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【摘要】 《概率论与数理统计》是一门强调实践应用的大学数学类公共基础课程。全概率公式是概率论与数理统计中的重要概念，具有广泛且重要的应用价值。本文以全概率公式为例，从教学角度出发探讨如何引导学生以问题驱动的形式思考和分析问题，并借助于信息化手段实现教学内容可视化，提升学生对全概率公式的理解和应用能力。在教学过程中，适时融入思政元素，践行“三全育人”理念。

【关键词】 全概率公式 概率论与数理统计 教学创新 案例教学 信息化教学

概率论与数理统计是研究随机现象及其统计规律的一门数学学科，其中的统计思想和方法论广泛应用于经济学、工程学、生物学等领域。近年来，在“新工科”“课程思政”“三全育人”及“金课”建设等背景下，已有不少学者探讨了课程的教学改革方法，并取得了较好的效果[1-5]。本课程的教学需要注重培养学生具备处理随机现象的基本思想和方法，以及运用统计方法解决实际问题的能力和综合素质。全概率公式是概率论中的核心概念之一，然而，由于其抽象性，学生在学习过程中往往难以理解其实际意义和应用方法。基于此，笔者以全概率公式为例，遵循教学规律，立足于学生学习兴趣的激发，引入囚徒的智慧、三门问题等实际案例。内容上关联递进，启发思考，以知识背景为脉络，生成全概率公式，这样学生才能深刻领悟其中的思想方法，以此来培养学生的建模意识。同时借助于Matlab等软件进行实验演示，并结合随堂测试和小组讨论，回归到实际问题的解决和拓展，培养创新能力，落实立德树人根本任务。

1 教学背景

1.1学情分析

全概率公式在概率统计中占有重要地位，它实质上是加法公式和乘法公式的综合运用，同时也是后面相关知识学习的基础，起到承上启下的重要作用。学生先修课程中已经掌握了微积分等基础知识，在本门课程中已经学习了条件概率、乘法公式等相关内容。但在面对真实问题时，学生缺乏对数据信息的分析处理能力，难以将实际问题转化为数学模型。需要注意的是，全概率公式本身并不是太难，但是它可以和许多复杂问题联系起来，应用性较强。因此，在讲授该知识点时，需要特别注重对公式的深刻理解和正确应用。

1.2教学目标

（1） 知识目标：理解并掌握划分的定义和几何解释；能够利用条件概率的定义及乘法公式推导出全概率公式，并正确进行运算。在一些简单的实际问题中，能够联想全概率的知识，建立全概率模型。

（2） 能力目标：通过情景案例的引入，学生了解全概率公式的应用场景和重要性；通过教师逐步引导，学生由浅入深分析问题的能力和数学建模能力得以提升；通过小组讨论和案例拓展，学生的信息素养以及创新能力得以提高。

（3） 素质目标：适时融入“思政元素”。通过全概率公式的学习，学生的学习热情得以激发，踏实严谨的学习态度得以培养，全面考虑问题的素养得以训练，思维品质得以优化。引导和鼓励学生深度参与，合作探究，激发他们的创新思维和解决问题的能力，进一步培养社会责任感和使命感。

1.3教学重点

（1） 理解样本空间的划分、全概率公式及其意义；

（2） 掌握全概率公式解决实际问题的一般步骤。

1.4教学难点

（1） 样本空间划分的方法；

（2） 全概率公式的理解和全概率模型的建立。

1.5 设计思路

首先采用案例引入，将囚徒死里逃生的机会设计成取到白球的概率，怎么刻画呢？变量的引入意味着建模的开始，之后设事件、找划分、代数据。并且将特殊推广到一般情形自然过渡到公式的导出和概念的生成。随后将知识应用于实际问题的解决，建立全概率模型并利用数学软件进行数值计算，给出囚徒死里逃生的最大概率。最后介绍经典的三门问题进行思维和能力的训练，并推广到N门问题以及其他衍生模型，从而完成思维的进阶和课堂的延申。如此便形成了“发现问题-提出问题-分析问题-解决问题-拓展问题”的问题链（见图1）。

2 教学过程

2.1 问题引入

案例：有一个聪明的囚徒被国王判了死刑，国王给了他一个免死的机会：将50个白球和50个黑球混装在两个瓶子里，并蒙上他的眼睛，让他任选一个瓶子，并从中任取一个球。若取到白球，则免他一死。但是蒙上眼睛之前，让他自己决定怎么分配这100个球。那么，如何放球才能使囚徒死里逃生的机会最大呢？假如采用这样的方案：一个瓶子里放5个白球，20个黑球，另一个瓶子里45个白球，30个黑球。任选一个瓶子，并从中任取一球。那么取到白球的概率是多大？

意图：创设情景案例，激发好奇心。训练学生数学建模意识和由浅入深的思维习惯，使学生初步理解全概率公式的应用背景。

2.2 新知探索

从数学的角度追根溯源，基于问题需求，引导学生思考并挖掘全概率公式的具体内涵，逐步“生成”全概率公式和划分的概念。引导学生由“特殊”归纳出“一般”的数学思维，揭示全概率公式的本质，实际上是以概率为权重的加权平均值：

全概率公式是一个求复杂结果的公式，我们可以先找到导致结果发生的每个原因或途径，而在不同原因下，求该结果发生的条件概率就简单了。这样就把一个复杂问题化整为零，分而治之，各个击破。而在由因导果的过程当中，需要全面考虑，把原因找全，再分类讨论。这也是全概率公式中“全”的意义所在。教师以“曹冲称象”“不规则图形的面积之和”“微元法求曲边梯形面积”等素材引经据典，刻画本质，化繁为简，梳理步骤。从不同角度解释公式的本质，诠释基于教材又高于教材的道理，使学生易于接受，化解本节课的教学难点。学生跟随思路，正确理解，构建思维，习得要领，为后续分析和解决实际问题打下基础。

2.3 问题解决

在引例问题中，通过“设事件、找划分、搜数据、找全概”的解题步骤，可求得当前方案囚徒生还几率为0.4。提问并引导学生利用所学知识分析哪种方案，最终取到白球的概率最大呢？注意在这个模型中，两个权重是保持不变的，而两个条件概率是可控的。我们可以采用信息化手段进行数值计算，比如可以利用Excel调配参数（见图2）。让第一个瓶子里留一个白球，保证第一个条件概率为1；同时另一个条件概率尽可能地增大，即其余的49个白球跟50个黑球都放到第二个瓶子里，使得第二个条件概率为49/99，接近0.5，于是最后的全概率接近0.75，这是囚徒能把握的最大的死里逃生的机会。鼓励学生也可以借助于Matlab等其他数学软件求模型的最优解，结果是一致的（见图3）。

辅以数值计算的同时进行思政教育。为了达到一个最优的全局效应，一方面要“扬长”，保证一个条件概率最大为1，另一方面尽可能地“补短”，尽量提高另一个条件概率的值。这样的道理，大到国家的总体规划，再到企业发展，人才引进，团队协作，小到孩子的教育，个人的全面发展，都是全概率公式所揭示的道理。

2.4 练习拓展

三门问题是概率论中的经典问题，源于美国的一档电视节目，问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔。有三扇门，其中一扇门背后是汽车，另两扇门背后是山羊，当你选择一扇门，知道门后秘密的主持人打开了另一扇有山羊的门。这时主持人问你要不要换另一扇门，那你换还是不换？利用全概率的思想来分析和解决这道经典问题，完成对学生能力的验收。

如果不换门，也就是最初选择一扇门中奖的概率为1/3。如果换门，“中奖”的结果记为A，“首次选羊”和“首次选车”分别记作B1和B2，也就是找到一个划分。易知P（B1）=2/3，P（B2）=1/3。那如果首次选的是羊，那么知道门后秘密的主持人会排除掉一扇错误的门，这时换门必得车，即P（A|B1）为1。如果首次选的就是车，那无论主持人怎么排除，此时换门肯定不中奖，即P（A|B2）始终是0。将这些数据代入全概率公式，便可以得到换门后中奖概率为2/3。所以站在理性的角度，当然换！

在教学中可以利用Matlab软件的直观演示功能，随机模拟统计出每10万次重复试验中，换门前后对应的中奖频率。并且一共进行了100次，可以直观看到换门前后的中奖频率的动态演示，分别稳定在1/3和2/3附近（见图4），与逻辑推理结果吻合。引导学生在思考、分析与计算结果中体会其中所蕴含的概率思想、统计规律及其实际应用，引导学生更深层次把握知识本质的同时实现知识、技能、思想、方法的一体化认识。

【拓展】如果三门问题中，主持人和我们一样也不知道门后情况，那么换门是都还会增加中奖几率？如果囚徒的智慧问题中瓶子改成3个，那么最后取到白球的概率又该如何计算呢？要求学生利用全概率公式求解以上问题。并且继续引发思考，如果最后取到了白球，问它来自于1号瓶的概率又是多少？通过对拓展问题的思考分析和求解，完成对知识目标、能力目标、素质目标的全方位训练和塑造，也进一步为贝叶斯公式的学习做好铺垫。

3 教学反思

3.1 信息化教学工具的助力

“概率统计”是一门密切联系实际问题的课程，在教学过程中应注重培养学生数据分析软件的使用能力。很多的数据可视化图形可利用Excel、Matlab、Python、R软件等实现，有助于学生更好地理解知识的原理，并培养学生信息化意识，以及数据处理能力和计算能力。

教学过程中，利用学习通平台发布随堂测试、主题讨论和投票等教学活动，实时收集学生的反馈信息，调整教学进度和内容，充分发挥线上线下两种形式的教学优势。通过平台的数据分析功能，教师可以了解学生的学习情况，及时进行个性化辅导。使用希沃白板软件实现“随讲随练，随问随答”的互动教学模式，增强学习的互动性和趣味性。

3.2 数学建模与案例教学的积累

概率统计课程的“教”与“学”是一个相互促进的过程。教学中应重视案例教学的积极意义，并在生活中不断地思考、收集相关素材。以学科前沿和实际问题两大类案例进行驱动，

既满足学生考研继续深造的需要，又能保证就业与专业的有效衔接。让学生深度参与，合作探究，并将考试和过程化考核相融合，纳入评价体系，激发学生的自主学习意识，进一步培养学生合作、交流、创新的能力，并增加学生对课程的认同感和、参与感和获得感。

结语

“大数据”的时代背景，对概率统计课程的教学提出了更高的要求，同时也带来了很多 的机遇。如何将生活中丰富的数据巧妙地融入教学案例并合理地应用于教学过程？如何将相关的思政元素无声地载入数学知识并恰当地发挥出育人功效？这些都是值得我们深入探讨和研究的重要课题，我们的教学方法也将以需求为引导，与时俱进，持续地迭代更新。

参考文献

[1] 赵春香. “三全育人”背景下概率统计课程的教学案例——以“贝叶斯公式”为例[J]. 科技风， 2024， 30： 26-29.

[2] 崔恒建， 郭文雯. 基于数学建模和案例分析的“概率统计”教学[J]. 数学建模及其应用， 2024， 13（04）： 118-122.

[3] 陈纪惠. 概率统计模型的教学应回归数学建模的本质——以“二项分布”为例[J]. 福建教育学院学报， 2024， 25（09）： 33-36.

[4] 周宗好， 王佳佳. 基于MALAB的概率统计实验教学探析[J]. 黄山学院学报， 2023， 25（05）： 107-111.

[5] 温鲜， 霍海峰， 庞建华. 新工科背景下概率统计课程改革的研究与实践——以广西科技大学概率统计教学团队为例[J]. 延边大学学报（自然科学版）， 2025， 51（01）： 137-141.

基金项目：本文系陕西省本科和高等继续教育教学改革研究项目（项目编号：23BY056）和陕西科技大学本科教育教学改革研究项目（项目编号：23Z029）的研究成果。