打开文本图片集

摘要：二次函数与等腰三角形的融合问题作为中考数学核心考点，对九年级学生的综合思维能力提出较高要求。鉴于学生在处理代数几何交叉问题时，普遍存在逻辑不清、漏解错解的情况，以分类讨论思想为指引，依据等腰三角形 “两边相等” 的性质及二次函数图像特征，从等腰三角形的腰与底边关系、顶点坐标位置等维度出发，对问题中的不确定性因素进行系统分类。通过建立平面直角坐标系，将几何线段长度转化为代数表达式，结合函数解析式与几何性质联立方程求解。实践证明，该策略能显著提升学生对这类复杂题型的解题能力，培养其思维的全面性与严谨性，助力学生从容应对中考中的同类难题。

关键词：分类讨论思想；二次函数；等腰三角形；解题策略；九年级数学

在九年级数学学习进程中，二次函数与等腰三角形结合的问题因知识点交叉性强、条件隐含性高，成为学生备考的难点。这类题目不仅要求学生熟练掌握代数运算与几何证明，更需要灵活运用数学思想方法对多种可能情形进行全面分析。然而，受认知水平与思维定式限制，学生常因缺乏科学的分类逻辑导致解题时顾此失彼。中考对该类题型的考查频率高、难度梯度大，如何帮助学生构建系统的解题策略，突破思维瓶颈，是数学教学亟待解决的关键问题。基于分类讨论思想探索有效解法，对提升学生综合解题能力、适应中考数学要求具有重要意义。

一、剖析代数几何交叉问题分类维度

（一）基于等腰三角形边的关系分类​

在九年级数学下册二次函数章节中，常出现与等腰三角形结合的问题。当以边为分类依据时，需明确等腰三角形的腰与底边。例如，在二次函数y=x2−4x+3的图像上有三点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），在抛物线上找一点P，使△ABP为等腰三角形。此时可分为三种情况讨论：AB=AP、AB=BP、AP=BP。根据两点间距离公式分别计算线段长度，再结合二次函数解析式求解P点坐标。通过这种分类，能全面考虑不同边作为等腰三角形腰或底边的情况，避免漏解 。​

（二）依据等腰三角形角的关系分类​

（三）围绕等腰三角形顶点位置分类​

二、构建坐标系联立方程求解策略

（一）建立平面直角坐标系定位点与线​

在解决二次函数与等腰三角形结合问题时，合理建立平面直角坐标系是关键第一步。以九年级数学教材中的典型例题为例，已知二次函数y=x2−2x−3，点A（−1，0），B（3，0），在抛物线上找一点P，使得△ABP为等腰三角形 。以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，这样能快速确定A、B两点坐标，同时方便表示抛物线上点P的坐标为（x，x2−2x−3）。通过精准建立坐标系，将几何图形中的点与线转化为代数坐标，为后续的计算与分析奠定基础。​

（二）依据等腰性质与函数关系联立方程​

建立坐标系后，需将等腰三角形的性质与二次函数关系相结合，列出方程。继续上述例题，根据等腰三角形 “两边相等” 的性质，分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况。利用两点间距离公式，AB的长度为∣3−（−1）∣=4，AP的长度为，BP的长度为。

当AB=AP时，可得到方程；当AB=BP时，方程为=4；当AP=BP时，。通过联立方程，将几何问题转化为代数方程求解问题。​

（三）求解方程并检验得出有效解​

在联立方程后，对所得方程进行求解并检验是得出正确答案的重要环节。求解上述方程时，对于等方程，先两边平方去掉根号，再展开化简为一元二次方程进行求解。得到x的值后，将其代入二次函数y=x2-2x-3，求出对应的y值，得到点P的坐标。同时，需要检验所得的点P是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际情况的解。例如，若求出的点使得AP+BP=AB，则该点不符合三角形的构成条件，应舍去。通过严谨的求解与检验过程，最终得到满足条件的点的坐标，解决二次函数与等腰三角形结合的问题。

三、结语

总而言之，分类讨论思想为解决二次函数与等腰三角形结合问题提供了清晰的逻辑框架，将复杂的几何代数综合问题拆解为有序的子问题。通过构建坐标系、联立方程求解等策略，既能帮助学生理清解题思路，避免漏解错解，又能提升逻辑思维与知识综合运用能力，有效应对中考数学中的此类重难点题型 。

参考文献：

[1]滕丽.二次函数与等腰三角形结合的解题策略——基于分类讨论思想[J].数理天地：初中版， 2022（11）：69-70.

[2]秦兰兰.初中数学二次函数综合题分析及教学策略研究[D].西南大学，2022.