摘要：数学建模是一种解决数学问题的工具，也是一种思维模式。文章采用PBL 教学模式，以北京天坛圜丘坛的石板排列为例，探究如何将数学建模思想融入到课堂教学中。教学过程中以数学建模核心素养为导向，注重引导学生进行思考，以问题串的形式设置师生活动，学生亲历“情境引入- 提出问题- 建立模型- 求解模型”等教学环节，提升学生的数学思维，培养学生数学建模的能力。

关键词：问题驱动模式；数学核心素养；数学建模；等差数列

1. 引言

《普通高中数学课程标准（2017 年版》（以下简称《课标》1 指出，学习数学建模可提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理、直观想象六大数学核心素养。而其他的几个主题并没有将核心素养全部包括，由此可见，数学建模可以将数学六大核心素养有机地结合起来，有利于学生核心素养的发展。

近些年来，许多学者在中学数学建模方面进行了进一步的深入的探索。石利叶 2 分析了国内中学数学建模及其教学的研究现状和特点；陈呈和王金才 3、钱月凤研究了数字工具在数学建模中的支持与作用，并且根据我国对数字工具的研究现状，提出了我国应该在“数字工具支持下的数学建模”方面的反思与改进 ；叶其孝 阐述了在国内普通高中开展数学建模教育的目的，并且对如何开展中学数学建模教学给出了几条具体的建议；黄丽纯 ; 杨坦 6 以“体重与脉搏”的数学建模为例，探讨如何在一节课内建立数学模型并落实相关的数学核心素养；高中数学建模教学；黄英芬、颜保平、龙红兰 设计了“从应用题到建模问题的回译”这一开发数学建模问题的新思路；王颖喆 8 通过分析数学应用题与数学建模题之间的区别，提出了中学数学建模中应该反思的几个问题；刘亚平、黄晓学 9 尝试结合两道试题的教学片段，总结出如何在数学解题教学中培养学生的数学核心养。张志华，张露10 借助两个旅游景区不同年份游客人次的变化情况，设计教学实践，培养学生数学建模核心素养；王建光，孟春玲 以核心素养为导向，探究“函数的应用”的教学设计策略。

2. 理论基础

2.1 数学建模的思想及其步骤

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型，解决问题的素养。数学建模思想是学习数学的重要思想之一，它对学生感受与理解数学和实际问题之间的联系起着重要的作用，有助于学生解决其他数学问题。

2.2 问题驱动教学模式

问题驱动教学模式又称 PBL（Project-Based Learning method）教学法，起源于 20 世纪 50 年代的医学教育，是一套设计学习情境的教学方法。PBL 教学法以问题为导向，具有以问题为基础、以学生为中心、教师为引导、学生自主学习等教学特点。PBL 教学法强调把学习设置于复杂的、有意义的问题情境中，通过让学习者合作解决真实性（authentic）问题，来学习隐含于问题背后的科学知识，形成解决问题的技能，培养自主学习 （ selfdirected learning） 的能力，有利于数学建模素养的培养。

3. 教学设计与实施

3.1 教学内容

等差数列的概念与等差数列的前项和公式的初步认识与应用。

3.2 教学目标

学生可以在给出的关于天坛石块的排列方式这一实际情境中，从数学的视角发现等差数列，理解等差数列的概念、通项公式的意义、探

索并理解等差数列前项和公式并解决相应的问题。通过发现问题、提出问题、分析问题的过程，体会数学建模的过程，培养数学核心素养。

3.3 教学过程

3.3.1 实际情景

【教学主要过程】

1. 展示北京天坛的图片情景以及相关的历史文化。

2. 结合情境提问，师生互动、引发学生探究问题的兴趣，并思考实际事物与数学的联系。

【实施过程】

情境 1：展示关于北京天坛的图片，从而引出一道有关北京天坛数学知识的高考题。

【设计依据】

PBL 教学模式及数学建模的过程中，需要把学习置于实际教学情境中，通过实际背景引起学生的思考。图片直接展示了天坛的图片，学生可以直观的知道天坛的示意图，了解中国古代灿烂的建筑文化，培养学生对传统文化的自信心。为后面的提出问题做准备。

3.3.2 提出问题

【教学主要过程】

结合情景 1 的实物图片，给出关于天坛的高考题目，设置递进问题串，学生独立思考，培养主观能动性。

通过师生互动，学生逐步理解题目，并调取旧知——数列。

【实施过程】情境2：

北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层。上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌 9 块扇面石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块。则三层共有扇形石板多少块？

教师根据高考题提出以下问题链：

问题1：上层第一环有多少块石块，第二环呢，第三环呢？

问题2：如果上层有环，可以表示出来吗？

问题3：根据上节课所学的内容，上面这串数字我们可以称为什么？

【设计依据】

PBL 教学模式以问题为导向，同时提出问题是数学建模非常重要的一个步骤，好的问题的提出，既可以锻炼学生分析问题、将实际例子抽象成数学知识的能力，又可以引导并锻炼学生的数学应用能力和应用意识。问题 1、2 是对天坛上层石块结构的分析，题目与图片的结合学生可以更加直观的得出答案；问题3 是关键性的一问，学生可以感受到实际生活与数学的联系，感受数学在生活中的应用，而这是数学建模思想需要重点培养了能力。主要培养了学生直观想象、逻辑推理、数据分析的数学核心素养。

3.3.3 建立模型【教学主要过程】

结合高考题目，设置四个思考题目，学生合作讨论完成，培养团队合作精神。

通过师生互动，学生在数学建模的过程中理解等差数列的概念、通项公式的意义、探索并掌握等差数列前项和公式的推导。

【实施过程】

一、等差数列的概念

思考1：观察上面的数列，你有什么发现？

思考2：你能将上面的定义转化为数学语言吗？

二、等差数列的通项公式

思考 3：若只知道每环之间相差块石块，该如何表示相邻两环之间的关系呢？

学生进行小组合作，讨论探究如何表示。小组代表展示成果。

教师继续给出条件：如果都用表示，那么又该如何表示呢？学生表示出式子，教师指出称为等差数列的通项公式。

三、等差数列前项和公式

思考4：若只知道每环之间相差块石块，上层共有多少块石块呢？

思考4.1：如果将每一项都用含和的代数式来表示，该如何表示呢？

思考4.2：那如果用含和的代数式来表示呢？

教师继续深入挖掘高考题的问题——要求上层共有多少块石块，我们应该怎么做呢？要求学生用数学语言表示。

教师总结：上面这个式子我们称为数列的前项和，一般用表示，下面我们一起来探索等差数列前项和的一般式。

提出要求：将每一项都用含和的代数式来表示，该如何表示呢？

提问学生：可以用含和的代数式来表示吗？

先引导学生用含和的代数式来表示。

再由学生小组讨论交流，选取小组进行汇报，如何用含和的代数式来表示。

追问学生将上面两个有关的式子相加并化简，会得到一个怎样的式子呢？学生在草稿本上自行演算。教师引导学生进行归纳化简。

教师总结：我们称为等差数列前项和的一般式。

请学生思考如果用含公差的式子，该如何表示呢？

教师小结：这两个式子都是我们常用的等差数列前项和的表达式，请同学们熟记。

【设计依据】

PBL 教学模式注重学生对问题的自主思考和探究，四个思考问题的提出与解决，可以建立等差数列通项公式和前项和公式的数学模型。模型的建立过程是利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构的过程。培养学生将数学概念抽象为数学语言的过程，就是培养学生数学抽象的数学核心素养。

3.3.4 模型求解【教学主要过程】

通过问题链的形式将复杂的高考题目分解，逐步深入，直至解决题目。

利用前面所学等差数列的相关知识，解决此题，既可以检验学生知识的掌握情况，又可以使学生体会到数学建模的过程实际上就是利用各种数学知识和方法，求解实际问题的过程。

【实施过程】

假设上层为环，引导学生运用等差数列的通项公式，表示出上层每一环石块数量的通项公式。

接着分析中、下层与上层的关系。下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块。学生发现，这其实也是一个等差数列，而且公差也是9。

教师引导学生表示出中层第一环数量、中层通项公式和中层石块总数。

接着学生照上面的步骤表示出下层通项公式和下层石块总数。

教师进行引导学生发现现在唯一的未知数——环数。学生从题中发现有用信息：下层比中层多729 块。

学生自主解答，求出来是9 环。

所以天坛一共有27 环。要求石块总数量即求。

教师小结：同学们，我们已经把题目做出来了，其实这道高考真题也并没有我们想象的复杂。因此在今后遇到难题不要慌张，沉下心来耐心思考，不管题目给出再多的信息，我们都可以将其抽象成数学知识、数学语言，从而解决问题。

【设计依据】

依据 PBL 教学模式的理论基础，问题解决的过程学生应当全部参与，经历了前面的建模过程，学生将求出一个“有意义”的解，所谓的“有意义”是指学生真的感受到了数学的用处，求出了一个可以实际解决问题的解。学生可以切身体会到数学知识在生活中的应用，体会到学习数学并不是无用的，可以培养学生对数学的兴趣及逻辑推理、数学运算、数学建模的数学核心素养。

3.3.5 课堂小结【教学主要过程】

1. 设置两个开放性的问题，全部学生一起交流讨论。

【实施过程】

1. 通过这节课，你有什么收获？

2. 你能说说数学与生活的关系吗？

【设计依据】

课堂小结是开放性的题目，学生可以说说对这堂课的感受，也可以对老师的教学提出相应的意见和建议。可以通过学生的回答，来判断学生对于知识的掌握情况，了解以数学建模思想为背景的课堂模式学生的实际想法，为以后的教学改进提供经验。

4. 结语

与传统的教学设计不同的是，文章将数学建模过程与问题驱动教学模式相结合，以数学建模过程为教学过程的基本脉络，通过一道具有复杂的实际情境的高考题目，以问题驱动的教学模式让学生在实际的问题以及高考题目中发现问题、提出问题、分析问题并求解问题，学生学习了等差数列的相关知识，体会到了数学建模思想，从而提高学生对数学的兴趣，培养学生的核心素养。

参考文献

1. 中华人民共和国教育部 . 普通高中数学课程标准 （2017 年版）[S]. 北京人民教育出版社 ，2018.

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2022 年质量工程重点项目“核心素养视域下基于信息化平台的中小学数学教学技能训练模式的构建”（项目编号20220701078）

宋国良 1997 年 10 月 25 日 男 汉族 硕士研究生 无职务 助教 数学课程与教学论

杨燕华 1997 年 11 月 10 日 女 汉族 硕士研究生 无职务 助教 数学课程与教学论

曾靖宇 2003 年4 月29 日 女 汉族 本科 无职务在读本科生 数学课程与教学论