摘要：通过运用APOS模型，设计了一套适用于高中数学概念教学的案例汇编。APOS模型（Action-Process-Object-Schema）是由杜·戈德宣等人于1985年提出的一种认知理论模型，可以有效地引导学生从感性认识到抽象认识，在数学概念学习过程中起到重要的指导作用。

关键词：APOS模型；高中数学；概念教学

引言

在高中数学教学中，学生通常需要学习各种抽象的数学概念。然而，对于许多学生来说，理解和应用这些概念并不容易。他们可能会陷入直觉和感性理解的困境，无法准确地转化为抽象的数学概念。APOS模型是一种认知理论模型，旨在引导学生从感性认识到抽象认识，并提供了一个框架，可以帮助教师设计有效的数学教学案例。通过在学习过程中引导学生通过行动、过程、对象和模式四个阶段逐步建立概念理解，APOS模型能够促进学生对数学概念的深入理解和灵活应用。

一、APOS模型的概述

行动指学习者在面对学习任务时所采取的操作或行为。通过行动阶段，学习者可以通过观察、实验或模拟等方式积累经验，并建立直观感性的认知。过程指学习者在行动的基础上进行思维加工和认知转化的过程。在过程阶段，学习者通过对实际操作和观察结果的思考，逐步建立起对概念的理解和内化。对象指学习者形成的概念对象或操作对象，既可以是具体的物体或数学形式，也可以是符号、表达式等抽象形式。对象阶段是将过程中形成的认知结构进一步抽象和概括的过程。模式指学习者在通过行动、过程和对象阶段逐步积累经验后，形成的概念模式或认知结构。通过模式阶段，学习者能够将已有的概念整合、扩展和应用到新情境中，形成更为灵活和深入的理解。

二、高中数学概念教学中存在的问题

（一）学生对数学概念的感性认识不足

在高中数学概念教学中，许多高中数学概念具有一定的抽象性，学生往往无法直接通过直觉或感性认识理解这些概念，导致理解困难。对于某些抽象的数学概念，学生缺乏实际应用经验，难以将抽象概念与实际问题联系起来，造成认知隔阂。数学概念可以通过多种表征形式呈现，如符号、图形、文字等，学生可能无法有效进行不同表征形式之间的转化，限制了他们深入理解数学概念。

（二）学生在数学概念转化中存在困难

除了学生在数学概念的感性认识问题外，还存在着学生在数学概念转化方面存在困难的问题。学生可能难以将抽象的数学概念转化为具体的实际问题或实例，从而无法将概念应用于现实情境中，学生可能在面对具体问题时，难以把握其中所涵盖的抽象数学概念，并将其归纳总结为普遍规律或通用模式。符号在数学中起到重要的表示和传递信息的作用，但学生可能在使用和理解符号时遇到困难，难以准确地把握符号与概念之间的关系。

二、基于APOS模型的高中数学概念教学案例设计

（一）行动阶段

在数列概念教学中的行动阶段，可以设计案例：

案例名称：水果摊的水果数量

描述：某水果摊的老板每天早上都会摆放水果，第一天他放了3个苹果，第二天放了6个橙子，第三天放了9个香蕉，第四天放了12个桃子，如此类推。学生可以观察这个数字模式并思考接下来会放什么水果。

活动：学生被分成小组，每个小组需要思考并猜测出接下来几天水果摊老板会放什么水果，然后向其他小组展示他们的猜想。接着，全班一起讨论各组的答案，比较不同的猜想，最终揭晓正确答案。

教学目标：通过实际生活中的案例，帮助学生观察、分析并理解数列的规律性，激发他们对数学的兴趣，培养他们对数列概念的直观认识。

评价方式：可以根据学生的回答和展示情况进行评价，包括考察他们对数列规律的把握程度，以及表达和展示能力等方面。同时，可根据学生的自主学习和合作学习情况，评估其团队合作与沟通能力。

（二）过程阶段

在高中数学教学中，运用APOS模型设计教学案例可以帮助学生更深入地理解数学概念。过程阶段是APOS模型中的重要环节，目的是引导学生通过实际操作、认知过程和抽象对象的转化来建立数学概念的认知结构。在过程阶段的开始，教师可以设计一些实际操作的活动来引起学生的兴趣，同时让他们与数学概念进行互动。例如，针对解二元一次方程组的问题，可以给学生提供一些实际生活中的情景，要求他们利用代数方法进行求解。这样可以帮助学生将数学概念与实际问题相联系，加深对概念的理解。在实际操作的基础上，引导学生进行认知过程，帮助他们思考和分析问题。教师可以提出一些引导性的问题，鼓励学生从不同角度思考，并尝试解决问题。例如，在讨论函数的增减性时，可以让学生观察函数图像的变化，并分析其原因。这样可以促进学生的思维发展，并培养他们的逻辑推理能力。

（三）对象阶段

对象阶段是APOS模型的重要环节，旨在帮助学生建立起对数学概念的认知结构，形成稳定的概念图式。在高中数学教学中，对象阶段的设计至关重要。在对象阶段，教师应重点夯实学生对基础数学概念的理解和掌握。例如，在教学函数的性质时，先确保学生对函数的定义、图像、增减性等基础概念有清晰的认识。只有在基础概念牢固的基础上，学生才能更好地理解和应用高级数学概念。在对象阶段，教师可以引导学生将不同数学概念之间的联系进行归纳整合。例如，在讨论导数与函数的关系时，可以让学生思考函数的变化率与导数之间的联系，帮助他们建立起这两个概念之间的强关联性。通过建立概念之间的联系，加深学生对数学知识的整体理解。

（四）模式阶段

在APOS模型中，模式阶段是帮助学生将建立的对象结构应用到新问题和情境中的关键环节。在高中数学概念教学中，模式阶段的设计可以促进学生真正掌握和应用数学知识。在模式阶段，教师可以设计一些实际问题让学生运用所学数学概念解决。例如，针对函数的应用问题，让学生分析和解决实际生活中的函数关系，并给出相应的数学模型。这样可以帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相结合，提高他们的问题解决能力。在模式阶段，教师可以引导学生将数学知识与其他学科进行整合。例如，在讨论函数和图像时，可以引导学生探讨函数在物理、化学或经济学等领域中的应用，从而拓展数学知识的应用领域。这样有助于培养学生的跨学科综合能力。在模式阶段，教师可以鼓励学生提出自己的解决方法和观点，培养他们的创新思维。例如，在讨论数列时，鼓励学生提出不同的数列生成规则并进行验证，激发他们的好奇心和创造力。这样可以帮助学生形成独立思考和解决问题的能力。

结束语

针对高中数学概念教学，APOS模型为教师提供了一个有益的框架。通过在行动阶段提供实际操作和观察的机会，学生可以建立感性认识；在过程阶段进行思维加工和认知转化，将经验转化为概念；在对象阶段构建稳固的认知结构；最终在模式阶段对所学概念进行整合和应用。总而言之，通过遵循APOS模型的教学设计原则，教师可以更好地引导学生在高中数学概念教学中建立起扎实的认知结构，培养他们的数学思维和解决问题的能力。这将有助于学生在数学学习中取得更好的成果，并在将来的学习和实践中能够灵活运用数学知识。

本文系保定市教育科学“十四五”规划课题《基于 APOS 视域下的高中数学概念教学实践研究》（立项编号：232074）阶段性研究成果。

参考文献

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