打开文本图片集

摘要：按照我国现行设计规范，混凝土结构的设计方法是让结构在多遇地震下处于弹性阶段，各构件截面不可屈服，再辅以结构在罕遇地震下的弹塑性层间位移验算，使结构在罕遇地震下不发生整体倒塌。结构弹塑性阶段的验算有多种方法，但主要是依靠电算;电算高效而准确，但无法选择结构破坏模式，也无法深刻理解结构的承载状态。本文介绍一种手算方法，即塑性铰法，通过计算各构件截面的承载力，选择特定的结构破坏模式，确定结构处于极限状态时各构件的内力分布，以计算结构的极限荷载。结合一混凝土框架结构算例，按塑性铰法计算出结构的极限荷载，并与弹性方法的结果进行比较，可明确结构在进入弹塑性阶段后的承载潜力和荷载裕度。

关键词：弹性阶段;弹塑性阶段;塑性铰法;极限荷载

1  概述

混凝土结构是我国主要采用的结构类型之一，被广泛应用于工业建筑、民用建筑、构筑物、桥梁、隧道等，随着时代发展，混凝土结构的计算和设计方法也不断更新、补充。按照我国现行设计规范，及大多数设计单位所采用的设计方法，混凝土结构的设计是让结构在多遇地震下不破坏，处于完全弹性阶段，截面尺寸选择及配筋均是在这个阶段完成的;再使结构在罕遇地震下不发生整体倒塌，具体是通过结构弹塑性层间位移验算来实现的。《建筑抗震设计规范》GB 50011-2010给出了各种混凝土结构的弹塑性层间位移角限值。由于结构处于弹塑性阶段时，结构计算较为复杂，而且涉及很多知识及计算参数取值，这对设计人员的素质和水平提出了很高的要求。就实际来看，结构作弹塑性计算通常是靠有限元软件来完成的，将结构参数准确输入模型，即可得到可输出的计算结果，可靠且高效。但电算不利于清楚把握结构状态，理解结构行为，对于某些特定的设计或计算，如使用力学原理、概念等，电算不够灵活，需要手算来实现。本文主要介绍结构力学中讲述的塑性铰法，用其来计算结构处于极限状态时的极限荷载，以对结构在塑性阶段的承载潜力加以了解。

2  塑性铰法求解构件极限荷载

2.1 塑性铰

对于承受弯矩的混凝土构件，随着荷载不断增大，构件某些截面承受的弯矩超过抗弯承载力Mu后，截面逐渐开裂并发生塑性转动，且截面弯矩不再随着增大，而是传递给其它截面，这些发生转动的截面就是塑性铰。塑性铰之所以称为铰，是因为其可以转动，但它不同于一般意义上的铰：塑性铰的转动能力是有限的，转角受截面曲率延性的限制;塑性铰只发生单向转动，而不像一般的铰可以发生双向转动;塑性铰截面承担的弯矩不为0，而是截面的极限弯矩Mu。

当荷载不断增加时，塑性铰截面继续转动，截面处的弯矩可认为仍为Mu，荷载产生的弹性弯矩和剪力随着塑性铰截面的转动逐渐传递到其它截面，此过程称为内力的重分布。这里的内力重分布是一个过程：塑性铰不断转动，由塑性铰承担的内力逐渐释放给未屈服的截面，内力重分布可使构件内力分布趋于均匀。当新的塑性铰产生使得构件成为机构，构件即告破坏。

应指出，塑性铰的转动能力是有限的。塑性铰截面的转动能力受截面曲率延性μϕ的影响，当构件塑性铰截面不断转动时，转动能力一直在下降。《混凝土结构设计规范》GB 50010-2010规定，钢筋混凝土梁支座或节点边缘截面的负弯矩调幅幅度不宜大于25%;钢筋混凝土板的负弯矩调幅幅度不宜大于20%。可见，考虑塑性对结构承载力的提高是有限的。

2.2 按塑性铰法计算混凝土梁的极限荷载

（1）有一钢筋混凝土梁，两端固定，梁上作用有均布线荷载q，q值从0逐渐增大到极限荷载qu。梁长度为L，截面抗弯刚度为EI，梁截面极限弯矩为Mu，现分析该梁，并计算梁可承受的极限荷载qu，这里不考虑塑性铰的转动极限。如图2.2.1所示。

当梁处于完全弹性阶段时，根据结构力学原理，可求得梁支座负弯矩为-qL2/12，梁跨中弯矩为qL2/24。当荷载q逐渐增大时，梁两端支座截面屈服，开始产生塑性铰，塑性铰截面弯矩为梁截面极限弯矩Mu，此时对应的荷载为梁的屈服荷载qy，见图2.2.2。由于此时梁刚好处于弹性极限状态，梁弯矩可按弹性计算，则Mu=-qyL2/12，略去负号，qy=12Mu/L2。

随着荷载继续增大，塑性铰不断转动，梁左右两端弯矩保持Mu不变，而跨中弯矩不断增大。实际上，此时塑性铰处弯矩随着塑性铰转动释放给跨中截面。当跨中截面也产生塑性铰时，塑性铰截面弯矩为Mu，此时梁恰好处于塑性极限状态，此时对应的荷载为梁的极限荷载qu，见图2.2.3。根据结构力学对塑性铰法的约定，此时由梁荷载q产生的弯矩分布仍可按弹性计算。根据结构力学方法，2Mu=quL2/8，则qu=16Mu/L2。

将梁的屈服荷载qy（弹性极限荷载）与极限荷载qu对比，qu/qy=4/3，知qu相对于qy增大了33.3%。由此可知，考虑塑性后该梁的荷载裕度为33.3%。

（2）有一钢筋混凝土梁，一端固定，一端铰接，梁上作用有均布线荷载q，q值从0逐渐增大到极限荷载qu。梁长度为L，截面抗弯刚度为EI，梁截面极限弯矩为Mu，现分析该梁，并计算梁可承受的极限荷载qu，这里不考虑塑性铰的转动极限。如图2.2.4所示。

当梁处于完全弹性阶段时，根据结构力学原理，可求得梁支座负弯矩为-qL2/8，梁跨中弯矩为qL2/16。当荷载q逐渐增大时，梁左端支座截面先屈服，开始产生塑性铰，塑性铰截面弯矩为梁截面极限弯矩Mu，此时对应的荷载为梁的屈服荷载qy，见图2.2.5。由于此时梁刚好处于弹性极限状态，梁弯矩可按弹性计算，则Mu=-qyL2/8，略去负号，qy=8Mu/L2。

随着荷载继续增大，塑性铰不断转动，梁左端弯矩保持Mu不变，而跨中弯矩不断增大。实际上，此时塑性铰处弯矩随着塑性铰转动释放给跨中截面。当跨中截面也产生塑性铰时，塑性铰截面弯矩为Mu，此时梁恰好处于塑性极限状态，此时对应的荷载为梁的极限荷载qu，见图2.2.6。根据结构力学对塑性铰法的规定，此时由梁荷载q产生的弯矩分布仍可按弹性计算。根据结构力学方法，0.5Mu+Mu=quL2/8，则qu=12Mu/L2。

将梁的屈服荷载qy（弹性极限荷载）与极限荷载qu对比，qu/qy=3/2，知qu相对于qy增大了50%。由此可知，考虑塑性后该梁的荷载裕度为50%。

由以上可知，梁构件可承受的极限荷载与梁两端的约束情况有关;实际上，极限荷载还与荷载形式、截面刚度、截面配筋、梁跨度等因素有关。实际计算中，梁截面的转动能力（曲率延性）与配筋状况关系最为直接。截面转动时，梁中和轴不断下移，直到中和轴位于梁的界限受压区高度ξbh0，此时梁截面的转动能力已耗尽，曲率延性μϕ=1，可认为此时梁截面已到达塑性极限状态。

2.3 按塑性铰法计算混凝土柱的极限荷载

（1）有一钢筋混凝土柱，上下两端固定，柱上作用有均布线荷载q，q值从0逐渐增大到极限荷载qu。柱计算长度为H，截面抗弯刚度为EI，柱截面抗剪承载力为Vu。现分析该柱，并计算柱可承受的极限荷载qu，这里不考虑塑性铰的转动极限。如图2.3.1所示。

此时柱的计算简图与2.2.1节梁基本相同，柱由弯曲破坏控制的极限荷载同2.2.1节梁。现考虑当柱由剪切破坏控制时，对应的屈服荷载与极限荷载。

当柱处于完全弹性阶段时，根据结构力学可求得柱上、下两端剪力为Vt=-qH/2，Vb=qH/2，见图2.3.2。当柱荷载增大至qy时，柱上、下两端剪力均达到截面抗剪承载力Vu，可知Vu=qyH/2，则qy=2Vu/H。

若进一步增加荷载q值，柱上下两端截面剪力继续增大，会超过截面的抗剪承载力，假设当荷载增至极限荷载qu时，柱发生脆性剪切破坏，见图2.3.3。此时，柱两端剪力V=Vu=quH/2，qu=2Vu/H，可知柱的屈服荷载qy与极限荷载qu相同，意味着该柱屈服状态即是极限状态，该柱剪切屈服后不会发生剪力重分布。

（2）有一钢筋混凝土柱，上端铰接、下端固定，柱上作用有均布线荷载q，q值从0逐渐增大到极限荷载qu。柱计算长度为H，截面抗弯刚度为EI，柱截面抗剪承载力为Vu。现分析该柱，并计算柱可承受的极限荷载qu，这里不考虑塑性铰的转动极限。如图2.3.4所示。

此时柱的计算简图与2.2.2节梁基本相同，柱由弯曲破坏控制的极限荷载同2.2.2节梁。现考虑当柱由剪切破坏控制时，对应的屈服荷载与极限荷载。

当柱处于弹性极限状态时，柱下端出现塑性铰，塑性铰截面剪力V=Vu，见图2.3.5。根据结构力学可求得柱上端剪力为Vt=-3qyH/8，Vb=5qyH/8=Vu，则qy=8Vu/5H。随着荷载继续增大，塑性铰发生塑性变形（同时裂缝开展），塑性铰截面的剪力不断释放给其它截面。当柱荷载增大至qu时，柱到达极限状态，柱上、下两端剪力均达到截面抗剪承载力Vu，见图2.3.6。可知Vu=quH/2，则qu=2Vu/H。

将柱的屈服荷载qy与极限荷载qu对比，qu/qy=5/4，知qu相对于qy增大了25%。

由此可知，考虑塑性后该柱的荷载裕度为25%。

3 按塑性铰法计算混凝土框架结构的极限荷载

3.1 框架结构破坏机制

混凝土框架结构中主要结构构件为框架梁、框架柱，塑性铰可出现在梁、柱两端及跨中。按规范所确定的作用于结构上的地震作用，实际上并不是最大的。地震观测和动力分析计算表明，结构上实际的地震作用可能要比规范确定的大得多。但是地震作用如定得过大，会大大增加抗震设防投资;过小，又不能保证一定的可靠度。规范所确定的地震作用效应往往是考虑了上述两方面的技术政策上所能接受的最小作用效应。对于其可能超出的部分由结构中某些部分形成耗能机构来吸收和耗散能量作为补偿。

框架结构是一个高次超静定结构。如果允许某些部位出现塑性铰而不产生构件的局部脆性破坏，那么框架结构在强地震作用下就成为具有较大变形能力的结构，可通过结构的变形来吸收和耗散能量，从而降低结构的地震反应，使地震作用得到控制，为结构提供经受强烈地震、防止倒塌的能力。所以，框架结构必须假设在设防烈度地震发生时，结构物的某些部分钢筋会屈服，能形成具有足够转动能力的塑性铰，以保证结构具有足够的延性。

当框架结构中的塑性铰达到一定数量时，结构会出现屈服现象，即承受的地震作用不再增加或增加很少，而结构变形迅速增加。如果结构能维持承载力而又具有足够的塑性变形能力，就是延性框架。框架结构的位移由各个杆件的变形构成，此处，位移系指框架顶点的水平位移。当各个杆件都处于弹性阶段时，结构的变形也是弹性的。杆件屈服后，结构就出现塑性变形。在地震作用下，首先进入屈服的构件称为主要耗能构件。这些构件在屈服进展过程中受其它处于弹性的构件约束，这一阶段称为有约束屈服阶段。抗震设计就是要设法延长这一阶段以提高结构的抗震性能。这个由弹性阶段到有约束屈服阶段（弹塑性），再到无约束屈服阶段（完全塑性），直到最后破坏的过程就是框架结构在地震作用下表现的全过程。

塑性铰可能出现在梁上，也可能出现在柱上。因此，梁柱都应有较好的延性。框架结构的屈服机构有两种基本类型：柱铰机构和梁铰机构。其它机构均可由这两种机构组合而成，如总体屈服机构（理想的屈服机制）就是以上两种机构的组合。

梁铰机构是指框架在地震作用下，全部梁先于柱屈服，然后才是底部柱屈服，成为“强柱弱梁”型框架。见图3.1.1。

柱铰机构是指框架在地震作用下柱先于梁出现塑性铰，导致某一层或几层楼层发生侧向整体屈服，成为“弱柱强梁”型框架，见图3.1.2。

比较上述两种破坏机构可以看到，梁铰机构的塑性铰数量多于柱铰机构。梁铰机构的层间位移沿竖向分布比较均匀，而柱铰机构不仅层间位移分布不均匀，而且薄弱楼层处存在着塑性变形集中。所以，不论从超静定次数、结构延性和耗散能量哪个角度来评价，梁铰机构的抗震性能优于柱铰机构。

以受弯为主的梁，屈服耗能多，滞回环饱满而稳定。以受压为主的柱，耗能少，滞回环狭窄，要求柱子具有较高的延性不易达到。此外，建筑物倒塌的最直接原因是柱子竖向承载力的降低。柱端出现塑性铰，其竖向承载力就会降低，当承载力下降到低于柱所应担负的轴向力时就会危及整个结构的安全，因此设计时应选用梁作为耗能构件。

总体屈服机构是指当梁端出现塑性铰后，柱端也开始出现塑性铰，由于梁、柱配筋较为适当，梁端屈服成为静定结构后，梁跨中弯矩逐渐增大，同时各柱端塑性铰也转动，分担了梁荷载，梁不致于迅速成为机构构件。当某柱出现最后一个塑性铰时，框架结构成为机构，而其它柱、梁也接近塑性极限状态。由于产生塑性铰数量最多，总体屈服机制的耗能能力最强，几乎将各构件的塑性性能全部发挥出来。因此框架结构设计时宜采用总体屈服机制。见图3.1.3。

由国内外多次震害经验中认识到，为使建筑物在地震时免于严重破坏和倒塌，结构中构件发生强度屈服的顺序应该是：杆件先于节点;梁先于柱;弯先于剪;拉先于压。亦即框架结构的破坏历程应该是：梁、柱杆件的屈服先于框架节点;梁的屈服先于柱的屈服;而梁和柱又是弯曲屈服在前，剪切破坏在后;杆件截面产生塑性铰的过程，则是受拉屈服在前，受压破坏在后。这样，结构在发生变形时，均具有较好的延性，即在各环节的变形中，塑性变形成分远大于弹性变形成分。

3.2 框架结构总体屈服时的承载力分析

现有一4层混凝土框架结构，如图3.2.1所示。各框架梁L1跨度均为L，梁截面抗弯、抗剪承载力分别为MuL、VuL;一层柱Z1高度为H1，柱截面抗弯、抗剪、抗压承载力分别为Muc1、Vuc1、Nuc1;二至四层柱Z2高度为H2，柱截面抗弯、抗剪、抗压承载力分别为Muc2、Vuc2、Nuc2。该框架结构仅承受结构自重和水平地震作用FEhk，按照底部剪力法将水平地震作用FEhk分配到各层楼面标高处，为F1～F4。

先考虑结构处于弹性极限状态时的承载力。处于对原理进行探讨，这里暂不考虑现行设计规范对框架梁、框架柱进行的内力调整，也不考虑塑性铰的转动极限。按照弹性方法，结构各构件截面不允许屈服，也即内力不超过截面极限承载力（Nu，Mu，Vu），这里只考虑由弯曲和剪切控制的极限状态。当某一构件截面内力达到承载力时，即认为达到弹性极限状态。根据图3.2.1所示信息，各柱抗弯承载力应满足Mc1<Muc1，Mc2<Muc2，抗剪承载力应满足Vc1<Vuc1，Vc2<Vuc2;各梁抗弯承载力应满足ML<MuL，抗剪承载力应满足VL<VuL。以上内力（弯矩、剪力）均是在FEhk作用下引起的，随着FEhk逐渐增大，一构件截面某项内力会率先到达极限承载力，该构件截面这项内力对设计荷载FEhk起控制作用，此时的FEhk的取值即是按弹性方法确定的极限荷载。

再考虑结构处于塑性极限状态时的承载力。让结构按图3.1.3所示的总体屈服机制产生塑性铰，其中一层最左侧柱Z1底端的塑性铰是最后出现的，结构即成为机构。结构基底抗剪承载力为4Vuc1，如果结构柱底屈服后发生剪切破坏，对应的极限荷载FEhk=4Vuc1。如果结构柱底屈服后发生弯曲破坏，一层最左侧柱上端为刚结点，下端为塑性铰，塑性铰截面弯矩Muc1。弹性状态时通常假定底层柱反弯点位于柱高2/3处（反弯点精确位置应按柱实际内力计算），则一层最左侧柱上端截面弯矩为0.5Muc1，此时柱底剪力为（Muc1+0.5Muc1）/H1=1.5Muc1/H1;一层其它3根柱上下两端均为塑性铰，塑性铰截面弯矩为Muc1，各柱柱底剪力为2Muc1/H1，此时基底剪力Vb=1.5Muc1/H1+3×2Muc1/H1=7.5Muc1/H1，对应的极限荷载FEhk=Vb=7.5Muc1/H1。

以上讨论了由剪切破坏和弯曲破坏控制的极限荷载。实际计算中，当求得两个极限荷载的数值，应取较小值作为极限荷载，所对应的破坏模式对结构破坏起控制作用。

4 工程算例

以下结合一工程算例对第3节阐述的计算方法进行应用。

有一4层混凝土框架结构，柱网尺寸及结构平面布置见图4.1，1层高5.4m（已考虑基础埋深），2～4层高3.9m。柱混凝土C35，梁、板混凝土C30，板厚均为120mm，梁截面均为350×700mm，柱截面均为700×700mm。梁、柱混凝土保护层厚度20mm，板混凝土保护层厚度15mm。各梁配筋4C22/4C20，A8@100/200（4）;各柱配筋4C20+12C18，A8@100/150（5）。

为便于讨论，让结构处于水平地震作用RX或RY单工况荷载下，分别按完全弹性方法、塑性铰法计算对应的结构极限荷载FEhk（X向、Y向）。由于仍使用线弹性方法计算，可在软件程序中设置地震影响系数最大值αmax来改变荷载FEhk的数值，从而改变极限荷载的取值。建筑场地设防烈度8度（0.20g），设计地震分组第一组，Ⅱ类场地。本文使用midas Gen2021有限元软件对结构内力进行计算，并使用YJK3.0.2设计软件辅助计算。计算结果见表4.1。

由计算结果可知，随着荷载FEhk逐渐增大，柱弯矩最先超限，此时柱剪力、梁弯矩、梁剪力尚未到达截面承载力，且柱剪力远小于截面抗剪承载力。由此可知该结构将按照柱铰机制破坏：随着荷载逐渐增大，并超过弹性极限荷载，一层柱底端率先出现塑性铰，部分弯矩释放给一层柱顶端，柱顶端弯矩逐渐增大，一层柱顶端也开始形成塑性铰。当到达塑性极限荷载时，部分梁弯矩超限，梁端形成塑性铰。最后，所有一层柱底端、顶端均形成塑性铰，结构侧向变形不受约束，框架成为机构。将结构弹性极限荷载与塑性极限荷载对比，荷载沿X向时为4276.8/3265.4=1.31，荷载沿Y向时为4276.8/3019.1=1.42。对应于结构的塑性极限状态，一层柱塑性铰截面弯矩调幅系数β最大为0.292，一层梁塑性铰截面弯矩调幅系数β=0.05。

以上破坏模式实际上是由柱弯曲破坏控制的层间屈服机制，当一层柱整体弯曲屈服时，其它层柱、梁未屈服，一层多数梁未屈服，全部构件的塑性性能未充分发挥。因此，以上层间屈服机制对于抵抗强地震作用较不合理。在设计时，可调整梁柱刚度比，使更多内力分配给梁构件;同时调整梁、柱截面配筋，提高柱截面的抗弯承载力，适当降低梁截面的抗弯承载力，以使梁先于柱出现塑性铰。以上内容仅讨论了单工况荷载下结构的承载状态，对于多荷载工况组合时的情况，感兴趣的读者可自行推导，在此不赘述。

5 总结

本文使用塑性铰法分析混凝土构件的极限荷载，并与弹性极限荷载做以对比。结合混凝土框架结构算例，具体分析该结构在进入塑性阶段时的承载状态，塑性铰的分布情况及出铰次序，判断结构的破坏机制，并求解结构的极限荷载。对于使用塑性铰法分析结构的塑性行为，本文已作探讨和补充。

参考文献

1.《混凝土结构设计规范》GB 50010-2010

2.《建筑结构荷载规范》GB 50009-2012

3.《建筑抗震设计规范》GB 50011-2010

4.《高层建筑混凝土结构技术规程》JGJ 3-2010

5.《钢筋混凝土原理和分析》过镇海、时旭东著.清华大学出版社

6.《混凝土结构设计原理》梁兴文、王社良、李晓文著.科学出版社

7.《混凝土结构设计》梁兴文、史庆轩著.科学出版社

8.《高层建筑结构设计和计算》包世华、张桐生著.清华大学出版社

9.《高层建筑结构设计》史庆轩、梁兴文著.科学出版社

10.《结构力学》龙驭球、包世华著.高等教育出版社

11.《塑性力学》王春玲著.中国建材工业出版社