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摘要：提出了一种基于S变换估计单维多变量Priestley非平稳随机过程之间的演变功率谱密度矩阵的方法。假定Priestley 非平稳随机过程的调制函数相对于S 变换的“变换核”为时间慢变函数，推导可得非平稳随机过程ST相位修正后可视为另一个非平稳随机过程。其次，根据随机过程某频率点S 变换的均方值（协方差）与自（互）谱密度之间的关系，用有限频率点的级数展开表示自（互）谱密度，通过求解方程得到谱密度的时变系数，代入自（互）谱密度级数表达式得到自（互）谱密度函数。最后给出了单维三变量非平稳随机过程之间的演变功率谱密度矩阵的算例。

关键词：S变换;非平稳随机过程;演变功率谱密度

一、引言

地震波分析方法可分为时域和频域分析两类，前者将功率表示为时间的函数，而后者将功率表示为频率的函数。同时，随着建筑结构防振、隔振的研究，使得随机过程在频域的描述变得越来越重要。最早的频率分析工具是Fourier变换，它建立了时域与频域的桥梁，但由于Fourier没有时间分辨率[1， 2]，更确切地说，其时间信息湮灭在相位信息之中[1]，其在时空上没有任何分辨率，所以不能对非平稳随机过程进行精细的分析。为了弥补Fourier变换在时间上分辨率的问题，学者[3]提出了短时Fourier变换（STFT），它的核心是：选择合适的分析窗口叠加在待测信号上，并近似地将窗内信号看作是平稳的，同时沿时间轴移动窗函数，进而对每个时刻窗口内信号进行Fourier变换，以得到待分析信号的时间与频率特性。但其存在一定的缺陷，即当窗函数选定后，时间与频率分辨将成为定值。小波变换[4] （WT）的提出克服了上述的问题，但小波变换必须注意尺度与频率之间的关系。最近提出的时间-频率分析工具Stockwell 变换[5， 6] （ST） 可视为STFT与WT的结合，它具有STFT的绝对相位信息与WT所具有的多分辨率分析特点，且与Fourier变换有直接着直接的关系。S变换方法的特点使其在国内外已得到广泛的应用：电能质量的检测和分类、在地震勘探时频分析和油气探测与预测等。

是否考虑地震动的行波效应对大跨度结构的地震响应具有较大影响，这使得单维多变量非平稳随机过程的概率描述变得至关重要。在此背景下，本文利用最近提出的一种时频分析工具——S变换对非稳随机过程进行分析，并考虑地震动的行波效应，估计单维多变量非平稳随机过程的演变功率谱密度矩阵。

三、结论与展望

本文回顾了地震动频率分析的方法，Fourier变换可用于分析平稳随机过程，但因其没有时间分辨率，所以不能用于分析非平稳随机过程;短时傅里叶变换虽然可对非平稳随机过程进行时频分析，但由于窗函数选定后其时间和频率分辨率即为固定值，不能用于分析在频域内变化范围大的非平稳随机过程;小波变换通过对母小波的平移与缩放而得到随机过程的时间、频率信息，可以很好的得到非平稳随机过程的时频分析结果，但必须注意其尺度与频率之间的关系;S 变换可以对非平稳随机过程进行时频分析，并具有短时傅里叶所具有的绝对相位信息和小波变换具有的恒Q分析。

本文基于S变换估计单维多变量非平稳随机过程的演变功率谱矩阵，由数值算例的估计可知，本文所提方法可用于估计单维多变量非平稳随机过程的演变功率谱密度矩阵。同时说明了S变换可以用于地震信号分析，所以建议之后的学者可以利用最近几年提出的广义S变换分析方法分析地震信息，也可将S变换应用于单自由度系统的响应功率谱计算和多自由度系统的响应功率谱计算。

参考文献：

[1]钱世锷. Introduction to time-frequency and wavelet transforms[M]. 机械工业出版社， 2005.

[2]Qian S， Chen D. Joint time-frequency analysis： methods and applications[M]. New Jersey： Prentice Hall PTR， 1996.

[3]Gabor D. Theory of communication[J]. Iee Proc London， 1946，93（73）：58.

[4]Daubechies I， Heil C. Ten Lectures on Wavelets[J]. Computers in Physics， 1998，6（3）：1671.

[5]Stockwell R G， Mansinha L， Lowe R P. Localization of the complex spectrum： the S transform[J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1996，44（4）：998-1001.

[6]Stockwell R G. Why use the S-transform[J]. Pseudo-differential Operators： Partial Differential Equations and Time-Frequency Analysis， 2007，52：279-309.