大学生体质健康指数数学模型的构建与应用解析

陈淑慧张联富刘云霄

天津体育学院天津 301617

摘要：大学生体质健康指数是反映学生体质健康水平变化的无量纲动态相对数，主要用途是在时间维度上长期反映学生体质健康水平的总变化趋势。本文通过对指标构成、数据形式、表现形式、编制方法、数量权重等方面的分析，建立了大学生体质健康指数的数学模型，并对模型的应用进行了解析。

关键词：大学生; 体质健康; 指数; 数学模型

2010 年 10 月，中共中央国务院印发的《深化新时代教育评价改革总体方案》中明确提出“创新德智体美劳过程性评价办法，完善综合素质评价体系，加强大学生体育评价”的工作要求 [1]。大学体育教育承载着促进学生身心健康全面发展的重要责任，其主要任务是通过体育锻炼强化学生的运动能力、健康行为、体育品德等核心素养，让学生在体育锻炼中“享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志”，树立“健康第一”的生活理念。体质健康水平是大学生的核心体育素养，也是大学体育教育的核心任务，学生各类体育行为和认知的归宿是体质健康水平的稳步提升，因此，体质健康评价成为大学生体育评价的核心内容，也是评价大学体育教育成效的关键要素。本文基于《国家学生体质健康标准》构建大学生体质健康指数数学模型，旨在运用直观、有效的手段对大学生体育素养和高校体育教育活动给予基础性价值判断。

1 大学生体质健康指数的宏观概念

大学生体质健康指数是指反映学生体质健康水平变化的无量纲动态相对数，主要用途是在时间维度上长期反映学生体质健康水平的总变化趋势，具有相对性、平均性、连续性和非衡性等特征，其基本数学表示形式为：

编制指数时应以某年度学生体质健康数据为固定的基期同度量水平，以便于在一个相对较长的时期内观察学生体质健康变化。基期同度量水平定位于数值 100，指数大于 100 时说明报告期学生体质健康水平高于基期，且数值越大表明体质健康水平越高；指数小于 100 时说明报告期学生体质健康水平低于基期。

2 大学生体质健康指数的数学模型

2.1 指数的指标构成

教育部和国家体育总局在 2002 年首次颁布了《学生体质健康标准（试行）》，标志着我国开始试行对学生体质健康的常规性测试与评价，后于 2007 年正式颁布《国家学生体质健康标准》，经 2014 年修订后颁布了《国家学生体质健康标准（2014 年修订）》（以下简称《标准》）并沿用至今，从而形成了一套相对稳定的学生体质健康监测体系 [2]。大学生体质健康指数正是在这个相对稳定的监测体系下对学生进行体育评价的一种手段，《标准》中针对大学生的评价指标如表 1 所示，指标 ¹ 为身体形态指标，指标 2 为身体机能指标，指标 3 至 7 为身体素质指标，指标权重 W 由《标准》确定，固定的指标 j 和固定的权重Wj 使得大学生体质健康指数指标系统得以固化。

指标属性根据评价趋势分为正向指标、逆向指标和区间指标。正向指标的数值越大表明能力越优，以个数、长度、容量等为单位的指标属于该类型。逆向指标的数值越小表明能力越优，以时间为单位的指标属于该类型。区间指标的数值在固定区间内为最优，区间外则对称趋劣，BMI 指标属于该类型。此外，耐力跑（指标 7）指标的常规计量单位是“分·秒”，此单位下的数据格式不便于数学计算，因此，在实际计算中应将其转换为以“秒”为单位的数据格式。

2.2 指标的数据形式

从加工程度上看，用于计算大学生体质健康指数的数据可分为原始数据和评分数据两类。原始数据是指通过测试直接获得的未经加工、转换和处理的指标数据，评分数据是指将原始数据按照《标准》评分表进行计算后得到的指标衍生数据。使用评分数据计算指数的优点是数据已是无量纲线性正向数据，计算过程较为简单；其缺点是（1）存在依赖性，如果更换评分标准则评分数据同步变化，无法保证指数的延续性和一致性；（2）超出评分标准之外的原始数据被忽略，无法完整体现学生水平；（3）评分数据是一种聚类数据，较原始数据粒度增加，导致指数区分度降低。使用原始数据计算指数的优点是能够完整体现各指标的原始信息，数据粒度较细，指数区分度较好，且不受评分标准影响；其缺点是（1）存在量纲，指标数据间不可直接进行比较和计算；

（2）指标属性不同导致计算复杂度提升。

由此，为保证大学生体质健康指数的相对独立性、细节性、全面性和详实性，本文采用原始数据进行指数计算。

2.3 区间指标的一致化处理

正向和逆向指标值均属于单调线性数据，可直接用于指数计算。由于区间指标值的非单调特征，需对其进行一致化处理后方可用于指数计算。张立军等学者在线性综合评价模型中对倒数一致化和减法一致化两种方法进行了对比分析，结果显示倒数一致化方法改变了数据的分散程度，且在数据接近适度值时无法计算倒数，而减法一致化方法不改变数据的分散程度，其评价结果更为稳定和有效，适应性和鲁棒性更强 [3]。

因此，本文采用减法一致化方法对区间指标数据进行一致化处理。

设区间指标数值为 x_i ，最佳区间为 [P，Q]，K 为正常数，本文构建的区间指标减法一致化正向转换函数为：

依据《标准》确定的 BMI 指标最佳区间分别为：男生 P=17.9 ，Q=23.9；女生 P=17.2 ， scriptstyleQ=23.9 正常数K 的取值为P 和Q 的均值，分别为：男生 K=20.9 ，女生 K=20.55

2.4 指数的指标表现形式

根据计算指数时所采用的指标表现形式可将指数分为总量指标指数、平均指标指数和相对指标指数。总量指标指数使用指标的累加值进行对比，主要用于分析总量水平的变动情况，由于指标值存在量纲不能直接相加，因此需要引入同度量因素将不可相加的指标值转化为同量纲的总量指标值，例如产量指数和销售量指数。平均指标指数使用指标的平均值进行对比，主要用于分析总平均水平的变动情况，无需引入同度量因素，例如平均工资指数。相对指标指数使用 2 个相关指标的相对值进行对比，主要用于分析指标间依存关系和对比特征的总变动情况，例如 BMI 指数。编制大学生体质健康指数的主要目的是反映学生群体在各指标上平均水平的变动情况，指标的原始数据总量缺少统计意义，指标之间无依存关系，因此，大学生体质健康指数的指标表现形式应为平均指标指数。

2.5 指数的编制方法

对于含有多个指标的指数，按编制方法的不同可分为综合指数和平均数指数，综合指数是先将指标值综合后再对比形成的指数，平均数指数是先将指标值对比后再进行加权平均得到的指数。根据指标表现形式和数据形式，大学生体质健康指数宜采用平均数指数的编制方法，将对比操作定位于单指标，既有利于分析学生体质健康总变动情况，又有利于分析总变动中各影响因素的变动情况，由于该指数具有稳定的指标结构和固定的权数，更能增强指数的可比性和长期性，还能有效简化计算复杂度、提升计算效率。

2.6 引入数量分组权重

蔡睿等学者在构建国民体质综合指数数学模型时，引入了人口数年龄别结构权重来体现不同人群数量结构变动对指数的影响 [4]。在编制大学生体质健康指数时，既要考虑指数的综合性，又要考虑不同性别、年级、专业或班级等学生数量因素对指数的影响作用，因此可将学生根据分析需求进行分组，这样既可使指数具有多样性和可拆解性，又能满足多层次、多样化的使用需求。第m组的数量权重 D_m 的计算公式为：

2.7 指数数学模型的建立

基于上述分析，可得到如下大学生体质健康指数数学模型的基本结构：

PI 为大学生体质健康指数，m 为分组编号， D_m 为分组权重，j 为指标编号，W 为指标权重，为报告期第 m 组 j 指标均值，xmj 0为基期第m 组j 指标均值，xxmj 1则为个体指数即第 m 组的j 指标指数。

使用该模型计算指数时还应注意区分指标的属性问题，区间指标已经通过上述的一致化方法转换为正向指标，而正向指标和逆向指标的均值对比结果意义相反，不能直接求和。解决该问题虽然可以使用一致化等方法将逆向指标转换为正向指标，但最便捷、高效的方法是倒置逆向指标的对比方式，即使用xxmj 0方式计算逆向指标个体指数。

3 模型应用解析

3.1 指数的应用类型

在实际应用中，可根据不同的分析需求使用大学生体质健康指数数学模型进行灵活多样的指数分析。针对不同的评价对象可形成个体指数和分类指数，个体指数用于反映某一个学生的体质健康变动情况，例如某个学生的个人指数；分类指数用于反映某一类学生的体质健康总变动情况，例如年级指数、专业指数、男生指数、女生指数等，涉及全体学生的指数则称为总指数。选用不同的评价指标可形成单项指数和综合指数，单项指数用于反映学生在某个指标上的变动情况，例如身体形态指数、身体机能指数、身体素质指数、耐力跑指数等；综合指数用于反映学生在所有指标上的整体变动情况。

个体指数和单项指数聚焦单一要素侧重微观评价视角，特点是单一性和直接性，仅反映单一要素的变动而不涉及其他要素，主要用于个性化和针对性的评价需求。总指数和综合指数覆盖多要素侧重宏观评价视角，主要特征是综合性，强调多因素共同作用的结果，能反映复杂问题的整体综合变动趋势。个体指数是构建群体指数的基础，单项指数是构建综合指数的基础，可选择不同的评价对象和评价指标构建多维度、多用途的大学生体质健康指数，其组合模式如表 1 所示。

表 2 大学生体质健康指数组合模式

3.2 指数的编制过程

编制大学生体质健康指数，首先，要确定指数的评价目标和用途，即明确评价对象的范围，选择相应的评价指标，如果所选指标非单一或全部，则还需根据《标准》调整指标权重使其权重和为 1，例如身体素质指数。其次，要选择固定的基期数据，对于个体指数一般选择学生入学年份数据为基期数据。然后，要确定评价对象的分组形式，计算分组权重，由于男女生评价指标有所差异，分组时一般应包含性别因素。最后，使用大学生体质健康指数数学模型计算指数。

下面以某高校 2021 年全体本科学生体质健康测试数据为基期数据，计算2025 年全体本科学生体质健康综合指数，计算过程如下：

（1）确定分组形式：以年级为主要分组依据，由于男女生指标差异，还应在年级分组基础上区分性别，得到的分组数 m=8 ；

（2）按照分组形式，分别计算报告期各分组各指标均值和基期各分组各指标均值；