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摘要：水体在流动过程中其携裹的泥沙会填充小的缝隙和坡脚等凹陷部位，对于凸起或坡顶部位有一定的切削侵蚀，因此随着时间的推移，水下地形会向着越来越平滑的趋势发展。而三阶样条函数拟合由于其二阶导数连续，具有平滑性好的优点，因此，利用三阶样条函数对有限的水下点云数据进行插值以反映完整的水下地形地貌具有明显的优势。

关键词：三阶样条函数；水下高程拟合；工程建设

1 前言：

把富有弹性的细长木条两端固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，此时木条所呈现的的形态，然后沿木条画下曲线，称为样条曲线。三阶样条函数本质上是在某一个构造一个三次多项式去逼近数据的真实变化，通过一系列已知点解求一系列线性方程组，得到这一区间的三次多项式表达，用这一多项式表示此区间内的变化情况。在实际计算过程中，当拟合点数大于3时，由于线性方程组的个数小于三阶样条函数未知系数的个数，因此还需要引入边界条件才能完成计算求出待定系数。在实际计算中边界通常有自然边界（边界点的二阶导为0），夹持边界（边界点导数给定），非扭结边界（使两端点的三阶导与这两端点的邻近点的三阶导相等）等。本次研究针对鹤岗市关门嘴子水库，通过采集水底高程数据，由于计算量巨大，因此利用MATLAB基于三阶样条函数拟合关门嘴子水库的水下地形地貌。

2.1 理论基础

2.2 模型设计与计算

先将实测关门嘴子水库库区水底坐标（xi，yi）及对应的高程值zi进行分组预处理，将数据以水平面为基准分成UV两个方向，每个方向有n（n>0）组数据，UV两个方向夹角越大拟合效果越好。分组完成之后对U方向的每组数据进行拟合，将每组数据放在二维平面来看的话，其图形都是凹曲线，因此取边界条件S″（x0）=1，S″（xn）=1，带入上述方程组求解得到每个区间的三次多项式，待所有U方向分组数据插值完成后对V方向数据进行重新分组，利用重新分组之后的数据进行三阶样条插值，方法同U方向插值。即可得到加密后的水下地形数据。

3 MATLAB实现三阶样条插值

3.1 鹤岗市关门嘴子水库建设工程图

3.2 三阶样条插值计算

库区总共取13500个点作为样本数据，其中9000个点作为插值控制点，剩下的2700个点作为验证数据，1800个点作为测试数据。任取某一方向某一组数据，以U12为例，此组数据共270个样本，样本间距约为25m，其中54个用于数据验证，216个高程点样本作为拟合控制点，取边界条件S″（x1）=1，S″（x216）=1，拟合预测结果如图2。

3.3 拟合结果分析

将三阶样条函数插值拟合出的结果与现场实测样本高程对比分析，得出测试机拟合最大误差0.70m，最小误差0.001m，平均值为0.03m，方差为0.19，拟合误差值小于0.1米的验证点占样本的47%，拟合误差值小于0.2米的验证点占总样本的83%。依据统计学原理，在置信度为百分之九十五的置信区间，最大误差为0.25m，对应高程点占比为0.12%。拟合效果较为理想，满足工程测量相关规范要求，并可运用于工程建设。拟合误差及拟合精度的点位分布图如3及图4。

4 总结

本文通过对鹤岗市关门嘴子水库库区水下的坐标高程数据进行分析，并对样本数据进行三阶样条函数插值，对未进行实测的地区高程进行拟合预测，并将该方法推广到该类地形的高程预测应用，以此节省传统水下高程测量方式消耗的高人力物力以及财力资源。

参考文献：

[1]许小勇，钟太勇，三次样条插值函数的构造与Matlab实现[J].兵工自动化.2006年11期.

[2]张海燕，李秀海，韩冰，基于三次样条函数的长线路GNSS高程拟合研究[J].测绘工程，2018年07期.

作者简介：张德成，男，黑龙江尚志人，工程师，主要从事水利工程测量、航空摄影测量。