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摘要：近年来，人类工程领域所运用的科学技术不断的更新和创新，新材料和新技术不断采用，进而使工程的计算量不断增大，使得人们对新的更加有效率和精确的方法更加渴望，而且孔隙材料的力学性能的研究，一直受到很多学者的关注。由Ghosh和Sankar基于杂交应力有限元法的基本原理于二十世纪提出的Voronoi单元有限元法，与其它边界元法和有限元法相比较此方法更加简单、有效和精准。孔隙材料应力主要集中在孔洞周围，voronoi单元有限元适应性较其他有限元略强，孔隙材料单元越密集计算结果越精准。本文基于voronoi单元有限元法对孔隙材料进行科学有效的力学分析，并与Marc有限元软件建立模型进行对比，验证了voronoi单元有限元法的可行性、精准性。

关键词：孔隙材料  voronoi单元有限元法  Marc

前言

孔隙材料是自然界和人类生活中十分常见的材料，比如泡沫，蜂窝，混凝土等。随着现代科学的发展和进步，人类可以制造出许许多多有对于社会发展具有重要意义的孔隙材料，比如说各种各样的合金金属，陶瓷和钢化玻璃的孔隙材料，这些材料由于具有良好的隔音，隔热，减震效果，被广泛运用于航空航天，汽车，机械，建筑，包装等工程领域。

孔隙的存在会改变材料的力学性能，国内外学者对孔隙的存在问题进行了广泛而又深入得研究。陈杨[1]通过将颗粒增强复合材料的部分研究方法运用到对孔隙材料的研究中，通过数值方法研究了孔隙材料在等体积变形下的等效剪切模量，并通过计算发现了等体积双轴变形下的宏观力学行为可由纯剪切变形下的等效剪切模量预测，最后还计算得到了孔隙材料在等体积变形下的应变能函数。李莉、薛勇[2] 以一些粉末的用来冶金的材料为背景，导出了各向同性多孔材料的加载函数、不相关势和流动规律，这对孔隙材料塑性加工过程的数值分析起到了一定的促进作用。李乐[3]基于混凝土、岩体在外荷载和其他侵蚀环境里的会形成裂纹网格，从而创建出了拥有裂纹连通的多孔材料的渗透性的细致力学模型，并验证了该模型对不同种类裂纹网络的适用性。Y.J. Cao等人[4]开发了一种数值均匀化分析方法来描述一类多孔材料的有效弹性和塑性特性，这两种材料具有两个不同尺度的孔隙。微观尺度的固相由Drucker-Prager标准描述。利用解析塑性准则对微孔隙多孔基体的有效塑性准则进行了研究。通过建立基于快速傅里叶变换（FFT）的数值计算方法，研究了均匀多孔介质中孔隙率的影响。利用该两步均质化方法，进行了一系列数值计算。特别研究了两种孔隙率对给定总孔隙率下宏观弹性性能和塑性屈服应力的相对作用，并与现有的解析解进行了比较。

1、Voronoi有限元法基本概论

Voronoi[5]单元有限元法是二十世纪由Ghosh和Sankar基于杂交应力有限元法的基本原理提出的，杂交应力有限元法是基于最小余能原理，单元公式可以由修正的Hellinger-Reissner变分原理[6]推导得到，与一般位移有限元法相比其优势主要在于构造位移场插值函数时是沿单元的边界进行构造，针对节点数不同的多边形单元，插值函数很容易得到，采用应力杂交元法对应力场进行数值计算时，每个单元的边数不受限制，于是解决了传统位移有限元方法在插值多项式边数大于4时的局限性。

1.1 公式推导

假设孔隙材料无内压

2、孔隙力学分析

2.1算法一

应用VCFEM软件和Marc Mentat以圆心为（0，0）半径0.2mm，四个节点分别为（-1，1） （-1，-1），（1，-1），（1，1）围成1x1mm正方形板，且两个软件的左边X方向、Y方向上下固定限制，只有X方向右边设有可以向右拉伸，以孔隙材料绘制的关于X Y方向的法向应力分布图及空隙材料的位移情况。

图2是固定了三条边，然后一条边拉伸的边界条件且有262个节点，单元有464个，都是使用2×2mm正方形（杨氏模量：73000 泊松比为：0.33）

图1是Marc绘制的三角形网格，而图1是在绘制两个对比图时所设的边界条件，且左侧，上下两侧为固定的边界。

对比图3可知X方向的应力主要集中在靠近孔洞的上下端，且越靠近孔洞越大并且是最大，而孔洞两侧的应力是由最小应力向外扩散逐渐增大。由图4可知Y方向的应力是成十字从外到孔洞逐渐增大应力，并靠近孔洞应力增大，相反，在十字的个个偏角上是从小应力逐渐扩大后又减小。

图5 VCFEM可知从逆时针看靠近孔洞右下方的切应力最大集中在孔洞附近且接着孔洞附近切应力减小，孔洞除靠近孔洞的切应力变化，其他位置的切应力是均匀分布的。

3、结论

（1）voronoi单元有限元相较于MARC有限元软件，voronoi单元有限元可以用比MARC有限元软件少的单元计算出更为精准的结果，充分说明了voronoi单元有限元模拟孔隙材料问题的精准性和高效性。

（2）孔隙材料单元越密集计算结果越精准，孔隙材料应力集中在孔隙周围。

（3）voronoi单元有限元适应性较普通有限元强。

（4）孔隙的个数和位置分布对材料的整体应力影响较大，会改变材料的力学性能。

参考文献

[1]. 陈杨. 颗粒增强复合材料有限变形下本构建模[D].重庆大学，2017.

[2]. 李莉，薛勇.孔隙材料宏观塑性模型及其研究进展[J].科技创新与生产力，2012（03）：93-95+99.

[3]. 李莉，薛勇.孔隙材料宏观塑性模型及其研究进展[J].科技创新与生产力，2012（03）：93-95+99.

[4]. Y.J. Cao， W.Q. Shen， J.F. Shao， N. Burlion， Influences of micro- pores and meso-pores on elastic and plastic properties of porous materials. European Journal of Mechanics - A/Solids. 2018， 72： 407-423.

[5]. 王挺，张蕊，郭然.含界面相Voronoi单元等效弹性常数的计算[J].固体力学学报：1-15[2021-05-10].https：//doi.org/10.19636/j.cnki.cjsm42-1250/o3.2021.006.

[6]. 王家林，张俊波，何琳，陈卓.一类指定应力问题的变分原理与应用[J].应用数学和力学，2021，42（04）：331-341.

作者简介：渠红杰，女，2000年9月生，汉族，山东省莘县，高中，云南农业大学机电工程学院工业工程2018级学生，研究方向：计算固体力学.

通讯作者：李欢。