摘要：根据附件中表单1、表单2的数据，利用SPSS PRO软件绘制决策树模型，通过对模型的研究，分析出高钾玻璃和铅钡玻璃的分类规律。以玻璃文物中各文物的化学成分的类别为依据，参考附件中表单二的数据对文物进行亚类划分，选择合适的化学成分数据进行分析，通过聚类模型中的K-means聚类算法，利用SPSS绘制聚类谱系图，划分成四类：高钾风化玻璃；高钾无风化玻璃；铅钡风化玻璃；铅钡无风化玻璃。结合表单1和表单2的数据，与亚类划分结果差异较小，分类结果较为合理。

关键字：决策树 K-means聚类算法

引言：

玻璃是一种无机非金属材料，他的主要成分为二氧化硅和其他氧化物。玻璃的出现与使用在人类的生活中已有四千多年的历史。在古代，制作玻璃的材料和技术很难获取，所以玻璃最初仅限于贵族使用，早期玻璃通过丝绸之路在西亚、埃及等地被制作成珠形饰品等传入我国，吸收其技术后在本土就地取材对玻璃进行改进，所以虽然玻璃外形基本相同，但是其中所包含的化学成分却有所不同。如今玻璃被广泛应用于建筑物，用来隔风透光。

玻璃主要成分是硅酸盐复盐，二氧化硅（SiO2）是古代玻璃的主要化学成分。因为纯石英砂熔点高，所以为降低熔化温度，在玻璃炼制时常加入草木灰、天然泡碱、硝石、铅矿石等助溶剂，同时添加石灰石为稳定剂，经过炼制，石灰石煅烧转为氧化钙（CaO）。由于添加的助溶剂种类不同，最终其得到的玻璃的化学成分也不相同。如：若在烧制的过程中选择以铅矿石作助溶剂，其氧化铅（PbO）和氧化钡（BaO）含量较高，烧制出铅钡玻璃；若在烧制的过程中选择以草木灰作助溶剂，其氧化钾（K2O）含量较高，烧制出高钾玻璃。混入某些金属的氧化物或者盐类而显现出颜色的有色玻璃，或通过物理或者化学的方法制得的钢化玻璃等。

由于受到土壤、天气等外界因素的影响，古代的玻璃文物容易被风化。通常玻璃在风化过程中，内部元素和外部元素会进行成分交换，导致化学成分的比例发生变化，进而为玻璃文物的分类造成一定的困难。

1.问题二模型的求解

1.1 高钾、铅钡玻璃分类规律

根据附件中表单1和表单2的数据，对高钾玻璃和铅钡玻璃进行分类。

使用SPSS PRO软件进行绘制决策树模型。

根据决策树模型，总结出其分类规律：

Step1：

通过表单2分析，铅钡玻璃中氧化铅（PbO）的含量远高于高钾玻璃，判断氧化铅（PbO）含量是否小于等于50.325，如果成立将其暂归为高钾玻璃；若不成立，将其暂归为铅钡玻璃，完成第一步后进行进一步检验。

Step2：

第一步不成立，将其暂归为铅钡玻璃的数据进行进一步分类，判断氧化铅（PbO）含量是否小于等于33.55，如果成立将其归为高钾玻璃；若不成立，将其归为铅钡玻璃。

Step3：

通过表单2分析，高钾玻璃中二氧化硅（SiO2）的含量远高于铅钡玻璃，判断二氧化硅（SiO2）含量是否小于等于57.665，如果成立将其暂归为铅钡玻璃；若不成立，将其归为高钾玻璃，完成第三步后，进行进一步检验。

Step4：

在第三步的基础上再次判断二氧化硅（SiO2）含量是否小于等于35.475，如果成立将其暂归为铅钡玻璃；若不成立，将其归为高钾玻璃。对铅钡玻璃进一步划分。

Step5：：

最后判断剩余的玻璃种氧化铅（PbO）含量是否小于等于27.035，如果成立将其归为高钾玻璃；若不成立，将其归为铅钡玻璃。

1.2 亚类划分

通过第一小问结果，将高钾玻璃和铅钡玻璃进行分类，根据题意，以玻璃文物中各文物的化学成分的类别为依据，参考附件中表单二的数据对文物进行亚类划分，所以对于数据缺失过多的数据选择性舍去。

1.2.1.高钾

根据表单2中二氧化硅（SiO2）、氧化钾（K2O）、氧化钙（CaO）、氧化镁（MgO）、氧化铝（Al2O3）、氧化铁（Fe2O3）、氧化铜（CuO）、五氧化二磷（P2O5）的化学成分含量，通过聚类模型中的K-means聚类算法，利用SPSS绘制高钾的聚类谱系图。

通过聚类谱系图可以将高钾玻璃大致分为两类，对比分类后的数据与附件中表单1、表单2的数据，得到第一类成分是高钾玻璃风化，第二类成分是高钾玻璃无风化。

1.2.2.铅钡

根据表单2中二氧化硅（SiO2）、氧化钙（CaO）、氧化镁（MgO）、氧化铝（Al2O3）、氧化铜（CuO）、氧化铅（PbO）、氧化钡（BaO）、五氧化二磷（P2O5）、氧化锶（SrO）的化学成分含量，通过聚类模型中的K-means聚类算法，利用SPSS绘制铅钡的聚类谱系图。

通过聚类谱系图将高钾玻璃大致分为两类，对比分类后的数据与附件中表单1、表单2的数据，得到第一类成分是铅钡玻璃风化，第二类成分是铅钡玻璃无风化。

2.实验结果及分析

综上所述，本文筛选出与玻璃类别合适的化学成分进行亚分类，利用K-means聚类算法绘制出聚类谱系图，通过与附件中表单1、表单2的数据对比，最终分为以下四类：

高钾风化玻璃；

高钾无风化玻璃；

铅钡风化玻璃；

铅钡无风化玻璃。

结合表单1和表单2的数据，可以得出计算结果与亚类划分结果差异较小，分类结果较为合理。

参考文献：

[1]司守奎，孙玺菁.数学建模算法与应用.北京：国防工业出版社，2011.

[2]韩中庚.数学建模方法及其应用.2版.北京：高等教育出版社，2009.

[3]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.4版.北京：高等教育出版社，2011.

[4]张文彤.编著，SPSS统计分析基本课程. 北京：高等教育出版社，2017.