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中图分类号：G4 文献标识码：A

一、问题的提出

随着数学课程改革的不断深化，学生的数学能力要求从“双基”发展为“四基”，课程目标从“三维目标”发展为“学科核心素养”.数学核心素养是指学生通过数学的学习，面对复杂的现实情境和问题时，能够运用特定的数学概念、知识、技能等，用积极的态度、科学的精神去分析问题、解决问题.如何以数学知识为载体，通过适当的教学方法，在教学中对学生进行数学素养的培育，提高学生发现问题、解决问题的能力.这个重要的任务就落在了每一节具体的课堂教学上.如何基于数学核心素养的培育确定教学目标、设计教学过程？笔者以《二项式定理》教学设计为例，来探讨如何在课堂教学中，进行数学核心素养的培育。

二、教材解读

二项式定理是人教版选择性必修第三册第六章第三节的内容，它是代数多项式乘法的推广.这节课安排在排列组合之后，一方面是为了利用计数原理来证明二项式定理;另一方面，二项式系数是一些特殊的组合数，二项式定理是进一步深化对组合数认识.同时，二项式定理是解决整除、近似计算、不等式证明等问题的重要工具，是学习随机变量及其分布、数学期望等内容的基础知识.二项式定理有着承上启下的作用。

本节教学重点：利用计数原理分析二项展开式，得到二项式定理。

本节教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开时各项系数的规律。

三、教学目标

通过对教材内容的分析，笔者认为本节课主要体现了如下的核心数学素养，教学目标确定如下：

1）从实际数学情境中，抽象归纳出二项式定理的具体概念，从中体会从特殊到一般的数学研究方法，从而培育数学抽象素养;

2）从特殊到一般，二项式定理的学习，经历了“归纳-猜想-证明”的过程，培育了数据分析、逻辑推理素养。

3）通过对二项式定理证明过程的探索，感受数学内在的和谐、数学符号应用的简洁。

四、教学设计

创设情境，激发兴趣

问题情境：科学家牛顿在研读《无穷算术》中的两条等式，（a+b）2=a2+2ab+b2和（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3时，发现了（a+b）n展开式的规律.这节课我们也来体验一下这个规律的发现过程。

设计意图：在情境导入这个环节，用牛顿发现二项式定理的历史导入，既能激发学生的学习兴趣，启迪思维，还能让学生感受的数学文化的熏陶，培育数学核心素养。

问题1  （a+b）2和（a+b）3的展开式是怎样得到的？

生：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）（a+b）2=a3+3a2b+3ab2+b3

问题2  （a+b）4展开式是怎样得到？

生1：（a+b）4=（a+b）2（a+b）2=（a2+2ab+b2）（a2+2ab+b2）=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

生2：（a+b）4=（a+b）（a+b）3=（a+b）（a3+3a2b+3ab2+b3）=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

设计意图：多项式乘法法则是推导二项式定理的本源之一，引导学生根据多项式乘法法则探求展开式中每一项的结构及特点，强调运算规则和算法过程的分析，数学运算和逻辑推理素养得到了培育。

2.自主探究，发现规律

问题3：4个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个，从每个容器中取一个球，有多少不同的结果？

问题3 （a+b）4展开式的每一项能否与问题3中摸到的球的组合类比？

生：可以，把a看成红球，把b看成黑球，则4个红球0个黑球就是a4，有个，3个红球1个黑球就是a3b有个，2个红球2个黑球就是a2b2有个，1个红球3个黑球就是ab3有个，4个黑球就是b4有个。

师：请把我们发现的组合数替换掉4次展开式中的系数？

生：（a+b）4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4

师：类比上述展开式，写出2次、3次展开式。

生：（a+b）2=a2+ab+b2，

（a+b）3=a3+a2b+ab2+b3。

设计意图：由特殊到一般的归纳总结，需要大量具体实例的观察和分析.此处设计的取球模型，生动形象的帮助学生了解了an-kbk的特点，帮助学生将多项式乘法法则与计数原理建立了联系，用组合数的形式来表示每一项的系数，并且呈现了很强的规律.这样处理，不仅有利于学生二项式定理的数学概念的意义建构，突破了本节课的重点和难点，同时提升了学生的数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养。

3.定理形成，意义建构

问题4  （）中，你发现了哪些特征？

生：展开式一共有n+1项，每一项的次数和都是n，a的次数从n到0逐次降低，b的次数从0到n逐次升高，每一项的系数分别是，展开式的通项是，它是展开式的第k+1项。

设计意图：认识定理的基本特征，有利于加深对定理的理解.完成这个过程需要对二项展开式进行仔细的分析.由于它不是具体的算式，而是抽象的表达式，需要具备一定的抽象能力，学生在活动中培育了数学运算和数学抽象素养。

5.巩固新知，熟练掌握

当堂达标

1）写出的展开式。

2）求（2a+3b）6的展开式的第3项。

生：通项公式Tr+1= （2a）6-r（3b）r，T3=T2+1= （2a）4（3b）2=2160a4b2

3）写出的展开式的第r+1项。

4）（x-1）10的展开式的第6项的系数是    （    ）

生：根据通项公式，第6项是，它的系数是。

答案选D

5）在（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）（x-5）的展开式中，含x4项的系数是

生：含x4项是由（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）（x-5）的5个括号中4个括号出x，1个括号出常数，因此展开式中含x4项的系数是（-1）+（-2）+（-3）+（-4）+（-5）=-15，即所求系数为-15。

设计意图：在课堂上通过这组题目的训练，学生能熟练写出二项展开式、通项公式，能清晰明确写出具体某项或者该项的系数，同时在过程中培育了学生的数学运算素养。

6.小结提升，画龙点睛

师：本节课的知识点是什么？

生：二项式定理

师：二项式定理在探究过程中体现了哪些数学思想方法？

生：由特殊到一般，类比思想

师：数学核心素养有数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面，本节课哪些素养得到了锻炼提升？

生：主要有数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象这些素养。

设计意图：课堂小结从数学知识、数学方法、数学思想三个方面架构整节课的内容.通过引导学生回顾二项式定理的学习过程，回味了探究问题所采用的方法，让学生再次明确了抽象思维、逻辑推理和数学运算等核心素养得到培育。

五、教学反思

章建跃教授说“从数学知识的发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点.”在制定本节课的教学目标时，本人关键思考相应数学核心素养培育的生长点，研究其如何融入教学过程，把数学核心素养培育落到实处。

1.逻辑推理素养的培育

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.包括两种类型：一是从特殊到一般的推理，形式主要有归纳和类比;二是从一般到特殊的推理，形式主要是演绎.教师引导学生对n=2，3，4三个特例入手，研究它们展开式的共同特征，再思考（a+b）n展开式的特点，类比猜想（a+b）n展开式的形式和特征，探索论证，体验从特殊到一般的探究过程.学生从探究二项式定理的过程中，掌握了特殊化的数学方法和科学研究一般方法，提升了演绎推理能力，从而促进了逻辑推理核心素养的提升。

2.数学建模素养的培育

本节课的难点是用组合知识体现二项式定理展开式的项的系数规律.本节课通过“取球模型”，将二项式定理的展开过程中项的系数与计数模型联系起来，让学生类比理解项的系数就是展开过程中该项出现的次数.这样的探究过程符合学生的认知规律，同时渗透数学建模意识.学生经历了“分析问题-归纳模型-猜想结论-论证猜想”这一完整的建模过程，促进了学生数学建模核心素养的提升。

五、纠错与反思

高中数学作业是巩固课堂教学成果的重要组成部分。写作业也是培育数学核心素养的的重要途径之一。由于高中生学业任务重，因此，教师在布置作业时，需要精选，争取让学生在有限的时间内，让各方面的能力得到最大化的培养。本节课时作业基于精炼的原则，在选题上争取做到考查知识点全面，不累赘，落实数学思想方法。但是，从学生知识获得的心理基础来看，一次作业还是不能有效掌握所有课堂内相关的所有知识点和数学思想方法，还需要多次重复，当然这不是这节课的作业能解决的，需要教师在整个单元、整个学期的作业中进行整体设计。