摘  要：基于矩的图像表示由于其在数学方面的优秀特征，特别是几何不变性和独立性，在图像水印研究的核心条件方面得到了很好的应用。本文全面综述了基于矩的图像水印研究，涵盖了嵌入式水印和零水印的定义扩展方面的最新进展。并在最后提出改进设想，解决零水印方案无法抵御复杂的去同步攻击和高计算复杂性的问题。

关键词：矩；嵌入式水印；零水印；比鲁棒；去同步

1.介绍

随着多媒体技术和互联网的快速发展，数字图像资源以高效存储和管理、快速传输和共享、实时分析和处理等优点成为在公安刑侦、广播电视、新闻、科技、商业、教育、医学等众多领域应用的媒体形式之一。因此，对于数字图像资源的保护越来越重要。在数学上，图像表示的基本思想是将原始图像函数投影到一组专门设计的基函数构成的空间中，并得到相应的特征向量。字典（即基本函数集）的设计被许多研究人员以两种不同的方式进行：手工制作和深度学习[1]。

以卷积神经网络（CNN）为代表的深度学习技术在计算机视觉和模式识别的各种问题上都有很好的表现。基于深度学习的图像表示由多个非线性变换组成，无需人工干预，将原始图像数据直接映射到抽象语义表示（即端到端范式）。但深度学习方法的局限性表现在以下三个方面：1）深度学习的性能，能否提升取决于数据集的大小，因此深度学习通常需要大量多样的数据作为支撑。2）这些方法的时间/空间成本通常是非常高的，这使得它们不能用于时间紧迫的应用程序。3）对几何变换的鲁棒性有限，需要通过数据增强来增强几何不变性，但会以时间/空间复杂度为代价。

对比之下，矩和矩不变量拥有有益的数学特性，在克服语义差距方面表现得更好：基函数的正交性确保了矩集中不存在冗余的信息，从而提高了图像表示的可分辨性；关于几何变换的不变量，可以从矩集得到平移，缩放，旋转和翻转后的图像，这意味着在图像表示中的更好的鲁棒性。本文展示了近年来流行的基于矩的图像水印技术以及零水印技术。

本文的其余部分组织如下。在接下来的第二节中，介绍基于矩的图像水印技术的基本概念，并对现有的方法进行分类。在第三节中，进一步详细讨论基于矩的零水印技术。在第四节中，给出总结，并强调了该领域的一些有前景的方向。

2.嵌入式水印技术

数字水印技术可以在开放的网络环境中，保护版权和认证来源，已成为保护数字媒体和信息安全的重要手段。近年来，鲁棒图像水印技术取得了很大进展，并取得了众多突出的研究成果。鲁棒图像水印领域的关键问题在于构造稳定的几何不变量来抵抗全局几何攻击并提高水印算法的鲁棒性。目前，使用的主要几何不变量包括Fourier Mellin变换、图像度量、Radon变换、直方图、奇异值、等，其中图像矩具有高度稳定的、有效的、不变的图像特征，被广泛应用于图像处理的各个领域， Al-ghoniemy等人在2000年首次在图像水印中使用图像矩，在水印嵌入中实现了7个Hu矩不变量，以确保算法对旋转、缩放和平移（RST）攻击的鲁棒性。在此之后，提出了很多基于图像矩的水印算法。

2.1PHFM

PHFM的径向基函数（RBF）比切比雪夫傅里叶矩（CHFM）、正交傅里叶梅林矩（OFMM）、泽尔尼克矩（ZMs）和伪泽尔尼克力矩（PZM）的径向基功能简单得多。对于相同程度，PHFM的RBF比ZM和PZM的RBF具有更多的零，并且分布更均匀。因此，PHFM不存在信息抑制问题；因此，PHFM的图像描述能力优于ZM和PZM。此外，PHFM的RBF在单位圆中心附近总是小于或等于1.0，而OFMM、PZM、CHFM和径向谐波傅里叶矩（RHFM）的RBF是无限的（意味着数值不稳定）。这表明PHFM可以在图像重建任务中胜过这些矩。实验证明，PHFM在重建图像和识别噪声和各种攻击的旋转不变对象方面优于上述矩。此外PHFM相位在图像重建中使用PHFM的角度估计以及PHFM的精确矩选择中也具有特殊意义。

2.2 QPHFM

图像矩理论主要关注灰度图像，然而随着计算机性能的不断提高，彩色图像能够提供比灰度图像更加丰富的信息，因此彩色图像得到了相关领域研究者越来越受多的关注。对彩色图像矩的研究主要基于彩色图像的颜色空间内的强度或单个通道，这丢弃了特定颜色空间内颜色分量之间的信息和关系。提出了一种新的四元数图像正交矩，即四元数极谐傅里叶矩（QPHFM）。进一步分析了其性质，包括其不变性以及与复PHFM的关系和区别。在提出四元数形式的CHFM[2]（即QCHFM）之后，对QPHFM和QOFMM、QZM、QPZM、QRHFM和QCHFM在图像重建和彩色对象识别中的性能进行了比较实验。实验结果表明，QPHFM具有最佳的图像重建性能，并且在无噪声和噪声条件下，在不变目标识别中表现也更加出色。

2.3 FJFM

基于矩的水印普遍存在稳定性和区别性之间的矛盾，约束了水印效果的进一步增强，毫无疑问，在图像分析等应用领域，经典矩时常作为图像全局特征出现。另外也涌现出数个改进方法，如为了使经典矩可以提取图像局部特征，可以将基函数从整数阶推广到分数阶。最终得到的这类矩可称为分数阶正交矩。受上述思想的启发，Yang提出了一组新的用于不变图像描述的广义分数阶正交矩，叫做分数阶雅可比-傅立叶矩（FJFM），也就是使用分数阶雅可比多项式定义了一组新的一般分数阶正交矩，。另外，还提出FJFM是具有鲁棒性和时频分析能力的。鲁棒性使得FJFM是原有基于雅可比多项式的经典和分数阶UDCOM的通用版本。此番特点为探究FOM定制了标准的数学工具。时频分析能力代表FJFM可以利用转化分数变量的值来修正径向核的零分布。此独一无二的图像特征对化解信息抑制难题以及获得局部特征是有效的。在实际操作中，基于多项式的矩在推算中经常会遇到阶乘和以及伽马项，这或许会造成结果不精确并且计算成本会很高。鉴于这些缺陷，可以转用一个新的递归思路，即准许对FJFM展开高效率的计算。并提供了新的框架，为同时增加图像全局特征的稳定性以及分辨水平。借助FJFM的时频功能来增加图像全局特征的稳定性以及辨别水平，思路是将单独的特征取代为具备每种分数参数的低阶矩连接成一个单独的特征向量。首先，分数参数与FJFM基函数的时域特征相关联。因此联结此类矩将让特征极具分辨性。其次，唯独注意低阶矩，可以确保特征的稳定性。最后还开展了模式识别实验来确认MLMF的合理性与精确性，并把获得的实验结果与当下经典的分数阶以及正交矩进行了对比。

3.零水印技术

传统的嵌入水印方案通过在原始图像中嵌入水印来实现图像的版权保护。这一过程会使原始图像恶化，因此不适用于医学图像、遥感图像和军事图像。若需要在不修改原图像的基础上来构造水印，可以利用图像的重要特征来构造水印信息，而不是修改图像的这些特征，这种不修改图像数据的水印技术被称为“零水印”。零水印很好地解决了不可见数字水印技术的可感知性和鲁棒性之间的矛盾，矩已成为零水印的流行工具。因为矩不变量良好的图像描述能力以及几何不变性。本节将介绍近年来被提出的零水印方案。

3.1 TRHFM

虽然目前对立体图像传统水印技术和平面图像零水印技术已经进行了一些研究。但关于立体图像零水印算法的研究很少。此外，大多数算法没有考虑立体图像的左视图和右视图之间的内在关系，这降低了零水印算法的性能。此外，它们只能抵抗常见的图像处理攻击，不能有效抵抗几何攻击，如旋转和缩放。为了解决上述问题，基于三元数论和径向谐波傅里叶矩（RHFM），Wang等人提出了三元径向谐波傅里叶力矩（TRHFM），并在此基础上提出了一种鲁棒的立体图像零水印算法。在该算法中，TRHFM以整体的方式有效地处理立体图像，这保留了左视图和右视图之间的特殊关系。同时，TRHFM具有良好的几何不变性，将有效提高其抵抗几何攻击的能力。首先计算原始立体图像的TRHFM，并选择适合于构建零水印的鲁棒矩。然后，通过使用所选择的鲁棒矩的大小来构造二值特征图像。最后，在二进制特征图像和置换的二进制标志图像之间执行逐位异或运算以生成零水印图像。实验结果表明，该算法能够有效抵抗常见的图像处理攻击和几何攻击，与其他零水印算法相比，表明了该算法的优越性。

3.2 QPHT

大多数零水印方法仍然存在一些问题。（1）无法有效抵抗几何攻击。（2）用于确保安全性的常规加密方法容易被破解，这导致零水印的安全性不理想。（3）大多数方法适用于灰度图像，但不适用于彩色图像。作为一种图像连续正交矩，极谐波变换（PHT）具有几何不变性和良好的图像描述能力，并已广泛应用于图像处理。Xia等人利用四元数理论和PHT提出了四元数极谐波变换（QPHT），并在此基础上结合混沌映射，提出了一种新的彩色医学图像鲁棒零水印方案。该方案使用QPHT算法构造零水印，增强了抗几何攻击的鲁棒性。此外，使用混合线性非线性耦合映射格（MLNCML）对特征图像进行加扰，以提高方案的安全性。QPHT被应用于彩色医学图像无损水印算法，以增强抗几何攻击的鲁棒性。MLNCML用于增强安全性。并且该方案不对原始医学图像进行任何更改，以确保医学图像的完整性。实验结果表明，该方案对所有常见攻击和几何攻击具有很好的鲁棒性，优于其他无损水印方案。

3.3 QPHFM

零水印方法的研究虽然取得了很大进展，但零水印方案主要是对一幅图像进行版权保护。尽管它可以重复用于许多图像，但重复操作需要大量时间和大量存储空间。然而，在CT图像中，身体的同一部分通常与多幅图像一起采集，因此如何实现对身体同一部分的多幅CT图像的同时版权保护至关重要。在这种情况下，Xia等人使用QPHFM将三幅CT图像视为一个整体，并提出了一种零水印方案，实现了三幅CT图片的同时版权保护。该方案首先将三幅CT图像视为纯四元阵列的三个虚部，计算其QPHFM，然后利用QPHFM的幅度构造特征图像，最后对特征图像进行混沌置乱，然后对特征图像和水印图像进行XOR运算，生成关键图像。该方案同时实现了三幅图像的版权保护，提高了水印系统的效率，节省了存储空间。实验结果表明，该方案能够有效抵抗常见的图像处理攻击和几何攻击，可以很好地应用于三幅图像的版权保护。

4.改进思路与前景

数字水印的主要目的是检测受攻击对象中水印序列的存在，以保护版权。这些对象主要是数字多媒体，数字图像是最常用的载体。嵌入水印技术是一种众所周知的有效的版权保护方法。通过修改载体图像的像素值来嵌入水印序列。这种方法不适用于医疗图像，因为必须保证整个医疗过程的完整性。因此，医学图像的无损版权保护是一个重要的研究课题。零水印方案不是修改载体图像的像素值，而是使用稳定的图像描述符来构造认证数据，并将这些数据存储在可信第三方认证机构（TA）中，以供将来确定版权所有权，所以零水印方案是医学图像版权保护的关键技术，与嵌入水印方案相比具有更好的不可见性。然而，现有的零水印方案仍然存在一些限制，阻碍了其潜力的充分利用，包括无法抵御复杂的去同步攻击和高计算复杂性。为此，可以提出一种基于快速四元数径向谐波傅里叶矩（FQRHFM）的抗去同步攻击的零水印方案。具体而言，就是基于加速鲁棒特征（SURF）算子来构造多个局部特征区域（LFR），并通过使用快速傅里叶变换（FFT）来提供QRHFM的快速计算方法。在每个不完全重叠LFR中计算FQRHFM的大小，以生成多个零水印以抵抗去同步攻击。方案需要实验的验证，包括所提出的方案对各种去同步攻击（例如，平移、裁剪、零填充和长宽比变化）实现的鲁棒性效果，这也是后期需要去做的工作。

参考文献：

[1]L.Zheng，Y.Yang，andQ.Tian，SIFTmeetsCNN：Adecadesurveyofinstance retrieval，IEEETrans.PatternAnal.Mach.Intell，vol.40，no.5，pp.1224-1244， May2018.

[2]Z.L.Ping，R.G.Wu，Y.L.Sheng，ImagedescriptionwithChebyshevFourier moments，J.Opt.Soc.Am.A19（2002）1748–1754，doi：10.1364/JOSAA.19.001748.

作者简介：盛腾（1993—），男，汉族，四川成都市人，助教，计算机硕士，研究方向：多媒体安全、数据挖掘。