摘要：椭圆作为解析几何中二次曲线的核心内容，其定点、定值问题是连接代数运算与几何性质的典型载体，在高考数学和数学竞赛中占据重要地位．这类问题以“动中求静”为核心特征，要求在变量运动变化的过程中，探究其始终保持不变的点或几何量，对学生的逻辑推理、运算求解及数形结合能力提出了较高的要求．本文通过文献研究法、案例分析法，系统梳理椭圆中的定点、定值问题的常见类型，深入剖析其解题思路与策略，提炼通用解题方法和技巧，并结合典型例题与高考真题进行验证．研究结果表明，椭圆定点、定值问题的解决需要紧扣椭圆的定义与性质，灵活运用代数法、参数法、几何法和齐次化法等方法，实现变量与常量的转化．本文的研究可为高中数学教学提供参考，助力学生提升解决此类问题的能力

关键词：椭圆；定点问题；定值问题；解析几何；解题策略；常规解法；齐次化法

一、引言

（一）研究背景

解析几何是高中数学的重要分支，其核心思想是通过代数方法去研究几何问题，实现数与形的有机结合．椭圆作为二次曲线的重要代表，不仅具有丰富的几何性质，其衍生出的定点、定值问题更是高考数学的高频考点．从历年高考真题来看，椭圆定点、定值问题常以中等偏难的解答题形式出现，综合考查学生对椭圆方程、直线与椭圆位置关系、韦达定理等知识的掌握程度，以及分析问题、解决问题的能力．此外，这类问题还广泛应用于物理、工程等领域，如天体运行轨迹分析、光学仪器设计等，具有重要的实际意义．

（二）研究目的与意义

1. 研究目的

本文旨在通过一些典型的例题来梳理椭圆中的定点、定值问题的常见类型，深入探究其解题规律与方法，提炼通用的解题策略和特别的解题方法，并将本文的一些解题方法和研究结果推广到圆锥曲线中，为学生解决此类问题提供清晰的思路，同时也为高中数学教师的教学工作提供帮助．

2. 研究意义

理论意义：丰富解析几何中椭圆问题的研究体系，深化对“动中求静”数学思想的理解，为相关数学问题的研究提供方法借鉴．

实践意义：帮助学生掌握椭圆中的定点、定值问题的解题技巧，提升数学核心素养；为教师优化教学策略、提高教学效率提供实践参考．

二、椭圆中的定点、定值问题探究

（一）定点问题的常见类型

由斜率关系求定点；由倾斜角关系求定点；切点弦过定点；相交弦过定点；圆过定点；过定点的直线与椭圆相交形成的定点问题：例如，过椭圆上一定点作的两条动直线与椭圆交于另外两个动点，探究该动点所形成的动直线恒过定点等.

（二）定值问题的常见类型

斜率为定值；斜率之和（积）为定值；斜率之比为定值；角度为定值；距离为定值；面积为定值；数量积为定值；系数和为定值；斜率相关的定值问题：例如，过椭圆焦点的直线与椭圆相交，探究两交点与椭圆上某定点连线的斜率之积为定值等.

三、椭圆中的定点、定值问题的解题策略

（一）常规解法：如代数法（设点的坐标或直线的方程 2 、特殊值法、几何法、参数法等.

（二）齐次化法. 齐次化法一般用于解决与斜率之和（或积）有关的定点、定值或轨迹问题.其解题步骤一般如下：

1.平移坐标系（将坐标原点平移至椭圆上的定点处，如果定点在原点处则不需要平移）；

2.假设新坐标系下的直线方程为 mx+ny=1 （直线过坐标原点时再单独分析）；

3.将椭圆方程齐次化：二次项不变，一次项乘以 （mx+ny） ，常数项乘以 （mx+ny）² ；

4.在齐次式方程两边同时除以 x²（x≠0） ，构造关于 的一元二次方程；

5.由韦达定理得到k Ω₁+k₂ 和k ⋅k₂ 关于 m，n 的关系式，将其代入题目的条件中转化目标；6.如果是求定点坐标，最后还需要反方向平移回去.

四、椭圆中的定点、定值问题的典型例题解法探究

例题 1.已知椭圆 c 过点 ，两个焦点为 （-1，0） ， （1， 0 ） ．（I）求椭圆 c 的标准方程；

（II） E ， F 是椭圆上的两个动点，

（1）如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率之和为 2，证明直线 EF 恒过定点；（2）如果直线 AE 的斜率与 _AF 的斜率之积为 2，证明直线 EF 恒过定点．

【解析】（I）椭圆 C 的标准方程为 x ，过程略；

（II）解法一：常规解法．

（1）设 E（x₁，y₁） ， F（x₂，y₂） ，直线 EF 的方程为 y=kx+b ，联立 得

（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0 ，由韦达定理得 3 kx2 + b − 3

由题意知，k +k ，即 kx1 + b − 2 2 2x −1 x −1

去分母得 ，

整理得 ，

代入韦达定理 ，

去分母整 ，

即8b2 + （4k + 6）b − （2k − 9）（2k − 3） = 0 ， H[4b-（2k-9）][2b+（2k-3）]=0 ．

故 b = k − 9 ， 2 4

当 时，直线 EF 的方程为 恒过定点

当 ，直线 EF 的方程为 ，恒过定点 与 A 点重合，不符合

舍去．

综上所述，直线 EF 恒过定点

解法二：齐次化法．

平移坐标系，使得坐标原点和点 重合，不妨设平移后的椭圆记为 c^′ ，直线 EF 记为 E^′F^′ ，点 A 记为 ⋅⋅^⋅ ，则在新坐标系中，假设直线 E^′F^′ 的方程为 mx+ny=1 （不过坐标原点，下文同），联立椭圆 c '和直线 E^′F^′ 的方程得 ， ，再齐次化得 3x²+4y²+6x（mx+ny）+12y（mx+ny）=0 ，=1④（4+12n）y²+（6n+12m）xy+（3+6m）x²=0 ，两边同时除以 x²（x≠0） 得 ，易知 k_A^′E^′ℜk_A^′F^′ 是上面方程的两个根，由韦达定理得 − 6n +12m = 2 ，化简得 n = 代入直线 mx+ny=1 得 m x 165 y） − 4 −1= 0 ，故直线 E^′F^′ 恒过 和直线 的交15点 （− 3 ，−15 ） ，则直线 EF 恒过定点

（2）答案：直线 EF 恒定过点 ．限于篇幅，请读者类比（1）的两种解法自己完成.

【评析】解法一是常规解法，需要有较强的代数恒等变形能力；解法二通过平移构造二元二次齐次式，使得运算难度大大降低．对于研究过椭圆上的定点与两个动点连线斜率的和或积的问题，可采用“齐次化法”来处理，当定点不在坐标原点时，往往可以像解法 那样把坐标系原点平移到定点处，然后按照定点为原点的处理方法求解，但是最后一定要记得把求解结果反方向平移回去

例题 2.（2020·新课标Ⅰ）已知 A，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，ሬAሬሬGറ ⋅ ．P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D．

（1）求椭圆 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点．【解析】（1）椭圆 E 的方程是 ݔ2 + ݕ2 = 1，过程略；

（2）解法一：常规解法．

由（1）知 A（-3，0） ， B（3，0） ，设 P（6，m） ，则直线 PA 的方程是 x+ 3 ，联立 （9+m²）x²+6m²x+9m²-81=0 ，由韦达定理得− 将其代入直线PA 的方程 得 ，即 ，同理可得直线 PB 的方程是 ，x2联立 9 + y2 = 1 ，则y= 3 x − 3①当 x_c≠x_D ， ED_m²≠3 时 ，直线 CD 的方程是 整理得 ，故直线 CD 过定点 ②当 xc = xD时，有 ， 得 m2 =3 ，此时 xc = xD = ，即直线 CD 的方程为 ，显然过定点

综合①②，故直线 CD 过定点

解法二：齐次化法．

由（1）知 A（−3，0） ， B（3，0） ，设 P（6，t） ，则 ， 根据椭圆的第三定义，

平移坐标系，使得坐标原点和点 A（−3，0）重合，不妨设平移后的椭圆记为 E^′ '，直线 CD 记为 C^′D^′ ，点 A记 为 A^′ ， 则 在 新 坐 标 系 中 ， 假 设 直 线 ∣C^′D^′∣ 的 方 程 为 mx+ny=1 ， 联 椭 圆 E^′ 和 直 线C^′D^′ 的方程得 + y2 = 1，得： x2 − 6x+ 9y2 = 0，再齐次化得

x²-6x（mx+ny）+9y²=0，A|9y²-6nxy+（1-6m）x²=0 ，两边同时除以 x²（x≠0） 得 ，解得 m =  ，则直线 C^′D '过定点  ，故直线 CD 过定点 

【评析】解法二用到了“椭圆的第三定义”，再结合“齐次化法”，降低了运算量，比解法一要简洁.本题还有很多其它解法，读者们可以自己尝试着探究其它解法

例题 3.已知椭圆 C： x +  的离心率为  ，  的面积为  .

（1）求椭圆 c 的方程；

（2）过右焦点 F 作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 c∓P，Q 两点，连接 AP，AQ，分别交直线  N 两点，若直线MF ， NF 的斜率分别为 k₁，k₂ ，试问： k₁⋅k₂ 是不是定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由.

【解析】（1）椭圆 C 的标准方程为  ，过程略；（2）解法一：常规解法．由（1）知 F（1，0） ， δ_A（2，0） ，① 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=1 ，   联立  ，得 ，不妨设   ，则直线 AP 的方程  ， ，得   ，此时  ，同理可得  ，  ② 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k（x-1） ，（y=k（x-1） 联立 ݔ2 ݕ2 ，得 （3+ 4k2）x2 −8k2x + 4k2 −12 = 0 ，4 + 3 = 1设 P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） ，则  ，直线 AP 的方程为  （x − 2） ，令x = 3 ，得 y = y1 ，则M（3，y1 ）， 同理可得 N（3， 2 ）   所  综上所述， k ⋅k 为定值 

解法二：常规解法．

【评析】该题的两种解法都是采用“常规解法”，设直线方程（点斜式或横截距式），然后跟椭圆方程联立，结合韦达定理，消去参数，化简得到斜率之积为定值.本题不适合采用“齐次化法”来解答，是因为“齐次化法”通常用来解决“过椭圆上的定点与两个动点连线斜率的和或积的问题”比较高效，具有一定的局限性，而本题所涉及到的定点和动点都不在椭圆上，因此不能应用“齐次化法”.

例题 4.（2022·武汉模拟）已知椭圆 C  的左右顶点分别为 A，B，过椭圆内点 且不与 x 轴重合的动直线交椭圆 C∓P ，Q 两点，当直线 PQ 与 x 轴垂直时， 

（1）求椭圆 C 的标准方程；

（2）设直线 AP，AQ 和直线l ： x=t 分别交于点 M，N，

若MD ⊥ ND恒成立，求 t 的值．

【解析】（1）椭圆 C 的标准方程为  ，过程略；

（2）解法一：常规解法．

如图，设直线l 与x 轴相交于点T，直线PQ 的方程为  ，与椭圆联立得 m2 +2 y2 +  ，

【评析】对比“常规解法”和“齐次化法”会发现“齐次化法”在运算量方面要明显少很多，并减少计算出错的概率.在解法二中，“齐次化”完成后，再巧妙地结合图形与斜率的定义进行化简，使得本题轻而易举地化复杂为简单.另外，在平移坐标系后，我们要清楚地知道哪些量在平移前后保持不变（如直线斜率，夹角，线段长度等），哪些量发生了改变（如点的坐标，直线方程和椭圆方程等），这是应用“齐次化法”解题的基础.

五、椭圆中的定点、定值问题的综合应用

高考真题 （2020·山东）已知椭圆 C  =1（a > b > 0） 的离心率为 2 ，且过点 A（2，1） ．

（1）求椭圆 c 的方程；

（2）点 M，N 在 C 上，且AM ⊥ AN，AD ⊥ MN，D 为垂足．证明：存在定点 Q，使得 ܦܳ 为定值【解析】（1）椭圆 c 的方程为  ，过程略；

（2）解法一：常规解法，此处省略，请读者们自己探究．

解法二：齐次化法．

平移坐标系，使得坐标原点和点 A（2，1） 重合，不妨设平移后的椭圆记为 C^∙ ，直线MN 记为M'N' ，点 A 记为 |A^′ ，点 D 记为 D^′ ，则在新坐标系中，设直线 M^′N^′ '的方程为 mx+ny=1 ，联立椭圆 c '和直线 M^′N^′ 的方程 =1，即 x2 +2 y2 + 4x+ 4y = 0，再齐次化得x2 +2y2 + 4x+ 4y mx+ ny = 0，整理得 （4n+2）y²+（4m+4n）xy+（4m+1）x²=0 ，两边同时除以 x² （其中 x≠0 ，且设  得（4n+2）k²+（4m+4n）k+（4m+1）=0，∵AM⊥AN，Ω⋅k_AM⋅ kAN =− 1∴ kA'M' ⋅ kA'N' = kAM ⋅ kAN = −1，故 4m+ 1 =− 1，即 4m+ 1 =− 4n − 2，得 − 43 m  1 ，所以直线 M^′N^′ 过定点  ，直线MN 过定点 

在△ADP 中，AD ⊥ DP，则点 D 的轨迹是以 AP 为直径的圆， Ξ∵A 为定点，P 为定点， ，∴ AP 为定值，则 Q 为 AP 中点，此时 DQ 为定值.∵ A（2，1） ，  ，因此，  为定值．

【评析】本题作为一道高考题，既考查了直线过定点问题，又考查了线段长度为定值问题，应用“齐次化法”解题思路清晰、简洁，再结合题目给出的几何条件（垂直关系），很容易发现目标转化的方向.如果本题采用常规解法，计算会很冗长、复杂，对运算能力要求高，还需要分情况讨论，困难重重.因此，灵活应用“齐次化法”在本题中起到了事半功倍的奇效

六、结语

本文以椭圆中的定点、定值问题为研究核心，通过典型例题剖析与逻辑推理，深入比较了“常规解法”与“齐次化法”的应用脉络及优劣特性.“常规解法”依托联立直线和椭圆的方程，结合韦达定理，消去参数等手段，遵循“条件转化—代数运算—几何验证”的经典思路，其过程完整展现了解析几何“数形结合”的本质和解题过程，在处理常规题型及验证结论正确性时具有不可替代的作用，为问题求解提供了坚实的逻辑支撑；“齐次化法”则突破传统思路，通过引入参数构造齐次方程，将定点、定值问题转化为方程系数间的关系，大幅简化了多元变量的运算复杂度，尤其在解决“过椭圆内定点的直线与椭圆相交形成的斜率之和（或积）为定值”等问题时，展现出运算高效、思路简洁的显著优势，为复杂问题的快速求解提供了新的路径.两种方法的对比研究表明：“常规解法”是理解椭圆定点、定值问题本质的基础，其严谨的推理过程有助于深化对解析几何基本思想的认知；“齐次化法”则是解题技巧的创新体现，其化归与构造的思维方式为同类问题的求解提供了灵活视角，二者相辅相成，共同构成了椭圆定点、定值问题求解的重要体系.本文的研究不仅明确了两种方法的适用场景与优化策略，也为解析几何问题的教学与研究提供了实践参考.未来，可进一步拓展两种方法在双曲线、抛物线等其他圆锥曲线中的应用，或结合向量、导数等工具探索更具普适性的求解框架，为圆锥曲线中的定点、定值问题研究注入新的活力

参考文献

[1] 人民教育出版社. 普通高中教科书·数学（选择性必修第一册）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 张奠宙. 解析几何的思想方法[M]. 上海：上海教育出版社，2018.