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摘要：傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，它反映了满足一定条件的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加这一规律，在数字图像处理中具有广泛的应用场景。本文对于傅里叶变换的原理、分类以及在数字图像处理中的应用进行探究，并分析一些常见的应用示例，对于理解傅里叶变换以及深入学习数字图像处理提供借鉴。

引言——傅里叶变换最初作为热过程的解析分析的工具被提出。随着数字图像处理技术的进步，傅里叶变换可实现图像在时域和频域之间的转化，使图像处理得以在频域进行，为图像处理提供了新思路和新方法。傅里叶变换广泛应用于物理学、应用数学、统计学、密码学、声学、光学等领域。目前关于傅里叶变换的研究主要围绕图像增强与去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩等功能展开，具体表现为某一种傅里叶变换本身的算法优化以及具体应用场景中图像处理环节的辅助方法。目前傅里叶变换还存在一些问题，例如对任意给定的信号，判断其傅里叶变换是否存在。总之，傅里叶变换在数字图像处理的各种应用场景中具有重要意义。

一、傅里叶变换概述

傅里叶变换的概念：将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

傅里叶变换的本质：从纯数学角度来看，将一个函数或函数序列转化为许多个不同频率的三角函数（序列）的和，从而将复杂函数“化繁为简”的过程。从图像处理的角度来看，傅里叶变换将看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦或余弦信号的组合，即不规则信号在三角函数层面的展开[1]。

傅里叶变换的目的：实现声音、图像等在时域和频域之间的转化，便于进行特定的处理。

二、傅里叶变换的分类与关联

傅里叶变换的分类：傅里叶变换种类多样，根据信号的周期性及连续性可分为FS（傅里叶级数），FT（傅里叶变换），DFT（离散傅里叶变换）和DTFT（离散时间傅里叶变换）;根据信号是一维序列还是二维图像可分为1DFT（一维傅里叶变换）和2DFT（二维傅里叶变换）;根据信号的稀疏与否可引出SFT（稀疏傅里叶变换）;对DFT进行算法改进可引出FFT（快速傅里叶变换）;根据时域到频域的旋转角度是否为π/2的整数倍可引出FrFT（分数阶傅里叶变换）。

各种傅里叶变换之间的关联及推导如下：

三、傅里叶变换的应用

傅里叶变换的一些主流应用如下：

①傅里叶变换红外光谱技术（FT-IR）

当连续波长的红外光源照射样品时，样品中的分子会吸收或部分波长的光，未被吸收的光到达检测器。将检测器获取透过样品的光模拟信号进行模数转换和傅立叶变换，得到具有样品信息和背景信息的单光束谱，然后用相同的检测方法获取红外光不经过样品的背景单光束谱，将透过样品的单光束谱扣除背景单光束谱，生成代表样品分子结构特征的红外“指纹”的光谱。由于不同化学结构的分子会产生不同的指纹光谱，可以利用该光谱鉴定材料或进行定量分析。原理图如下：

该方法应用广泛，例如，借助傅里叶变换光谱模型记录油炸前后油样的FT-IR光谱，研究室温下加热和未加热油的饱和度和不饱和度组成，以监测油中的氧化过程以及油炸多次后油质的变化，并评估其对人体的影响程度[2];使用FTIR（傅立叶变换红外光谱）对过滤的采样水进行二维成像，再使用FPA（焦平面阵列）检测器进行分析，焦平面阵列探测器使得n*n像素阵列上的每个像素对应一个独立的红外光谱。然后，通过已知的不同类型塑料的红外吸收性，在反射模式下用micro-FTIR（显微红外光谱仪）分析非红外透明的厚样本，实现地表水中微塑料污染的检测[3]等。

②特征提取与图像识别

对传统傅里叶变换相关方法进行优化，可实现更精确、更迅速、适用性更强的目标检测与识别方法。例如，基于PQFT（四元数傅里叶变换的相位）模型，可对提取到的彩色图像构建颜色通道和亮度通道，用四元数来表示，通过两个标准的复杂快速傅里叶变换计算得到四元傅里叶变换，利用图像的四元表述法，可提取图像中指定的显著特征[4];采用FrFT（分数阶傅里叶变换）与CNN（卷积神经网络）结合的方法，利用FrFT适用于处理非平稳信号的特性，在获取的人脸图像传入CNN进行卷积之前对图像做多通道特征提取的预处理，对不同的空间频率特征集进行消融研究以选出最优组合，可增强人脸识别的鲁棒性[5];针对目前报警泛滥序列相似度测量存在的缺陷，将离散傅里叶功率谱的欧氏距离作为度量，计算不同报警泛滥序列的相似度距离，再通过非加权组平均法获得报警泛滥序列的聚类树状图，根据相似度距离，确定报警泛滥的模式，能够迅速确定异常根源，做出快速响应[6]等。

总结

通过傅里叶变换实现数字图像信号的时频变换，将图像处理中复杂的运算化简，将杂糅的量分离，实质是对图像的特征信号化繁为简，换一个角度审视与解决图像处理问题的过程。

随着图像处理技术的发展以及傅里叶变换相关理论的日益完善，在实际应用中灵活选择不同类型的傅里叶变换方法，有利于提高图像处理的精度和效率。因此，傅里叶变换应用于数字图像处理领域具有重要的研究价值和发展前景。

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