觉与自己手指的活动体验相结合，从而获得充分的浪漫体验，为后续精准阶段的发展打好基础。

怀特海认为：“被利用的应该加以证明，被证明的应该加以利用。”学生的数学学习也是如此。数学课本教给学生“9+1=10”，老师告诉学生九朵花再加一朵就是十朵。学生就需要通过动手操作的方式，真正拨动计数器，把珠子的数量由九变十，把九朵花加到十朵，这是由物到数的证明和验证的过程。此时学生在印证的已经不仅是这个具体过程，而是它背后的“满十进一”的思想。在以后学习从11到20，从99到100等所有“满十进一”的问题中，已经被证明的结论也都会得到运用。这实际上也涉及到知识与经验的迁移应用，强调把握知识内在本质联系的重要性。

（三）给予儿童语言表达的空间

儿童的第一个精确阶段是掌握口语，并以口语为工具对他所观察研究的客体进行分类，加强他与其他伙伴间感情关系的理解[]。这其实是要重视学生与同桌或小组成员之间的沟通和表达。教师在每节课的教学中，都要针对授课内容和类型留有相应的讨论环节。以“小数的认识”为例，在导入环节，可以让学生找找自己身边的小数，并对其进行描述;在呈现新知环节，要充分利用小组合作的力量，让学生通过动手操作、观察等方式，总结并表达出小数及各数位表示的意义;在作业布置环节，可以通过给“小数”写一个名片的形式，对本节课所学“小数的组成、意义”进行文字描述，这也是学生表达数学语言的一种重要途径。

儿童的第一个综合运用阶段是用语言描述已分类的、并扩大了的对客体的欣赏1。语言的运用对数学学习而言极其重要，教育不仅要把知识学进去，也要能把体验和感受讲出来，这是对数学的表达。实际教学中，教师很容易忽视学生发声的重要性，忘记了当学生对现实生活进行了观察和思考后，应及时表达自己的理解。这实际上是对课堂教学中学生主体的淡化，作为数学教师应尽可能地提供贴近学生生活的真实情境，重视学生感性经验的体验和形成，并以此促进教与学一致性的发生。学生对“数”从感性认识逐渐到理性认识的过程，也就是数学语言从自由到规范的过程。

在训练学生表述规范数学语言时，教师首先要进行规范的数学语言表达，为学生提供正确的榜样作用，表现在“数与运算”上即为：理清数的含义，明确算理。比如在学习“三位数除以两位数时”时，计算“132÷12”要引导学生理解算理，即通过回答关键问题：两个1分别要写在谁上？它们表示什么含义？教师应对这些问题做出规范性回答，强调两个1代表的含义不同，第一个1表示1个十，所以写在3上面;第二个1表示1个一，所以写在2上面。整个式子可以用包含除的方式理解为：132里包含11个12。在这里“1个十”表示在十位上的数字是1，因此“十”不能写作“10”。由此可见数学语言的表达都是有特定格式和规范的，处于精确阶段的儿童应该进行这样精确的知识训练。

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