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摘  要：从历史上看，二项式定理源于解决高次幂开方问题，之后才被用于组合理论的问题。该文基于HPM的视角，运用二项式定理的相关数学史，使知识的产生过程、学生的认知能力和身心发展特点达到一致来进行二项式定理的教学案例设计。在该案例中，学生在较为完整地体验定理产生和发展过程的同时也充分发展了数学抽象、逻辑推理以及数学运算的核心素养。

关键词：HPM；教学案例；二项式定理

一、二项式定理的历史发展过程

二项式定理在我国有着丰富的发展历史和广泛的应用，在古代，很多问题的解决需要用到开方，例如开开凿人工运河、修筑堤坝等水利工程的设计与建造等。在1世纪的《九章算术》中就提出了世界上最早的多位正整数开平方和开立方的通用程序。后来，到11世纪，贾宪在他的《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，但遗憾的是虽然此图中所给的系数能够满足零次到六次开方的需要，但并未给出一般的二项式系数的公式。13世纪，杨辉的《详解九章算法》中出现了该图，并且在书中解释了该图来源于贾宪的《释锁算书》。由于《释锁算书》已经失传，而《详解九章算法》流传至今，所以如今普遍称此图为“杨辉三角”。14世纪初，朱世杰在其《四元玉鉴》中复载了此图，并在其基础上增加了两层，也就是发展到能开八次方。

二项式定理在国外也有丰富的研究。这种形式最早出现在欧几里得的《几何原本》中，到了10世纪，阿拉伯人阿尔 ·卡拉吉已经掌握了二项式系数表的构造方法。11到12世纪，奥马海牙姆将开平方、开立方运算推广到任意高次，并对高次的二项展开式的进行了研究。13世纪纳绥尔丁在他的《算板与沙盘算法集成》中给出了高次开方的近似公式，并用到了二项式系数表。15世纪，阿尔 ·卡西在《算术之钥》中介绍了任意高次开方的方法，并给出了到九次方的二项式系数表。到了1654年，法国数学家帕斯卡最早建立了正整数次幂的二项式定理，所以算术三角形在西方以他的名字命名。1665年，牛顿将二项式定理推广到有理指数的情况。18世纪，欧拉和卡斯蒂隆分别采用待定系数法和“先异后同”的方法证明了实指数情形的二项式定理[[[]方倩.“二项式定理”：在历史中探源、求法、寻魅[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016，（09）：37-41.]]。

二、教学策略分析

从历史上来看，二项式定理源于解决高次幂开方问题。当帕斯卡建立了正整数次幂的二项式定理之后，指出了组合公式也能给出二项式系数，这个定理又被运用于解决自然数幂和、组合理论及概率计算等方面的问题，是学习概率的重要基础。其实，在学生学习二项式定理时，最难理解的就是为什么在二项式的展开式中会出现组合数。大多数教学案例中的引入是从计数原理的方法入手，但二项式定理的产生与计数问题并无关联。因此，当没有一定实际问题情境时，让学生只是从多项式乘法法则分析的角度，想到这种多项式乘积展开问题和计数问题的联系是很不容易的。由此，我们发现二项式定理的教学设计可以借鉴其发展历史。故本节课从其历史发展的顺序入手，通过对某个实数的开平方或开立方等的值的估算，来引出二项式展开问题，让学生体会到二项式定理的必要性，激发学生学习该定理的动机。通过历史上数学家证明二项式定理的过程，让学生了解二项式定理是从哪里来的，并初步感受二项式定理的作用，激发学习的兴趣。同时在这个过程中，也能让学生体验到数学从生活出发，是解决我们日常实际问题的重要工具。

三、教学案例

（一）问题引入

师：在古代，很多问题的解决需要开方，例如开河、筑堤等水利工程的设计与建造等都会涉及开方等计算，那么同学们，老师想问你们：在没有计算机以及立方根表的前提下，你们能不能算出的值呢？如果不能直接得出具体的值，那你们能不能估算一下大概的值？

生：我们能够估算出在1和2之间。

师：既然大家能估算出为1到2之间的数，那我们不妨设，其中为小数部分。两边同时立方可以得，再把的一次以上的项舍掉，因为是小数，它的高次项对结果影响不大。从而我们可以解得。这就求出了的一个近似值为。当然这个值并不是那么精确，我们可以进一步估算：设，两边立方得到，同样舍掉一次以上的项，可解得，于是得到，如果还想得到更精确的值可以用上述方法经过多次计算。当然，这是一个具体的数，那如果我们要估算的值呢？

生：还是可以根据刚才的方法进行估算。

师：没错，那么根据刚才的方法，我们就需要算出的展开式。其实这个问题也是前人所遇到过的问题，那他们是怎么解决的呢？我们今天就一起来探究一下。

设计意图：从二项式定理的历史发展顺序入手，通过特殊情境的引入来揭示学习二项式定理的必要性，同时让学生站在先人的角度思考问题，提高他们的学习兴趣。

（二）探究二项式的展开式的规律

师：我们要如何探究的展开式呢？由于是一个不确定的正整数，我们可以采取由特殊到一般的研究方法，从特殊的情形入手。于是我们可以得到：

设计意图：将幂运算转化为多项式乘法的运算，为发现展开式的规律做好铺垫。

师：请同学们观察以上式子并从展开式的项数、每一项的形式和系数来猜想展开的规律。

生：每个式子有项，其中每一项的次数都是，并且的次数从依次减小到0，的次数从0依次增加到。

师：很不错，同学们的发现很准确。但这时我们就会发现每一项前面的系数好像没有确定的方法，没关系，我们可以归纳出（其中为系数）这样的表达式。

设计意图：探究过程的设计是从特殊到一般，通过归纳猜想和老师的提问，让学生用数学的眼光来不断探索，与此同时来培养他们的数学抽象思维以及理性思考的能力。

（三）二项式定理的证明过程

方法一：求导法

师：既然我们无法确定用眼睛直接观察出每一项系数的规律，那我们就要考虑别的方法来解决这个问题。其实以前的数学家也曾停留在这一步，我们今天就一起来学习一下他们是怎么确定系数的。1742年，英国数学家麦克劳林是这样解决的：为了使研究更方便，他把作为研究对象，设的系数为，也就是我们将每一个含的项的前面看成一个整体，则能够得到 ①，令该式子中的，得到。接着我们来求，在求时，①式中本就没有，但求时会出现，这怎么处理呢？此时，我们对①式中的求一次导，再令，就得到了；用同样的方法求（这时要对求两次导），可以得到，依次类推，可以得到，这就成功地求出了每一项系数的表达式为，大家看这个表达式是不是很熟悉啊，这就是我们刚刚学完的组合数公式！由于这种表达不是很简洁，所以由法国数学家帕斯卡在他的著作《论算术三角形》中明确了二项式系数与组合数的关系，可得到。这就得到了我们今天要学的二项式定理：。因为等式左边底数部分为二项式而得名。等号右边的多项式叫作二项式的展开式，其共有项，其中第项为，它可以用来表示展开式中的各项，因此称它为通项，用表示，即；并且将叫作第项的二项式系数。

方法二：计数原理法

师：除了用导数法之外，我们还能用我们最近所学的计数原理的方法来证明二项式定理。首先，我们知道是个相乘，展开后的任意一项是从所有因式中的某个因式中取相乘所得，然后再从剩下的个因式中取相乘所得。从个因式中取个因式中的的取法有种，再从剩下的个因式中取的的取法有种，所以的系数是，依次取，由此可得二项式展开式的各项的二项式系数。同学们，你们觉得哪个方法好一点呢？可能许多同学觉得第二种方法要简便一点，但是这种方法到1886年后才出现哦。说明无论何时对真理探索的过程都是曲折的，你们在学习的道路上肯定也会遇到困难与挫折，但只要我们认真思考并坚持不懈，我们就能突破自己，甚至能发现更好、更进步的事物。期待你们站在巨人的肩膀上，开辟一片属于你们的新天地。

设计意图：先介绍求导法得出组合数与系数的关系后，使学生初步建立起二项式定理的概念，再从计数原理的角度来解释二项式定理以加深理解。这样符合历史发展规律的顺序使得学生的思维更加顺畅，同时也让学生体验到解决问题的快乐，从而提高学习数学的兴趣。

（四）二项式定理的应用

（五）课堂小结

师：这节课就上到这里，请同学们回顾一下今天所学习的内容并进行总结。（在学生总结之后，教师进行补充。）其实我们今天不仅学习了二项式定理，还学会了在解决数学问题时，我们常用由特殊到一般的研究方法。而且尽管在这节课介绍的是西方数学家对二项式定理的研究，其实我国古代数学家也对这个问题有相关的研究，请同学们利用课余时间搜集我国的数学家对该问题研究的资料。

四、教学反思

（一）HPM视角的特点及优势

基于HPM视角的教学是以数学史为基础，选择相关且合适的历史背景来作为学生学习的材料。本节课就是运用二项式定理的相关数学史，同时结合学生的认知能力以及身心发展特点来引入二项式定理。这是符合现实的，学生在选择性必修二中已经学过导数相关知识了。这也是具有极大意义的，利用定理自身的发展过程，可以让学生意识到数学是随着生活的需要而不断发展变化的，同时整个教学案例也体现了汪晓勤教授所提出的“六类价值”。例如学生在整个顺应历史发展顺序地探索的展开式的过程中能感受到“探究之乐”，使他们不仅丰富了数学探索的经验还对数学产生浓厚的兴趣；学生能在用两种完全不同的方法都能解释二项式定理的产生时体会到“方法之美”，不仅拓宽了学生的视野还使他们体会到数学的神奇之处；学生能在法国数学家帕斯卡将定义为时感受到“知识之谐”，在体验定理的产生和演变经过的同时也让他们感受到数学的简洁之美；老师通过将导数法与计数原理法进行对比，使学生体验到数学知识的发展都是进过一定曲折的以此来培养他们的情感、意志等能达到“德育之效”，让学生意识到尽管在书本中貌似很轻易就能体现出的知识也是经过无数前人坚持不懈的探索和思考总结得出的；通过在教学过程中发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养体现了“能力之助”；通过学生对有关二项式定理的历史发展的感悟展现了“文化之魅”。

（二）数学核心素养的体现

课堂以“归纳猜想证明”为主线，让学生体验了“提出数学问题—分析问题—不完全归纳—猜想—证明”的完整解题过程，在这个过程中，学生的核心素养得到了充分地培养。例如学生在利用的展开式来猜想的展开式时很好地发展了他们的数学抽象和逻辑推理能力，在这个过程中，他们经历了由特殊到一般，感受了从具体到抽象，潜移默化地培养了他们在以后的生活中也能有逻辑地思考问题的习惯；学生在对定理进行应用时发展了数学运算的素养，在这个过程中，通过对定理的灵活运用使他们进一步发展了数学运算能力，并通过运算促进了数学思维的发展。

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作者简介：罗曼妮（1997-），女，汉族，本科，硕士研究生在读，湖南科技大学数学与计算科学学院， 411201