〖摘要〗求平面图形的面积限是定积分概念的起源，也是促使微积分产生的主要因素。在直角坐标系下利用定积分计算平面图形面积，只有选取合适的的积分变量才能使积分算式简单易积，本文总结了计算方法及及技巧，并以几个具体的例子作了解释。

〖关键词〗平面图形面积;直角坐标系;积分变量;定积分

求平面图形的面积是定积分概念的最直接的起源，也是促使微积分产生的主要因素。定积分来源于求面积问题，正是利用求解一些曲边梯形的面积定义出了定积分的概念，所以面积问题反过来又可以利用定积分来求解。虽然用微元法给出了在直角坐标系中平面图形：由直线  及曲线 所围成曲边梯形面积计算公式 ，但由于平面图形的多样性，有些图形需要根据实际图形选择合适的积分变量，才能使积分算式简单易积。为了避免学生在计算过程中少走弯路，本文总结了以下的计算方法和技巧。

一、在直角坐标系下用定积分求平面图形面积的方法

X型：

根据定积分几何意义或微元法可知，由直线  及曲线  所围成平面图形称为X型区域，它的面积计算公式为 。

Y型：

由直线  及曲线   所围成平面图形称为Y型区域（图2），它的面积计算公式为： 。

二、直角坐标系下用定积分求平面图形面积的技巧

根据上面直角坐标系下用定积分求平面图形面积的方法，计算过程应分为以下四步：（1）画图标出曲线交点，确定所求区域;（2）根据区域形状确定属于X型还是Y型;（3）根据相应类型区域写出面积公式;（4）计算定积分。

在上述的计算步骤中，判断区域类型尤为关键，X型区域被积函数是关于 的函数，积分变量是 ;Y型区域被积函数是关于 的函数，积分变量是 ;还有一些复合型区域，采取恰当的划分方式可以使该区域分解成若干个X型或Y型区域。我们遇到的平面图形，经常都是边界线不是很明朗的区域，可以用X型区域方法计算，也可以用Y型区域方法算出，但计算复杂程度差别较大，那如何才能快速判定该区域的类型以使计算过程更简单？

显然，区域划分越少，计算过程越简单，那怎么才能快速判定哪种型是不需要划分的，哪种是需要划分的？这需要我们先来理解不同区域的被积函数确定。

1. X型区域： 的变化范围是一个确定的区域，我们用垂直于 轴的直线从下往上去穿越区域，第一次相交的曲线（下边缘曲线）称为入口曲线，第二次相交的曲线称为出口曲线（上边缘曲线），这时定积分的被积函数等于就出口曲线函数减去入口曲线函数，需要提醒的是需要将曲线函数全部表示成 的形式。

2. Y型区域： 的变化范围是一个确定的区域，我们用垂直于 轴的直线从左往右去穿越区域，第一次相交的曲线（左边缘曲线）称为入口曲线，第二次相交的曲线称为出口曲线（右边缘曲线），这时定积分的被积函数等于就出口曲线函数减去入口曲线函数，需要提醒的是需要将曲线函数全部表示成 的形式。

由此，我们知道，被积函数都是出口曲线函数减去入口曲线函数，出口曲线或入口曲线不统一，就得将区域划分。所以区域划分越少，计算越简单。那怎么才能快速判定哪种区域需要划分呢？我们过区域边界每个交点处分别垂直于 轴和垂直于 轴的直线，观察这些线是否穿越区域内部。如果穿越区域内部，则需要将区域划分;如果未穿越内部，则不需要划分区域，所以要选择未穿越内部的。即如果所有垂直于 轴的线未穿越内部，则判定该区域为X型区域;如果所有垂直于 轴的线未穿越内部，则判定该区域为Y型区域。

三、典型例题

例1计算由两条抛物线 所围成图形的面积。

（1）画图标交点

（2）确定区域类型

区域边界有两个交点 和 ，过每 一个点分别作垂直于 和垂直于 轴的直线。垂直于 轴的两条线都未穿越区域内部，故判定该区域为 型区域;垂直于 轴的两条线都未穿越区域内部，故亦可判定该区域为 型区域。

（3）写出面积的定积分公式

X型：积分变量是 ，用垂直于 轴的直线从下往上穿越，知入口曲线（下边缘曲线）函数是 ，出口曲线（上边缘曲线）是上半支抛物线，函数是 ，所以平面图形面积

Y型：积分变量是 ，用垂直于 轴的直线从左往右穿越，知入口曲线（左边缘曲线）函数是 ，出口曲线（右边缘曲线）是右半支抛物线，函数是 ，所以平面图形面积

（4）计算定积分

例2计算抛物线 与直线 所围成图形的面积。

（1）画图标交点

（2）确定区域类型

区域边界有两个交点 和 ，过每一个点 分别作垂直于 和垂直于 轴的直线。只有垂直于 轴的两条直线都未穿越区域内部，故判定该区域为 型区域。

（3）写出面积的定积分公式

Y型：积分变量是 ，用垂直于 轴的直线从左往右穿越，知入口曲线（左边缘曲线）函数是 ，出口曲线（右边缘曲线）函数是 ，所以平面图形面积

（4）计算定积分

例3计算由双曲线 与直线 及 所围成图形的面积。

（1）画图标交点

（2）确定区域类型

区域边界有 两个交点 和 ，过每一个点分别作垂直于 和垂直于 轴的直线。只有垂直于 轴的两条直线都未穿越区域内部，故判定该区域为 型区域。

（3）写出面积的定积分公式

X型：积分变量是 ，用垂直于 轴的直线从下往上穿越，知入口曲线（下边缘曲线）函数是 ，出口曲线（上边缘曲线）函数是 ，所以

（4）计算定积分

四、总结

本文首先介绍了直角坐标系下定积分计算平面图形的面积公式，由于图形的多样性，需要根据实际图形选择合适的积分变量，才能使积分算式简单易积;接着介绍了直角坐标系下用定积分求平面图形面积的技巧，主要是根据图形运用技巧判定是属于X型还是Y型，从而确定积分变量，同时也给出用定积分计算面积的4个步骤：（1）画图标出交点;（2）根据区域形状确定属于X型还是Y型;（3）根据相应类型区域写出面积公式;（4）计算定积分。这四个步骤中同时提出了通过入口曲线和出口曲线来确定被积函数;最后通过三个典型例题分别具体演示了如何运用本文提到的技巧顺利通过4个步骤求出图形面积。

本文提出了通过区域边界每个交点处作分别垂直于 轴和垂直于 轴的直线，观察这些直线是否穿越区域内部，来判定区域类型。即如果所有垂直于 轴的线未穿越内部，则判定该区域为X型区域;如果所有垂直于 轴的线均未穿越内部，则判定该区域为Y型区域。

总之，本文提出的直角坐标系下求平面图形面积的技巧，能有效帮助学生选定积分变量，顺利用定积分求面积方法计算出正确的结果。

〖参考文献〗

[ 0 ]许志奋.极坐标系下求平面图形面积的技巧[J]·教育教学论坛，2012年5月.

[ 1 ]侯江林.在直角坐标系下平面曲线围成图形面积的定积分计算方法及技巧[J].四川教育学院学报，2006年.S1期.

[ 2 ]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2014年7月·

[ 3 ]朱乃勇，平面区域面积计算中积分变量的选取[J].铜陵职业技术学院学报，2007年第2期.